Номер 343, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 343, страница 86.

343. Функция задана графиком (рис. 61). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами.

Для того чтобы задать функцию, изображенную на графике, аналитически, необходимо найти формулу (или формулы), описывающую зависимость $y$ от $x$. График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$. Это характерно для функции, содержащей модуль, или для кусочно-заданной функции.

Способ 1: Нахождение уравнений для каждого луча.
График можно разбить на две части: для $x \ge 0$ и для $x < 0$.

Для правой части графика, где $x \ge 0$, луч проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $1$, поэтому $b = 1$.
Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 1 \cdot x + 1$, или $y = x + 1$.

Для левой части графика, где $x < 0$, луч проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 2)$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{-1 - 0} = -1$.
Коэффициент $b$ тот же, $b = 1$.
Таким образом, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -1 \cdot x + 1$, или $y = -x + 1$.

Объединив эти два случая, мы можем записать функцию в виде системы:
$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ x + 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Способ 2: Использование преобразований графика функции модуля.
График на рисунке имеет характерную V-образную форму, как у функции модуля $y = |x|$. Вершина графика функции $y = |x|$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
Вершина графика на рисунке находится в точке $(0, 1)$. Это означает, что график функции $y = |x|$ был смещен на 1 единицу вверх вдоль оси $y$.
Вертикальный сдвиг графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вверх задается формулой $y = f(x) + c$. В нашем случае $f(x) = |x|$ и $c=1$.
Следовательно, функция задается одной формулой: $y = |x| + 1$.
Эта формула эквивалентна полученной ранее кусочной функции, так как по определению модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Ответ: $y = |x| + 1$.