Номер 343, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 17. Кусочно-заданные функции - номер 343, страница 86.

Условие.

343. Функция задана графиком (рис. 61). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами.

Решение 1.

Область определения функции разбивается на три промежутка:

1) при x < 0.
Угол наклона графика функции к оси x тупой, значит k < 0. График сдвинут на 1 единицу вверх вдоль оси y, значит b = 1. Выберем точку на графике с координатами (-1; 2). Получим
2 = k ⋅ (-1) + 1;
-k = 1;
k = -1;
y = -x + 1.

2) при 0 ≤ x ≤ 1, y = 1.

3) при x > 1.
Угол наклона графика функции к оси x острый, значит k > 0. График проходит через точки с координатами (2; 2), (3; 3), (4; 4) и т.д.
Значит, y = x, k = 1.

Итак, данную функцию можно задать следующим образом:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\left\{\begin{array}{ll}-\mathrm{x}+1, \mathrm{если} \mathrm{x}<0& \\ 1, \mathrm{если} 0⩽\mathrm{x}⩽1 \\ \mathrm{x}, \mathrm{если} \mathrm{x}>1& \end{array}\right. \end{gathered}$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы задать функцию, изображенную на графике, аналитически, необходимо найти формулу (или формулы), описывающую зависимость $y$ от $x$. График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$. Это характерно для функции, содержащей модуль, или для кусочно-заданной функции.

Способ 1: Нахождение уравнений для каждого луча.
График можно разбить на две части: для $x \ge 0$ и для $x < 0$.

Для правой части графика, где $x \ge 0$, луч проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $1$, поэтому $b = 1$.
Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 1 \cdot x + 1$, или $y = x + 1$.

Для левой части графика, где $x < 0$, луч проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 2)$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{-1 - 0} = -1$.
Коэффициент $b$ тот же, $b = 1$.
Таким образом, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -1 \cdot x + 1$, или $y = -x + 1$.

Объединив эти два случая, мы можем записать функцию в виде системы:
$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ x + 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Способ 2: Использование преобразований графика функции модуля.
График на рисунке имеет характерную V-образную форму, как у функции модуля $y = |x|$. Вершина графика функции $y = |x|$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
Вершина графика на рисунке находится в точке $(0, 1)$. Это означает, что график функции $y = |x|$ был смещен на 1 единицу вверх вдоль оси $y$.
Вертикальный сдвиг графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вверх задается формулой $y = f(x) + c$. В нашем случае $f(x) = |x|$ и $c=1$.
Следовательно, функция задается одной формулой: $y = |x| + 1$.
Эта формула эквивалентна полученной ранее кусочной функции, так как по определению модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Ответ: $y = |x| + 1$.