Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

369. Зная, что зависимость у от х является линейной функцией, заполните таблицу, перечертив её в тетрадь.

По условию, зависимость $y$ от $x$ является линейной, то есть её можно задать формулой $y = kx + b$.

Из таблицы нам известны две точки, через которые проходит график функции: $(0, -8)$ и $(2, 12)$.

Сначала найдём коэффициент $b$. Подставим координаты точки $(0, -8)$ в уравнение функции:

$-8 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b = -8$.

Теперь уравнение функции имеет вид $y = kx - 8$. Чтобы найти коэффициент $k$, подставим в это уравнение координаты второй известной точки $(2, 12)$:

$12 = k \cdot 2 - 8$

$12 + 8 = 2k$

$20 = 2k$

$k = \frac{20}{2} = 10$

Таким образом, искомая линейная функция задаётся формулой $y = 10x - 8$.

Теперь мы можем найти пропущенные значения $y$ в таблице, подставляя соответствующие значения $x$ в полученную формулу.

При $x = -2$:

$y = 10 \cdot (-2) - 8 = -20 - 8 = -28$

При $x = 4$:

$y = 10 \cdot 4 - 8 = 40 - 8 = 32$

При $x = 6$:

$y = 10 \cdot 6 - 8 = 60 - 8 = 52$

Заполненная таблица:

Ответ:

По условию, зависимость $y$ от $x$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. В таблице приведены четыре пары значений $(x, y)$: $(-10, -15)$, $(0, 5)$, $(10, 6)$ и $(30, 15)$.

Для линейной функции угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ должен быть постоянным для любых двух точек. Проверим это для данных из таблицы.

Для точек $(-10, -15)$ и $(0, 5)$:

$k = \frac{5 - (-15)}{0 - (-10)} = \frac{20}{10} = 2$

Для точек $(0, 5)$ и $(10, 6)$:

$k = \frac{6 - 5}{10 - 0} = \frac{1}{10} = 0.1$

Поскольку значения углового коэффициента не совпадают ($2 \neq 0.1$), точки, приведённые в таблице, не лежат на одной прямой. Это указывает на наличие опечатки в условии задачи. Однако, поскольку в задании сказано, что функция линейная, мы должны исходить из этого. Примем за основу две точки для нахождения формулы функции и, основываясь на ней, исправим остальные значения в таблице.

Возьмём первые две точки $(-10, -15)$ и $(0, 5)$. Из точки $(0, 5)$ следует, что $b=5$. Угловой коэффициент для этих точек мы уже нашли, $k=2$.

Таким образом, будем считать, что функция задана формулой $y = 2x + 5$.

Теперь "заполним" таблицу, вычислив значения $y$ по этой формуле для каждого $x$:

При $x = -10$: $y = 2(-10) + 5 = -20 + 5 = -15$. (Совпадает с табличным значением)

При $x = 0$: $y = 2(0) + 5 = 0 + 5 = 5$. (Совпадает с табличным значением)

При $x = 10$: $y = 2(10) + 5 = 20 + 5 = 25$. (В исходной таблице было 6)

При $x = 30$: $y = 2(30) + 5 = 60 + 5 = 65$. (В исходной таблице было 15)

Таким образом, исправленная таблица, соответствующая линейной функции, будет выглядеть так:

Ответ:

370. В таблице указаны некоторые аргумента и соответствующие им значения линейной функции. Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.

По условию, функция является линейной, следовательно, её можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. Наша задача — найти эти числа, используя данные из таблицы.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$. Его можно вычислить по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя координаты двух любых точек из таблицы. Возьмем первые две точки: $(1, 11)$ и $(2, 21)$.

Подставим значения в формулу:
$k = \frac{21 - 11}{2 - 1} = \frac{10}{1} = 10$.

Теперь мы знаем, что формула функции имеет вид $y = 10x + b$. Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в это уравнение координаты любой точки из таблицы. Воспользуемся точкой $(1, 11)$:
$11 = 10 \cdot 1 + b$
$11 = 10 + b$
$b = 11 - 10 = 1$.

Таким образом, мы нашли оба коэффициента: $k = 10$ и $b = 1$. Следовательно, искомая формула линейной функции: $y = 10x + 1$.

Для проверки можно подставить значения другой пары $(x, y)$ из таблицы, например, $(7, 71)$:
$y = 10 \cdot 7 + 1 = 70 + 1 = 71$.
Значение совпадает с табличным, значит формула верна.

Ответ: $y = 10x + 1$

371. Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика равна 400 г. Какова масса m (в граммах) ящика, в котором лежит х гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависимость m от х. Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?

Составьте формулу, выражающую зависимость m от x.

Общая масса $m$ ящика с гвоздями складывается из массы пустого ящика и общей массы всех гвоздей, которые в нем лежат.
По условию, масса пустого ящика составляет 400 г.
Масса одного гвоздя равна 5 г. Если в ящике находится $x$ гвоздей, то их общая масса будет равна произведению количества гвоздей на массу одного гвоздя, то есть $5 \cdot x$ граммов.
Следовательно, общая масса $m$ равна сумме массы ящика и массы гвоздей:$m = 400 + 5x$.
Эту формулу принято записывать в виде $m = 5x + 400$, чтобы она соответствовала стандартному виду линейной функции.
Ответ: $m = 5x + 400$.

Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа.
Полученная нами функция $m = 5x + 400$ выражает зависимость массы $m$ от количества гвоздей $x$. Она полностью соответствует общему виду линейной функции $y = kx + b$.
В данном случае:

• $y$ соответствует $m$ (зависимая переменная, общая масса).
• $x$ — независимая переменная (количество гвоздей).
• Угловой коэффициент $k = 5$.
• Свободный член $b = 400$.

Поскольку функция может быть представлена в виде $y = kx + b$, она является линейной.
Ответ: Да, является.

372.При каком значении а точка А(а; −1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности y = 3,5x?

По условию, точка $A(a; -1,4)$ принадлежит графику прямой пропорциональности $y=3,5x$. Если точка принадлежит графику функции, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это значит, что если мы подставим в уравнение $y=3,5x$ вместо $x$ значение абсциссы точки $A$ (то есть $a$), а вместо $y$ — значение ее ординаты (то есть $-1,4$), то мы получим верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $A$ в уравнение функции:
$-1,4 = 3,5 \cdot a$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$. Для этого найдем $a$, разделив обе части уравнения на коэффициент $3,5$:
$a = \frac{-1,4}{3,5}$
Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$a = \frac{-14}{35}$
Сократим полученную дробь на 7, так как и числитель, и знаменатель делятся на 7:
$a = -\frac{2}{5}$
Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив 2 на 5:
$a = -0,4$

Таким образом, при $a = -0,4$ точка $A$ с координатами $(-0,4; -1,4)$ будет принадлежать графику функции $y=3,5x$.

Ответ: $a = -0,4$.

373. Функция задана формулой у = 14х + 3, где −4 ≤ х ≤ 8. Постройте график этой функции. Какие целые значения может принимать эта функция?

Постройте график этой функции.

Функция задана формулой $y = \frac{1}{4}x + 3$ на отрезке $-4 \le x \le 8$. Это линейная функция, её график представляет собой отрезок прямой. Для построения этого отрезка достаточно найти координаты его конечных точек, то есть значения функции на концах заданного интервала.

1. Найдем значение функции на левой границе области определения, при $x = -4$:
$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4) + 3 = -1 + 3 = 2$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(-4; 2)$.

2. Найдем значение функции на правой границе области определения, при $x = 8$:
$y(8) = \frac{1}{4} \cdot 8 + 3 = 2 + 3 = 5$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(8; 5)$.

Соединив на координатной плоскости точки $(-4; 2)$ и $(8; 5)$, мы получим график данной функции.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-4; 2)$ и $(8; 5)$.

Какие целые значения может принимать эта функция?

Чтобы найти все значения, которые может принимать функция (ее область значений), нужно определить её наименьшее и наибольшее значение на заданном отрезке $[-4; 8]$.

Так как угловой коэффициент функции $k = \frac{1}{4}$ положителен, функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что свое наименьшее значение она принимает при наименьшем значении $x$, а наибольшее — при наибольшем значении $x$.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y(-4) = 2$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = y(8) = 5$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[2; 5]$. Нас интересуют целые числа, которые принадлежат этому отрезку.

Целые числа из отрезка $[2; 5]$: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

374. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры воздуха может быть найдена приближённо по формуле v = 331 + 0,6t, где v − скорость (в метрах в секунду), t − температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой −35℃ и в летний день с температурой + 30℃.

Согласно условию задачи, скорость распространения звука в воздухе $v$ (в метрах в секунду) зависит от температуры $t$ (в градусах Цельсия) и может быть найдена по формуле:

$v = 331 + 0,6t$

Нам нужно найти скорость звука для двух различных температурных условий.

В зимний день с температурой -35°C

Подставим значение температуры $t = -35$ в данную формулу:

$v = 331 + 0,6 \cdot (-35)$

Сначала выполним умножение:

$0,6 \cdot (-35) = -21$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу и выполним сложение:

$v = 331 - 21 = 310$

Таким образом, скорость звука в зимний день при температуре -35°C равна 310 м/с.

Ответ: 310 м/с.

В летний день с температурой +30°C

Подставим значение температуры $t = 30$ в ту же формулу:

$v = 331 + 0,6 \cdot 30$

Выполним умножение:

$0,6 \cdot 30 = 18$

Теперь выполним сложение:

$v = 331 + 18 = 349$

Следовательно, скорость звука в летний день при температуре +30°C равна 349 м/с.

Ответ: 349 м/с.

375. Пересекает ли ось х график линейной функции и если пересекает, то в какой точке:

Чтобы определить, пересекает ли график линейной функции ось $x$, и найти точку пересечения, нужно подставить $y=0$ в уравнение функции и решить его относительно $x$. Если уравнение имеет решение, то график пересекает ось $x$ в точке с найденной координатой $x$ и координатой $y=0$. Если уравнение не имеет решения, то график не пересекает ось $x$.

а) $y = 100 - 25x$

Приравняем $y$ к нулю:

$100 - 25x = 0$

Перенесем $25x$ в правую часть:

$25x = 100$

Найдем $x$:

$x = \frac{100}{25}$

$x = 4$

График пересекает ось $x$ в точке с координатами $(4, 0)$.

Ответ: да, пересекает в точке $(4, 0)$.

б) $y = 7x + 49$

Приравняем $y$ к нулю:

$7x + 49 = 0$

Перенесем $49$ в правую часть:

$7x = -49$

Найдем $x$:

$x = \frac{-49}{7}$

$x = -7$

График пересекает ось $x$ в точке с координатами $(-7, 0)$.

Ответ: да, пересекает в точке $(-7, 0)$.

в) $y = 200x$

Приравняем $y$ к нулю:

$200x = 0$

Найдем $x$:

$x = \frac{0}{200}$

$x = 0$

График пересекает ось $x$ в точке с координатами $(0, 0)$, то есть в начале координат.

Ответ: да, пересекает в точке $(0, 0)$.

г) $y = -75x$

Приравняем $y$ к нулю:

$-75x = 0$

Найдем $x$:

$x = \frac{0}{-75}$

$x = 0$

График пересекает ось $x$ в точке с координатами $(0, 0)$.

Ответ: да, пересекает в точке $(0, 0)$.

д) $y = -15$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$) равную $-15$. Ось $x$ — это прямая, где ордината всех точек равна $0$. Так как $-15 \neq 0$, данная прямая параллельна оси $x$ и не пересекает ее.

Если мы попытаемся решить уравнение $y=0$, получим $0 = -15$, что является неверным равенством. Следовательно, решений нет.

Ответ: нет, не пересекает.

е) $y = 15$

Аналогично предыдущему случаю, это уравнение задает горизонтальную прямую, у которой все точки имеют ординату $y=15$. Поскольку для пересечения с осью $x$ требуется, чтобы $y$ было равно $0$, а $15 \neq 0$, график этой функции не пересекает ось $x$. Прямая $y=15$ параллельна оси $x$.

Ответ: нет, не пересекает.

376. Постройте схематически график функции у = kx + b, если:

Для построения схематических графиков функции $y = kx + b$ необходимо проанализировать знаки коэффициентов $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо).
• Коэффициент $b$ (свободный член) определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью $Oy$). Эта точка имеет координаты $(0, b)$. Если $b > 0$, точка пересечения находится выше начала координат. Если $b < 0$, точка пересечения находится ниже начала координат.

а) k > 0; b > 0;

Так как $k > 0$, график функции является возрастающей прямой. Так как $b > 0$, прямая пересекает ось $Oy$ в точке выше начала координат. Точка пересечения с осью $Ox$ находится по формуле $x = -b/k$. Поскольку $b>0$ и $k>0$, то $x < 0$. Следовательно, график проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График — возрастающая прямая, пересекающая ось ординат в положительной части, а ось абсцисс — в отрицательной.

б) k > 0; b < 0;

Так как $k > 0$, график функции является возрастающей прямой. Так как $b < 0$, прямая пересекает ось $Oy$ в точке ниже начала координат. Точка пересечения с осью $Ox$ находится по формуле $x = -b/k$. Поскольку $b<0$ и $k>0$, то $x > 0$. Следовательно, график проходит через I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График — возрастающая прямая, пересекающая ось ординат в отрицательной части, а ось абсцисс — в положительной.

в) k < 0; b > 0;

Так как $k < 0$, график функции является убывающей прямой. Так как $b > 0$, прямая пересекает ось $Oy$ в точке выше начала координат. Точка пересечения с осью $Ox$ находится по формуле $x = -b/k$. Поскольку $b>0$ и $k<0$, то $x > 0$. Следовательно, график проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, пересекающая ось ординат и ось абсцисс в их положительных частях.

г) k < 0; b < 0;

Так как $k < 0$, график функции является убывающей прямой. Так как $b < 0$, прямая пересекает ось $Oy$ в точке ниже начала координат. Точка пересечения с осью $Ox$ находится по формуле $x = -b/k$. Поскольку $b<0$ и $k<0$, то $x < 0$. Следовательно, график проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ: График — убывающая прямая, пересекающая ось ординат и ось абсцисс в их отрицательных частях.

377.Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций у = ах и у = bх, если:

а) а > 0, b > 0 и а > b;

б) а < 0, b < 0 и |а| < |b|;

а)

Рассмотрим функции $y=ax$ и $y=bx$ при условиях $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.

1. Обе функции являются прямыми пропорциональностями, поэтому их графики — это прямые, проходящие через начало координат (0, 0).

2. Так как угловые коэффициенты $a$ и $b$ положительны ($a > 0$, $b > 0$), оба графика расположены в I и III координатных четвертях. Функции являются возрастающими.

3. Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y=kx$ определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Чем больше положительное значение $k$, тем "круче" идет прямая, то есть тем ближе она расположена к оси Oy.

4. По условию $a > b$. Это означает, что график функции $y=ax$ будет наклонен к оси Ox под большим углом, чем график функции $y=bx$.

Схематически это выглядит так: обе прямые выходят из начала координат. В первой четверти (где $x > 0$) прямая $y=ax$ будет расположена выше прямой $y=bx$, так как при одном и том же положительном значении $x$, значение $ax$ будет больше, чем $bx$. В третьей четверти (где $x < 0$) прямая $y=ax$ будет расположена ниже прямой $y=bx$, так как при умножении неравенства $a > b$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $ax < bx$.

Ответ: Графики обеих функций — прямые, проходящие через начало координат в I и III четвертях. График функции $y=ax$ расположен "круче" (ближе к оси Oy) и в I четверти находится выше графика $y=bx$.

б)

Рассмотрим функции $y=ax$ и $y=bx$ при условиях $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

1. Как и в предыдущем пункте, графики обеих функций — это прямые, проходящие через начало координат.

2. Так как угловые коэффициенты $a$ и $b$ отрицательны ($a < 0$, $b < 0$), оба графика расположены во II и IV координатных четвертях. Функции являются убывающими.

3. "Крутизна" наклона прямой определяется модулем углового коэффициента. Чем больше $|k|$, тем прямая "круче" (ближе к оси Oy).

4. По условию $|a| < |b|$. Это означает, что график функции $y=bx$ будет "круче" (расположен ближе к оси Oy), чем график функции $y=ax$.

5. Из условий $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$ следует, что $a > b$. Например, если $a = -2$ и $b = -4$, то $|-2| < |-4|$ (т.е. $2 < 4$) и $-2 > -4$.

Схематически это выглядит так: обе прямые выходят из начала координат. В IV четверти (где $x > 0$), умножая верное неравенство $a > b$ на положительное число $x$, получаем $ax > bx$. Следовательно, в IV четверти график $y=ax$ находится выше графика $y=bx$. Во II четверти (где $x < 0$), умножая неравенство $a > b$ на отрицательное число $x$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $ax < bx$. Таким образом, во II четверти график $y=ax$ находится ниже графика $y=bx$.

Ответ: Графики обеих функций — прямые, проходящие через начало координат во II и IV четвертях. График функции $y=bx$ расположен "круче" (ближе к оси Oy), а график $y=ax$ — более пологий. В IV четверти график $y=ax$ находится выше графика $y=bx$.