Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

398. Вычислите:

$\mathrm{а}) 9·{\left(\frac{5}{6}\right)}^2;$
$\mathrm{б}) (9 · {\frac{5}{6})}^2;$
$\mathrm{в}) {(-10)}^6;$
$\mathrm{г}) {-10}^6;$
$\mathrm{д}) 4 · 5^3;$
$\mathrm{е}) -5 · 2^5;$
$\mathrm{ж}) -2^4 · 15;$
$\mathrm{з}) 2700 · {(-0,1)}^3.$

а) Сначала возводим дробь в квадрат, а затем умножаем на 9.
$9 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 9 \cdot \frac{5^2}{6^2} = 9 \cdot \frac{25}{36} = \frac{9 \cdot 25}{36}$
Сокращаем числитель и знаменатель на 9:
$\frac{1 \cdot 25}{4} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6,25$
Ответ: $6,25$

б) Сначала выполняем умножение в скобках, а затем возводим результат в квадрат.
$(9 \cdot \frac{5}{6})^2 = (\frac{9 \cdot 5}{6})^2 = (\frac{45}{6})^2$
Сокращаем дробь в скобках на 3:
$(\frac{15}{2})^2 = \frac{15^2}{2^2} = \frac{225}{4} = 56\frac{1}{4} = 56,25$
Ответ: $56,25$

в) Возводим отрицательное число в четную степень. Результат будет положительным.
$(-10)^6 = (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = 1\;000\;000$
Ответ: $1\;000\;000$

г) В данном выражении в степень возводится только число 10, а знак "минус" стоит перед результатом (операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус).
$-10^6 = -(10^6) = -(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10) = -1\;000\;000$
Ответ: $-1\;000\;000$

д) Сначала вычисляем степень, затем умножаем.
$4 \cdot 5^3 = 4 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 4 \cdot 125 = 500$
Ответ: $500$

е) Сначала вычисляем степень, затем умножаем.
$-5 \cdot 2^5 = -5 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -5 \cdot 32 = -160$
Ответ: $-160$

ж) Сначала возводим 2 в степень, затем выполняем умножение. Знак "минус" относится ко всему произведению.
$-2^4 \cdot 15 = -(2^4) \cdot 15 = -16 \cdot 15$
$-16 \cdot 15 = - (16 \cdot 10 + 16 \cdot 5) = -(160 + 80) = -240$
Ответ: $-240$

з) Сначала возводим -0,1 в куб. Так как степень нечетная, результат будет отрицательным.
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = -0,001$
Теперь умножаем:
$2700 \cdot (-0,001) = -2,7$
Ответ: $-2,7$

399. Выполните действия:

а) $7^2 + 3^3$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем сложение.

Вычисляем $7^2$:

$7^2 = 7 \times 7 = 49$

Вычисляем $3^3$:

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$

Теперь выполняем сложение полученных результатов:

$49 + 27 = 76$

Ответ: 76

б) $6^2 + 8^2$

Сначала возводим каждое число в квадрат:

$6^2 = 6 \times 6 = 36$

$8^2 = 8 \times 8 = 64$

Затем складываем полученные значения:

$36 + 64 = 100$

Ответ: 100

в) $(6 + 8)^2$

В первую очередь выполняется действие в скобках:

$6 + 8 = 14$

Далее возводим полученную сумму в квадрат:

$14^2 = 14 \times 14 = 196$

Ответ: 196

г) $10^2 - 3^2$

Сначала возводим каждое число в квадрат:

$10^2 = 10 \times 10 = 100$

$3^2 = 3 \times 3 = 9$

Теперь выполняем вычитание:

$100 - 9 = 91$

Также это выражение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$10^2 - 3^2 = (10 - 3)(10 + 3) = 7 \times 13 = 91$

Ответ: 91

д) $(10 - 3)^2$

Первым действием выполняем вычитание в скобках:

$10 - 3 = 7$

Затем возводим полученную разность в квадрат:

$7^2 = 7 \times 7 = 49$

Ответ: 49

е) $2^4 - 3^2$

Выполняем возведение в степень для каждого числа:

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

$3^2 = 3 \times 3 = 9$

Далее производим вычитание:

$16 - 9 = 7$

Ответ: 7

ж) $11 - 3^4$

В соответствии с порядком действий, сначала возводим 3 в четвертую степень:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Затем выполняем вычитание:

$11 - 81 = -70$

Ответ: -70

з) $(6 - 8)^5$

Сначала выполняем действие в скобках:

$6 - 8 = -2$

Затем возводим полученный результат в пятую степень. Так как основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным:

$(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$

Ответ: -32

400. Вычислите:

$\mathrm{а}) -1^3 + {(-2)}^3;$

$\mathrm{б}) -6^3 - {(-1)}^4;$

$\mathrm{в}) -8^3 + {(-3)}^3;$

$\mathrm{г}) 10 - 5 · 2^4;$

$\mathrm{д}) 2 · 3^4 - 3 · 2^4;$

$\mathrm{е}) 2 · 5^3 + 5 · 2^3;$

$\mathrm{ж}) 3^4 - {\left(\frac{2}{5}\right)}^2· 6\frac{1}{4};$

$\mathrm{з}) 0,2 · 3^3 - 0,4 · 2^4;$

$\mathrm{и}) 8 · {0,5}^3 + 25 · {0,2}^2.$

а) Сначала выполним возведение в степень для каждого слагаемого. Важно помнить, что в выражении $-1^3$ степень относится только к числу 1, а не к знаку минус.
$-1^3 = -(1 \cdot 1 \cdot 1) = -1$.
Для второго слагаемого: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Теперь выполним сложение:
$-1 + (-8) = -1 - 8 = -9$.
Ответ: -9

б) Выполним вычисления по порядку действий. Сначала возведение в степень.
В выражении $-6^2$ степень относится только к числу 6: $-6^2 = -(6 \cdot 6) = -36$.
Для второго члена: $(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$.
Теперь выполним вычитание:
$-36 - 1 = -37$.
Ответ: -37

в) Сначала возводим в степень.
В выражении $-8^3$ степень относится только к числу 8: $-8^3 = -(8 \cdot 8 \cdot 8) = -(64 \cdot 8) = -512$.
Далее: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.
Теперь выполним сложение:
$-512 + (-27) = -512 - 27 = -539$.
Ответ: -539

г) Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и только потом вычитание.
1. Возведение в степень: $2^4 = 16$.
2. Умножение: $5 \cdot 16 = 80$.
3. Вычитание: $10 - 80 = -70$.
Ответ: -70

д) Выполним вычисления по порядку действий.
1. Возведение в степень: $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$.
2. Умножение: $2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$ и $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
3. Вычитание: $162 - 48 = 114$.
Ответ: 114

е) Выполним вычисления по порядку действий.
1. Возведение в степень: $5^3 = 125$ и $2^3 = 8$.
2. Умножение: $2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$ и $5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40$.
3. Сложение: $250 + 40 = 290$.
Ответ: 290

ж) Выполним вычисления по порядку действий.
1. Возведение в степень: $3^4 = 81$.
2. Возведение дроби в степень: $(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
3. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
4. Умножение дробей: $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{4} = \frac{4 \cdot 25}{25 \cdot 4} = 1$.
5. Вычитание: $81 - 1 = 80$.
Ответ: 80

з) Выполним вычисления по порядку действий.
1. Возведение в степень: $3^3 = 27$ и $2^4 = 16$.
2. Умножение: $0,2 \cdot 27 = 5,4$ и $0,4 \cdot 16 = 6,4$.
3. Вычитание: $5,4 - 6,4 = -1$.
Ответ: -1

и) Выполним вычисления по порядку действий. Для удобства можно перевести десятичные дроби в обыкновенные: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,2 = \frac{1}{5}$.
Выражение примет вид: $8 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 25 \cdot (\frac{1}{5})^2$.
1. Возведение в степень: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ и $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.
2. Умножение: $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ и $25 \cdot \frac{1}{25} = 1$.
3. Сложение: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

401. Найдите значение выражения:

а) 3 · 10⁴; б) 5 · 10⁶; в) 1,345 · 10¹²;г) 23,49 · 10⁹.

а) Чтобы найти значение выражения $3 \cdot 10^4$, необходимо умножить 3 на $10^4$. Степень $10^4$ означает число 1 с четырьмя нулями, то есть 10 000.
$3 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10\,000 = 30\,000$.
Другими словами, к числу 3 нужно приписать 4 нуля.
Ответ: 30 000.

б) Чтобы найти значение выражения $5 \cdot 10^6$, необходимо умножить 5 на $10^6$. Степень $10^6$ означает число 1 с шестью нулями, то есть 1 000 000.
$5 \cdot 10^6 = 5 \cdot 1\,000\,000 = 5\,000\,000$.
Другими словами, к числу 5 нужно приписать 6 нулей.
Ответ: 5 000 000.

в) Чтобы найти значение выражения $1,345 \cdot 10^{12}$, нужно умножить число 1,345 на $10^{12}$. Умножение на $10^{12}$ эквивалентно переносу десятичной запятой на 12 знаков вправо.
В числе 1,345 есть три цифры после запятой. Переносим запятую на 3 знака вправо, получаем 1345.
Далее необходимо перенести запятую еще на $12 - 3 = 9$ знаков. Для этого дописываем 9 нулей справа:
$1345\underbrace{000\,000\,000}_{9 \text{ нулей}}$
Ответ: 1 345 000 000 000.

г) Чтобы найти значение выражения $23,49 \cdot 10^9$, нужно умножить число 23,49 на $10^9$. Это означает перенос десятичной запятой на 9 знаков вправо.
В числе 23,49 есть две цифры после запятой. Переносим запятую на 2 знака вправо, получаем 2349.
Затем необходимо перенести запятую еще на $9 - 2 = 7$ знаков. Для этого дописываем 7 нулей справа:
$2349\underbrace{000\,0000}_{7 \text{ нулей}}$
Ответ: 23 490 000 000.

402. Представьте число в виде произведения числа, большего 1, но меньшего 10, и степени с основанием 10:

$\mathrm{а}) 200 000 000 000;$
$\mathrm{б}) 53 000 000 000 000 000 000;$
$\mathrm{в}) 650 000 000 000 000 000 000 000;$
$\mathrm{г}) 234 570 000 000 000 000 000 000.$

а) Чтобы представить число 200 000 000 000 в виде произведения числа, большего 1, но меньшего 10, и степени с основанием 10 (это называется стандартной формой числа), нужно переместить десятичную запятую так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. В данном случае это будет 2. Число 2 удовлетворяет условию $1 < 2 < 10$. Чтобы из 200 000 000 000 получить 2, мы сдвигаем запятую на 11 разрядов влево. Это число (11) и будет показателем степени для основания 10. Таким образом, $200\,000\,000\,000 = 2 \times 10^{11}$.
Ответ: $2 \times 10^{11}$.

б) Для числа 53 000 000 000 000 000 перемещаем запятую после первой цифры 5. Получаем число 5,3, которое удовлетворяет условию $1 < 5,3 < 10$. Для этого мы сдвинули запятую на 16 позиций влево (на одну цифру 3 и пятнадцать нулей). Следовательно, показатель степени 10 будет равен 16. Получаем $53\,000\,000\,000\,000\,000 = 5,3 \times 10^{16}$.
Ответ: $5,3 \times 10^{16}$.

в) Для числа 650 000 000 000 000 000 000 перемещаем запятую после первой цифры 6. Получаем число 6,5, которое удовлетворяет условию $1 < 6,5 < 10$. Запятую пришлось сдвинуть на 21 позицию влево (на одну цифру 5 и двадцать нулей), поэтому показатель степени 10 равен 21. Таким образом, $650\,000\,000\,000\,000\,000\,000 = 6,5 \times 10^{21}$.
Ответ: $6,5 \times 10^{21}$.

г) Для числа 234 570 000 000 000 000 000 перемещаем запятую после первой цифры 2. Получаем число 2,3457, которое удовлетворяет условию $1 < 2,3457 < 10$. Чтобы получить это число, мы сдвинули запятую на 21 позицию влево (на четыре значащие цифры 3, 4, 5, 7 и семнадцать нулей). Следовательно, показатель степени 10 равен 21. В итоге получаем $234\,570\,000\,000\,000\,000\,000 = 2,3457 \times 10^{21}$.
Ответ: $2,3457 \times 10^{21}$.

403. Заполните пропуски в таблице.

Площадь поверхности Земли

Стандартная запись числа $5,101 \cdot 10^8$ км? — это его представление в виде целого числа или десятичной дроби. Чтобы получить его, нужно умножить $5,101$ на $10^8$ (единица с 8 нулями). Это эквивалентно сдвигу десятичной запятой на 8 позиций вправо: $5,101 \cdot 10^8 = 510\ 100\ 000$.

Ответ: $510\ 100\ 000$ км?.

Расстояние от Земли до Луны

Чтобы записать число $384\ 400$ км в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, нужно представить его как произведение числа $a$ и степени десяти. Переместим запятую в числе $384\ 400$ влево так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Получится $3,844$. Запятая была перемещена на 5 знаков, поэтому показатель степени $n$ равен 5. $384\ 400 = 3,844 \cdot 10^5$.

Ответ: $3,844 \cdot 10^5$ км.

Объём воды в Чёрном море

Чтобы перевести $5,55 \cdot 10^5$ км? в десятичную запись, нужно умножить $5,55$ на $10^5$ (что равно $100\ 000$). Сдвигаем десятичную запятую на 5 позиций вправо: $5,55 \cdot 10^5 = 555\ 000$.

Ответ: $555\ 000$ км?.

Масса Марса

Чтобы записать число $618\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000$ кг в стандартном виде, представим его как $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. Переместим запятую влево так, чтобы перед ней осталась одна цифра $6$. Получим $6,18$. Мы переместили запятую на $23$ позиции (2 цифры в числе 18 и 21 ноль). Следовательно, показатель степени $n$ равен 23. $618\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000 = 6,18 \cdot 10^{23}$.

Ответ: $6,18 \cdot 10^{23}$ кг.

404. Найдите значение выражения:

а) 0,01у⁴ при у = −2; 2; −3; 3; −10; 10;

б) 2с² + 3 при с = −11; 11; 0; −15; 15.

а) Найдем значение выражения $0.01y^4$ при заданных значениях $y$.
Поскольку переменная $y$ возводится в четную степень (4), то $y^4$ будет положительным числом для любого $y \ne 0$. Значение выражения будет одинаковым для противоположных по знаку чисел (например, для $y=2$ и $y=-2$).

При $y = -2$: $0.01 \cdot (-2)^4 = 0.01 \cdot 16 = 0.16$
При $y = 2$: $0.01 \cdot 2^4 = 0.01 \cdot 16 = 0.16$

При $y = -3$: $0.01 \cdot (-3)^4 = 0.01 \cdot 81 = 0.81$
При $y = 3$: $0.01 \cdot 3^4 = 0.01 \cdot 81 = 0.81$

При $y = -10$: $0.01 \cdot (-10)^4 = 0.01 \cdot 10000 = 100$
При $y = 10$: $0.01 \cdot 10^4 = 0.01 \cdot 10000 = 100$

Ответ: 0.16; 0.16; 0.81; 0.81; 100; 100.

б) Найдем значение выражения $2c^2 + 3$ при заданных значениях $c$.
Поскольку переменная $c$ возводится в четную степень (2), то $c^2$ будет неотрицательным числом. Значение выражения будет одинаковым для противоположных по знаку чисел (например, для $c=11$ и $c=-11$).

При $c = -11$: $2 \cdot (-11)^2 + 3 = 2 \cdot 121 + 3 = 242 + 3 = 245$
При $c = 11$: $2 \cdot 11^2 + 3 = 2 \cdot 121 + 3 = 242 + 3 = 245$

При $c = 0$: $2 \cdot 0^2 + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$

При $c = -15$: $2 \cdot (-15)^2 + 3 = 2 \cdot 225 + 3 = 450 + 3 = 453$
При $c = 15$: $2 \cdot 15^2 + 3 = 2 \cdot 225 + 3 = 450 + 3 = 453$

Ответ: 245; 245; 3; 453; 453.

405. Чему равны значения выражений:

а) х²; −х²; −х)² при х = −9; 9; −6; 6; −2; 2;

б) х³; −х³; (−х)³ при х = −4; 4; −3; 3; −1; 1?

а) Вычислим значения выражений $x^2$, $-x^2$ и $(-x)^2$ для заданных значений $x$.

При $x = -9$:

• $x^2 = (-9)^2 = 81$
• $-x^2 = -((-9)^2) = -81$
• $(-x)^2 = (-(-9))^2 = 9^2 = 81$

При $x = 9$:

• $x^2 = 9^2 = 81$
• $-x^2 = -(9^2) = -81$
• $(-x)^2 = (-9)^2 = 81$

При $x = -6$:

• $x^2 = (-6)^2 = 36$
• $-x^2 = -((-6)^2) = -36$
• $(-x)^2 = (-(-6))^2 = 6^2 = 36$

При $x = 6$:

• $x^2 = 6^2 = 36$
• $-x^2 = -(6^2) = -36$
• $(-x)^2 = (-6)^2 = 36$

При $x = -2$:

• $x^2 = (-2)^2 = 4$
• $-x^2 = -((-2)^2) = -4$
• $(-x)^2 = (-(-2))^2 = 2^2 = 4$

При $x = 2$:

• $x^2 = 2^2 = 4$
• $-x^2 = -(2^2) = -4$
• $(-x)^2 = (-2)^2 = 4$

Заметим, что для четной степени (в данном случае 2) значение выражения не зависит от знака $x$, поэтому $x^2 = (-x)^2$.

Ответ: При $x = -9$ и $x = 9$: $x^2 = 81$; $-x^2 = -81$; $(-x)^2 = 81$. При $x = -6$ и $x = 6$: $x^2 = 36$; $-x^2 = -36$; $(-x)^2 = 36$. При $x = -2$ и $x = 2$: $x^2 = 4$; $-x^2 = -4$; $(-x)^2 = 4$.

б) Вычислим значения выражений $x^3$, $-x^3$ и $(-x)^3$ для заданных значений $x$.

При $x = -4$:

• $x^3 = (-4)^3 = -64$
• $-x^3 = -((-4)^3) = -(-64) = 64$
• $(-x)^3 = (-(-4))^3 = 4^3 = 64$

При $x = 4$:

• $x^3 = 4^3 = 64$
• $-x^3 = -(4^3) = -64$
• $(-x)^3 = (-4)^3 = -64$

При $x = -3$:

• $x^3 = (-3)^3 = -27$
• $-x^3 = -((-3)^3) = -(-27) = 27$
• $(-x)^3 = (-(-3))^3 = 3^3 = 27$

При $x = 3$:

• $x^3 = 3^3 = 27$
• $-x^3 = -(3^3) = -27$
• $(-x)^3 = (-3)^3 = -27$

При $x = -1$:

• $x^3 = (-1)^3 = -1$
• $-x^3 = -((-1)^3) = -(-1) = 1$
• $(-x)^3 = (-(-1))^3 = 1^3 = 1$

При $x = 1$:

• $x^3 = 1^3 = 1$
• $-x^3 = -(1^3) = -1$
• $(-x)^3 = (-1)^3 = -1$

Заметим, что для нечетной степени (в данном случае 3) выполняется равенство $(-x)^3 = -x^3$.

Ответ: При $x = -4$: $x^3 = -64$; $-x^3 = 64$; $(-x)^3 = 64$. При $x = 4$: $x^3 = 64$; $-x^3 = -64$; $(-x)^3 = -64$. При $x = -3$: $x^3 = -27$; $-x^3 = 27$; $(-x)^3 = 27$. При $x = 3$: $x^3 = 27$; $-x^3 = -27$; $(-x)^3 = -27$. При $x = -1$: $x^3 = -1$; $-x^3 = 1$; $(-x)^3 = 1$. При $x = 1$: $x^3 = 1$; $-x^3 = -1$; $(-x)^3 = -1$.

406. Вычислите значение выражения х⁵ + х⁴ + х³ + х² + х при х = −1; 0; 10.

при x = -1

Чтобы найти значение выражения при $x = -1$, подставим это значение в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$.

$(-1)^5 + (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1)$

Возводим $-1$ в соответствующие степени. Помним, что отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат, а в четной — положительный:

$(-1)^5 = -1$
$(-1)^4 = 1$
$(-1)^3 = -1$
$(-1)^2 = 1$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и выполним сложение:

$-1 + 1 + (-1) + 1 + (-1) = (-1 + 1) + (-1 + 1) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$

Ответ: -1.

при x = 0

Подставим значение $x = 0$ в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$:

$0^5 + 0^4 + 0^3 + 0^2 + 0$

Любая натуральная степень нуля равна нулю, поэтому сумма всех слагаемых также будет равна нулю:

$0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0.

при x = 10

Подставим значение $x = 10$ в выражение $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x$:

$10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10$

Сложив все числа, получаем:

$100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 = 111110$

Ответ: 111110.