Номер 344, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 344, страница 86.

344. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 62), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды V (в литрах) в баке зависит от времени х (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость V от х аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин.

Для того чтобы задать зависимость объёма воды $V$ (в литрах) в баке от времени $x$ (в минутах), проанализируем условия задачи.

1. Определение начальных и конечных условий.
Начальный объём воды в баке: $V_0 = 20$ л.
Скорость вытекания воды: $v = 2$ л/мин.
Поскольку кран расположен выше дна, вытечь может только часть воды. Максимальный объём воды, который может вытечь из бака, составляет 0,9 от общего объёма:
$V_{вытекающий} = 0,9 \times 20 = 18$ л.
Следовательно, минимальный объём воды, который всегда будет оставаться в баке, равен:
$V_{остаток} = V_0 - V_{вытекающий} = 20 - 18 = 2$ л.

2. Расчёт времени вытекания.
Теперь найдём, сколько времени потребуется, чтобы вытек весь доступный объём воды (18 литров).
$t_{стоп} = \frac{V_{вытекающий}}{v} = \frac{18 \text{ л}}{2 \text{ л/мин}} = 9$ минут.
Это означает, что вода будет вытекать из крана только в течение первых 9 минут. После этого уровень воды опустится до уровня крана, и вытекание прекратится.

3. Формулирование аналитической зависимости.
Задача требует задать зависимость для $x$ в течение 12 минут, то есть для $x \in [0, 12]$. Эта зависимость будет кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей.

• При $0 \le x \le 9$, вода вытекает. Объём воды в баке $V(x)$ равен начальному объёму за вычетом объёма вытекшей за время $x$ воды.
  $V(x) = V_0 - v \cdot x = 20 - 2x$.
• При $9 < x \le 12$, вода уже не вытекает. Объём воды в баке остаётся постоянным и равным несливаемому остатку.
  $V(x) = V_{остаток} = 2$.

Объединив эти два случая, мы получаем искомую аналитическую зависимость.

Ответ: Зависимость объёма воды $V$ (в литрах) от времени $x$ (в минутах) на временном промежутке от 0 до 12 минут описывается формулой:
$V(x) = \begin{cases} 20 - 2x, & \text{если } 0 \le x \le 9 \\ 2, & \text{если } 9 < x \le 12 \end{cases}$