Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

356. Турист вышел с турбазы А в направлении железнодорожной станции В. На рисунке 65 дан график зависимости пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните:

а) какое время затратил турист на путь из А в В;

б) с какой средней скоростью двигался турист;

в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал;

г) сколько километров турист прошёл за первый час движения и сколько за последний;

д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км.

а) какое время затратил турист на путь из А в B;

Чтобы определить общее время в пути, необходимо найти конечную точку на оси времени (ось t). График заканчивается в точке, где $t = 4$ часа. Следовательно, турист затратил на весь путь 4 часа.

Ответ: 4 часа.

б) с какой средней скоростью двигался турист;

Средняя скорость вычисляется по формуле: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения. Из графика видно, что общий путь $S_{общ}$ составляет 16 км (конечное значение по оси s), а общее время $t_{общ}$ — 4 часа (из пункта а). $V_{ср} = \frac{16 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4 км/ч.

в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал;

Привал на графике — это горизонтальный участок, где расстояние не меняется.
Первый привал: Начинается при $t=1,25$ ч и заканчивается при $t=1,75$ ч. Его длительность составляет $1,75 - 1,25 = 0,5$ часа. Переведем в минуты: $0,5 \times 60 = 30$ минут.
Второй привал: Начинается при $t=2,75$ ч и заканчивается при $t=3$ ч. Его длительность составляет $3 - 2,75 = 0,25$ часа. Переведем в минуты: $0,25 \times 60 = 15$ минут.

Ответ: на первый привал турист затратил 30 минут, на второй — 15 минут.

г) сколько километров турист прошёл за первый час движения и сколько за последний;

За первый час движения: На первом участке (от $t=0$ до $t=1,25$ ч) турист прошел 6 км. Скорость на этом участке была постоянной: $v_1 = \frac{6 \text{ км}}{1,25 \text{ ч}} = 4,8 \text{ км/ч}$. За первый час он прошёл расстояние $s_1 = v_1 \times 1 \text{ ч} = 4,8 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 4,8 \text{ км}$.
За последний час движения: Это интервал времени с $t=3$ ч до $t=4$ ч. В начале этого часа ($t=3$ ч) турист находился на отметке $s=11$ км. В конце ($t=4$ ч) — на отметке $s=16$ км. Таким образом, за последний час он прошел $16 \text{ км} - 11 \text{ км} = 5 \text{ км}$.

Ответ: за первый час турист прошел 4,8 км, а за последний — 5 км.

д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км.

Время на первые 8 км: Первые 6 км турист прошел за 1,25 часа. Затем был привал до $t=1,75$ ч. После привала, на участке с $t=1,75$ ч до $t=2,75$ ч, он двигался со скоростью $v = \frac{11\text{км} - 6\text{км}}{2,75\text{ч} - 1,75\text{ч}} = 5 \text{ км/ч}$. Чтобы пройти оставшиеся $8 - 6 = 2$ км, ему потребовалось время $\Delta t = \frac{2 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 0,4$ ч. Общее время от старта до отметки 8 км составляет: $1,75 \text{ ч} + 0,4 \text{ ч} = 2,15$ ч.
Время на последующие 8 км (с 8-го по 16-й км): Общее время в пути — 4 часа. Время, затраченное на первые 8 км, — 2,15 ч. Следовательно, время на вторую половину пути: $4 \text{ ч} - 2,15 \text{ ч} = 1,85$ ч.
Для удобства можно перевести в часы и минуты: $2,15 \text{ ч} = 2 \text{ часа } 9 \text{ минут}$; $1,85 \text{ ч} = 1 \text{ час } 51 \text{ минута}$.

Ответ: на первые 8 км было затрачено 2,15 часа (2 часа 9 минут), на последующие 8 км — 1,85 часа (1 час 51 минута).

357. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) y = 7x² − 4; б) у = 8х² + 4.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробно-рациональных функций, представленных в задаче, это означает, что их знаменатель не должен быть равен нулю.

Дана функция $y = \frac{7}{x^2 - 4}$.

Чтобы найти область определения, необходимо исключить те значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 4$ обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

Отсюда получаем два значения $x$, которые не входят в область определения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Дана функция $y = \frac{8}{x^2 + 4}$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель $x^2 + 4$ не равен нулю. Проверим, существуют ли такие значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Рассмотрим выражение в знаменателе: $x^2 + 4$.

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному значению $x^2$ прибавить положительное число 4, то результат всегда будет строго положительным:

$x^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $x^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку знаменатель $x^2 + 4$ никогда не равен нулю (его наименьшее значение равно 4 при $x=0$), то ограничений на переменную $x$ нет.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

358. Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на х%. Составьте формулу, выражающую зависимость у от х, где у − число изготовленных бригадой деталей. Найдите по формуле:

а) значение у, если х = 10;

б) значение х, при котором у = 180.

Сначала составим формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$.

План бригады составляет 150 деталей. Бригада перевыполнила план на $x\%$. Это означает, что она изготовила сверх плана количество деталей, равное $x\%$ от 150.

Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на процент, выраженный в виде десятичной дроби. Величина перевыполнения плана в деталях равна:

$150 \cdot \frac{x}{100} = 1.5x$

Общее число изготовленных деталей $y$ равно сумме планового количества и количества деталей, изготовленных сверх плана:

$y = 150 + 1.5x$

Это и есть искомая формула.

а) значение y, если x = 10;

Подставим значение $x = 10$ в полученную формулу:

$y = 150 + 1.5 \cdot 10$

$y = 150 + 15$

$y = 165$

Ответ: 165.

б) значение x, при котором y = 180.

Подставим значение $y = 180$ в формулу и решим уравнение относительно $x$:

$180 = 150 + 1.5x$

Перенесем 150 в левую часть уравнения, изменив знак:

$180 - 150 = 1.5x$

$30 = 1.5x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 1.5:

$x = \frac{30}{1.5}$

$x = 20$

Ответ: 20.

359. Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоугольник со сторонами 8 см и х см (рис. 66). Обозначив площадь оставшейся части квадрата (в квадратных сантиметрах) буквой у, выразите зависимость у(х) формулой. Найдите:

а) значение у, если х = 2,5; 4;

б) значение х, если у = 20; 36.

Для начала найдем общую формулу зависимости площади оставшейся части квадрата $y$ от стороны вырезанного прямоугольника $x$.

1. Площадь исходного квадрата со стороной 10 см равна $S_{квадрата} = 10^2 = 100$ см?.

2. Площадь вырезанного прямоугольника со сторонами 8 см и $x$ см равна $S_{прямоугольника} = 8 \cdot x = 8x$ см?.

3. Площадь оставшейся части $y$ равна разности площади квадрата и площади вырезанного прямоугольника.

Таким образом, формула зависимости $y$ от $x$ выглядит так: $y(x) = 100 - 8x$.

Теперь найдем требуемые значения.

а) Найдем значение $y$, если $x = 2,5$ и $x = 4$.
При $x = 2,5$:
$y = 100 - 8 \cdot 2,5 = 100 - 20 = 80$ см?.
При $x = 4$:
$y = 100 - 8 \cdot 4 = 100 - 32 = 68$ см?.
Ответ: 80; 68.

б) Найдем значение $x$, если $y = 20$ и $y = 36$.
Для этого выразим $x$ из формулы $y = 100 - 8x$:
$8x = 100 - y$
$x = \frac{100 - y}{8}$
При $y = 20$:
$x = \frac{100 - 20}{8} = \frac{80}{8} = 10$ см.
При $y = 36$:
$x = \frac{100 - 36}{8} = \frac{64}{8} = 8$ см.
Ответ: 10; 8.

360. На рисунке 67 чёрной линией изображён график первой функции, а цветной − график второй функции. При каких значениях аргумента значение первой функции:

а) равно значению второй;

б) больше значения второй;

в) меньше значения второй?

В данной задаче требуется сравнить значения двух функций, графики которых представлены на рисунке. График первой функции — чёрная парабола, ветви которой направлены вниз. График второй функции — цветная (синяя) парабола, ветви которой направлены вверх. Значение функции для определённого аргумента $x$ — это координата $y$ на графике.

а) равно значению второй;
Значения функций равны в тех точках, где их графики пересекаются. Найдём на графике точки пересечения чёрной и синей линий и определим их абсциссы (координаты по оси $x$).
Из рисунка видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(-1, 1)$ и $(3, 1)$.
Это означает, что при $x = -1$ и при $x = 3$ значения обеих функций равны 1.
Ответ: при $x = -1$ и $x = 3$.

б) больше значения второй;
Значение первой функции больше значения второй, когда её график (чёрная линия) находится выше графика второй функции (синяя линия).
Глядя на рисунок, мы видим, что чёрная линия расположена выше синей на интервале между точками их пересечения.
Так как абсциссы точек пересечения равны -1 и 3, то искомый промежуток для $x$ будет от -1 до 3, не включая концы (в них значения равны).
Ответ: при $x \in (-1, 3)$ (или в виде неравенства $-1 < x < 3$).

в) меньше значения второй?
Значение первой функции меньше значения второй, когда её график (чёрная линия) находится ниже графика второй функции (синяя линия).
Это происходит на двух участках: слева от первой точки пересечения и справа от второй точки пересечения.
Первый участок соответствует значениям $x$, которые меньше -1. Второй участок соответствует значениям $x$, которые больше 3.
Таким образом, условие выполняется для всех $x$ из объединения двух интервалов: $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.
Ответ: при $x < -1$ или $x > 3$ (или в виде множества $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$).