Номер 357, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 4. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 357, страница 89.

357. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) y = 7x² − 4; б) у = 8х² + 4.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для дробно-рациональных функций, представленных в задаче, это означает, что их знаменатель не должен быть равен нулю.

а)

Дана функция $y = \frac{7}{x^2 - 4}$.

Чтобы найти область определения, необходимо исключить те значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 4$ обращается в ноль. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

Отсюда получаем два значения $x$, которые не входят в область определения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{8}{x^2 + 4}$.

Функция определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель $x^2 + 4$ не равен нулю. Проверим, существуют ли такие значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

Рассмотрим выражение в знаменателе: $x^2 + 4$.

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному значению $x^2$ прибавить положительное число 4, то результат всегда будет строго положительным:

$x^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $x^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку знаменатель $x^2 + 4$ никогда не равен нулю (его наименьшее значение равно 4 при $x=0$), то ограничений на переменную $x$ нет.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.