Номер 353, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 17. Кусочно-заданные функции - номер 353, страница 88.

Условие.

353. На рисунке 64 изображён график движения автомобиля из пункта А в пункт В. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки? С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?

Решение 1.

Область определения функции разбивается на три промежутка:

1) 0 ≤ t ≤ 1,5. Угол наклона графика функции к оси x острый, значит, k > 0.
V = 60 км/ч. Значит, S = 60t.

2) 1,5 < y < 2, S = 90.

3) 2 ≤ t ≤ 3, S = 90t.

Получим:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\left\{\begin{array}{l}60\mathrm{t}, \mathrm{если} 0⩽\mathrm{t}⩽1,5\\ 90, \mathrm{если} 1,5<\mathrm{t}<2 \\ 90\mathrm{t}-90, \mathrm{если} 2⩽\mathrm{t}⩽3\end{array}\right. \end{gathered}$$

До остановки автомобиль двигался со скоростью V = 60 км/ч. После остановки автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задайте эту функцию аналитически.
График движения представляет собой кусочно-линейную функцию зависимости расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч). Чтобы задать эту функцию аналитически, нужно найти уравнение для каждого из трех участков графика.

1. Первый участок (движение до остановки): $0 \le t \le 1.5$
Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $A(0, 0)$ и $(1.5, 90)$. Уравнение прямой имеет вид $s(t) = kt + b$. Поскольку прямая проходит через начало координат, $b=0$. Коэффициент $k$ (скорость) найдем по второй точке:
$k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 - 0}{1.5 - 0} = 60$ км/ч.
Таким образом, на этом интервале функция имеет вид: $s(t) = 60t$.

2. Второй участок (остановка): $1.5 < t \le 2$
На этом участке расстояние не меняется и остается равным 90 км. Это горизонтальная линия.
Функция на этом интервале: $s(t) = 90$.

3. Третий участок (движение после остановки): $2 < t \le 4$
Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $(2, 90)$ и $B(4, 180)$.
Найдем скорость (коэффициент наклона $k$) на этом участке:
$k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{180 - 90}{4 - 2} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.
Теперь найдем уравнение прямой $s(t) = 45t + b$ с помощью точки $(2, 90)$:
$90 = 45 \cdot 2 + b$
$90 = 90 + b$
$b = 0$
Таким образом, на этом интервале функция имеет вид: $s(t) = 45t$.

Объединяя все три части, получаем аналитическое выражение для функции:
$s(t) = \begin{cases} 60t, & \text{если } 0 \le t \le 1.5 \\ 90, & \text{если } 1.5 < t \le 2 \\ 45t, & \text{если } 2 < t \le 4 \end{cases}$
Ответ: Функция, описывающая движение автомобиля, задается аналитически в виде: $s(t) = \begin{cases} 60t, & \text{если } 0 \le t \le 1.5 \\ 90, & \text{если } 1.5 < t \le 2 \\ 45t, & \text{если } 2 < t \le 4 \end{cases}$

С какой скоростью двигался автомобиль до остановки?
Движение до остановки соответствует первому участку графика, от $t=0$ до $t=1.5$ ч. Скорость на этом участке является тангенсом угла наклона прямой и рассчитывается как отношение изменения расстояния ко времени.
За время $\Delta t = 1.5 - 0 = 1.5$ ч автомобиль проехал расстояние $\Delta s = 90 - 0 = 90$ км.
Скорость $v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 60$ км/ч.
Ответ: До остановки автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч.

С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?
Движение после остановки соответствует третьему участку графика, от $t=2$ до $t=4$ ч.
За время $\Delta t = 4 - 2 = 2$ ч автомобиль проехал расстояние $\Delta s = 180 - 90 = 90$ км.
Скорость $v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 45$ км/ч.
Ответ: После остановки автомобиль двигался со скоростью 45 км/ч.