Номер 349, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 349, страница 87.

349. Функция задана следующим образом:

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х} + 2, \mathrm{если} \mathrm{х} < 0,\\ \mathrm{х} + 2, \mathrm{если} \mathrm{х} \ge 0;\end{array}\right.$

Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.

Данная функция определена двумя различными формулами для разных областей определения переменной $x$:

$ y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Для того чтобы представить эту кусочно-заданную функцию одной формулой, необходимо использовать знак модуля. Вспомним определение модуля (абсолютной величины) числа $x$:

$ |x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0, \\ x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Теперь сравним правую часть определения модуля с тем, как задана наша функция. Мы видим, что в обоих случаях ($x < 0$ и $x \ge 0$) к переменной части выражения прибавляется одно и то же число 2. Переменная же часть в точности совпадает с определением $|x|$.

Проверим это, подставив $|x|$ в предполагаемую формулу $y = |x| + 2$:

1. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставляя это в нашу формулу, получаем: $y = -x + 2$. Это полностью совпадает с первой строкой в определении исходной функции.

2. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставляя это в нашу формулу, получаем: $y = x + 2$. Это полностью совпадает со второй строкой в определении исходной функции.

Таким образом, функция $y = |x| + 2$ эквивалентна данной кусочной функции для всех значений $x$.

Ответ: $y = |x| + 2$.