Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

343. Функция задана графиком (рис. 61). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами.

Для того чтобы задать функцию, изображенную на графике, аналитически, необходимо найти формулу (или формулы), описывающую зависимость $y$ от $x$. График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$. Это характерно для функции, содержащей модуль, или для кусочно-заданной функции.

Способ 1: Нахождение уравнений для каждого луча.
График можно разбить на две части: для $x \ge 0$ и для $x < 0$.

Для правой части графика, где $x \ge 0$, луч проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $1$, поэтому $b = 1$.
Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = 1 \cdot x + 1$, или $y = x + 1$.

Для левой части графика, где $x < 0$, луч проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 2)$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{-1 - 0} = -1$.
Коэффициент $b$ тот же, $b = 1$.
Таким образом, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -1 \cdot x + 1$, или $y = -x + 1$.

Объединив эти два случая, мы можем записать функцию в виде системы:
$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ x + 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Способ 2: Использование преобразований графика функции модуля.
График на рисунке имеет характерную V-образную форму, как у функции модуля $y = |x|$. Вершина графика функции $y = |x|$ находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
Вершина графика на рисунке находится в точке $(0, 1)$. Это означает, что график функции $y = |x|$ был смещен на 1 единицу вверх вдоль оси $y$.
Вертикальный сдвиг графика функции $f(x)$ на $c$ единиц вверх задается формулой $y = f(x) + c$. В нашем случае $f(x) = |x|$ и $c=1$.
Следовательно, функция задается одной формулой: $y = |x| + 1$.
Эта формула эквивалентна полученной ранее кусочной функции, так как по определению модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Ответ: $y = |x| + 1$.

344. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 62), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды V (в литрах) в баке зависит от времени х (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость V от х аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин.

Для того чтобы задать зависимость объёма воды $V$ (в литрах) в баке от времени $x$ (в минутах), проанализируем условия задачи.

1. Определение начальных и конечных условий.
Начальный объём воды в баке: $V_0 = 20$ л.
Скорость вытекания воды: $v = 2$ л/мин.
Поскольку кран расположен выше дна, вытечь может только часть воды. Максимальный объём воды, который может вытечь из бака, составляет 0,9 от общего объёма:
$V_{вытекающий} = 0,9 \times 20 = 18$ л.
Следовательно, минимальный объём воды, который всегда будет оставаться в баке, равен:
$V_{остаток} = V_0 - V_{вытекающий} = 20 - 18 = 2$ л.

2. Расчёт времени вытекания.
Теперь найдём, сколько времени потребуется, чтобы вытек весь доступный объём воды (18 литров).
$t_{стоп} = \frac{V_{вытекающий}}{v} = \frac{18 \text{ л}}{2 \text{ л/мин}} = 9$ минут.
Это означает, что вода будет вытекать из крана только в течение первых 9 минут. После этого уровень воды опустится до уровня крана, и вытекание прекратится.

3. Формулирование аналитической зависимости.
Задача требует задать зависимость для $x$ в течение 12 минут, то есть для $x \in [0, 12]$. Эта зависимость будет кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей.

• При $0 \le x \le 9$, вода вытекает. Объём воды в баке $V(x)$ равен начальному объёму за вычетом объёма вытекшей за время $x$ воды.
  $V(x) = V_0 - v \cdot x = 20 - 2x$.
• При $9 < x \le 12$, вода уже не вытекает. Объём воды в баке остаётся постоянным и равным несливаемому остатку.
  $V(x) = V_{остаток} = 2$.

Объединив эти два случая, мы получаем искомую аналитическую зависимость.

Ответ: Зависимость объёма воды $V$ (в литрах) от времени $x$ (в минутах) на временном промежутке от 0 до 12 минут описывается формулой:
$V(x) = \begin{cases} 20 - 2x, & \text{если } 0 \le x \le 9 \\ 2, & \text{если } 9 < x \le 12 \end{cases}$