Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

351. Изменение температуры Т (в градусах Цельсия) воды в баке описано с помощью формул:

$\mathrm{Т}=\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{t} + 20, \mathrm{если} 0\le \mathrm{t} < 20,\\ 100, \mathrm{если} 20 \le \mathrm{t} \le 30,\\ -\frac{1}{3}\mathrm{t} + 110, \mathrm{если} 30 < \mathrm{t} \le 90.\end{array}\right.$

Найдите значение Т при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90. Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда 0 ≤ t < 20; когда 20 ≤ t ≤ 30; когда 30 < t ≤ 90?

Найдите значение T при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90.

Для нахождения значения температуры $T$ для каждого заданного момента времени $t$, необходимо подставить его в соответствующую часть кусочно-заданной функции, определив верный временной интервал.

При $t = 10$: этот момент времени принадлежит интервалу $0 \le t < 20$, следовательно, используем формулу $T = 4t + 20$.

$T(10) = 4 \cdot 10 + 20 = 40 + 20 = 60^\circ C$.

При $t = 20$: этот момент времени принадлежит интервалу $20 \le t \le 30$, следовательно, используем формулу $T = 100$.

$T(20) = 100^\circ C$.

При $t = 30$: этот момент времени принадлежит интервалу $20 \le t \le 30$, следовательно, используем формулу $T = 100$.

$T(30) = 100^\circ C$.

При $t = 45$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(45) = -\frac{1}{3} \cdot 45 + 110 = -15 + 110 = 95^\circ C$.

При $t = 60$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(60) = -\frac{1}{3} \cdot 60 + 110 = -20 + 110 = 90^\circ C$.

При $t = 90$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(90) = -\frac{1}{3} \cdot 90 + 110 = -30 + 110 = 80^\circ C$.

Ответ: При $t=10, T=60^\circ C$; при $t=20, T=100^\circ C$; при $t=30, T=100^\circ C$; при $t=45, T=95^\circ C$; при $t=60, T=90^\circ C$; при $t=90, T=80^\circ C$.

Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда $0 \le t < 20$; когда $20 \le t \le 30$; когда $30 < t \le 90$?

когда $0 \le t < 20$

На этом временном интервале температура описывается формулой $T(t) = 4t + 20$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($k=4$), что указывает на равномерный рост температуры. В начальный момент времени ($t=0$) температура воды была $20^\circ C$, а к моменту времени $t=20$ она достигла $100^\circ C$. Физический смысл этого процесса — нагревание воды.

Ответ: Происходит нагревание воды.

когда $20 \le t \le 30$

На этом интервале температура постоянна и равна $T = 100^\circ C$. Эта температура является точкой кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Тот факт, что температура не меняется в течение некоторого времени, означает, что происходит фазовый переход — вся подводимая энергия идет на превращение воды в пар. Физический смысл этого процесса — кипение воды.

Ответ: Происходит кипение воды.

когда $30 < t \le 90$

На этом интервале температура описывается формулой $T(t) = -\frac{1}{3}t + 110$. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-\frac{1}{3}$), что указывает на равномерное понижение температуры. Температура падает со $100^\circ C$ до $80^\circ C$. Вероятно, нагревательный элемент был выключен, и вода в баке начала остывать, отдавая тепло в окружающую среду. Физический смысл этого процесса — остывание воды.

Ответ: Происходит остывание воды.

352. Пешеход, отправившийся из дома на прогулку, оказался через t ч на расстоянии s км от дома. Зависимость s от t задана тремя формулами:

$\mathrm{s}=\left\{\begin{array}{c}6\mathrm{t}, \mathrm{если} 0\le \mathrm{t}< \frac{5}{6},\\ 5, \mathrm{если} \frac{5}{6}\le \mathrm{t} \le 1,\\ -5\mathrm{t}+10, \mathrm{если} 1< \mathrm{t}\le 2.\end{array}\right.$

Найдите расстояние s при t, равном 0; $\frac{1}{2};$ $\frac{5}{5};$ 1; 1,5; 2.

Для нахождения расстояния $s$ для каждого указанного момента времени $t$ необходимо определить, к какому из трех промежутков относится данное значение $t$, и затем использовать соответствующую формулу из системы.

Зависимость расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч) задана системой:

$s(t) = \begin{cases} 6t, & \text{если } 0 \le t < \frac{5}{6} \\ 5, & \text{если } \frac{5}{6} \le t \le 1 \\ -5t + 10, & \text{если } 1 < t \le 2 \end{cases} $

При $t = 0$

Значение $t=0$ удовлетворяет условию $0 \le t < \frac{5}{6}$. Следовательно, используем первую формулу: $s = 6t$.

$s = 6 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0 км.

При $t = \frac{1}{2}$

Значение $t=\frac{1}{2}$ (или 0,5) удовлетворяет условию $0 \le t < \frac{5}{6}$ (так как $\frac{5}{6} \approx 0,83$). Используем первую формулу: $s = 6t$.

$s = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Ответ: 3 км.

При $t = \frac{5}{6}$

Значение $t=\frac{5}{6}$ удовлетворяет условию $\frac{5}{6} \le t \le 1$. Используем вторую формулу, согласно которой расстояние постоянно.

$s = 5$

Ответ: 5 км.

При $t = 1$

Значение $t=1$ удовлетворяет условию $\frac{5}{6} \le t \le 1$. Снова используем вторую формулу.

$s = 5$

Ответ: 5 км.

При $t = 1,5$

Значение $t=1,5$ удовлетворяет условию $1 < t \le 2$. Используем третью формулу: $s = -5t + 10$.

$s = -5 \cdot 1.5 + 10 = -7.5 + 10 = 2.5$

Ответ: 2,5 км.

При $t = 2$

Значение $t=2$ удовлетворяет условию $1 < t \le 2$. Используем третью формулу: $s = -5t + 10$.

$s = -5 \cdot 2 + 10 = -10 + 10 = 0$

Ответ: 0 км.

353. На рисунке 64 изображён график движения автомобиля из пункта А в пункт В. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки? С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?

Задайте эту функцию аналитически.
График движения представляет собой кусочно-линейную функцию зависимости расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч). Чтобы задать эту функцию аналитически, нужно найти уравнение для каждого из трех участков графика.

1. Первый участок (движение до остановки): $0 \le t \le 1.5$
Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $A(0, 0)$ и $(1.5, 90)$. Уравнение прямой имеет вид $s(t) = kt + b$. Поскольку прямая проходит через начало координат, $b=0$. Коэффициент $k$ (скорость) найдем по второй точке:
$k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 - 0}{1.5 - 0} = 60$ км/ч.
Таким образом, на этом интервале функция имеет вид: $s(t) = 60t$.

2. Второй участок (остановка): $1.5 < t \le 2$
На этом участке расстояние не меняется и остается равным 90 км. Это горизонтальная линия.
Функция на этом интервале: $s(t) = 90$.

3. Третий участок (движение после остановки): $2 < t \le 4$
Этот участок представляет собой прямую, проходящую через точки $(2, 90)$ и $B(4, 180)$.
Найдем скорость (коэффициент наклона $k$) на этом участке:
$k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{180 - 90}{4 - 2} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.
Теперь найдем уравнение прямой $s(t) = 45t + b$ с помощью точки $(2, 90)$:
$90 = 45 \cdot 2 + b$
$90 = 90 + b$
$b = 0$
Таким образом, на этом интервале функция имеет вид: $s(t) = 45t$.

Объединяя все три части, получаем аналитическое выражение для функции:
$s(t) = \begin{cases} 60t, & \text{если } 0 \le t \le 1.5 \\ 90, & \text{если } 1.5 < t \le 2 \\ 45t, & \text{если } 2 < t \le 4 \end{cases}$
Ответ: Функция, описывающая движение автомобиля, задается аналитически в виде: $s(t) = \begin{cases} 60t, & \text{если } 0 \le t \le 1.5 \\ 90, & \text{если } 1.5 < t \le 2 \\ 45t, & \text{если } 2 < t \le 4 \end{cases}$

С какой скоростью двигался автомобиль до остановки?
Движение до остановки соответствует первому участку графика, от $t=0$ до $t=1.5$ ч. Скорость на этом участке является тангенсом угла наклона прямой и рассчитывается как отношение изменения расстояния ко времени.
За время $\Delta t = 1.5 - 0 = 1.5$ ч автомобиль проехал расстояние $\Delta s = 90 - 0 = 90$ км.
Скорость $v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 60$ км/ч.
Ответ: До остановки автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч.

С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?
Движение после остановки соответствует третьему участку графика, от $t=2$ до $t=4$ ч.
За время $\Delta t = 4 - 2 = 2$ ч автомобиль проехал расстояние $\Delta s = 180 - 90 = 90$ км.
Скорость $v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 45$ км/ч.
Ответ: После остановки автомобиль двигался со скоростью 45 км/ч.

354. Масса одного кубического сантиметра ртути равна 13,6 г. Масса V см³ ртути равна m г. Задайте формулой зависимость:

а) m(V);б) V(m).

а) Чтобы задать формулой зависимость массы $m$ от объема $V$, то есть найти функцию $m(V)$, нужно использовать информацию о массе одного кубического сантиметра ртути.
Из условия известно, что масса 1 см? ртути составляет 13,6 г. Это физическая величина, называемая плотностью ($\rho$). Таким образом, плотность ртути $\rho = 13,6$ г/см?.
Масса любого объема вещества равна произведению его объема на плотность. Формула для массы:
$m = \rho \cdot V$
Подставив значение плотности ртути в эту формулу, мы получим искомую зависимость массы от объема:
$m(V) = 13,6V$
Ответ: $m(V) = 13,6V$

б) Чтобы задать формулой зависимость объема $V$ от массы $m$, то есть найти функцию $V(m)$, необходимо выразить переменную $V$ из формулы, полученной в предыдущем пункте.
Исходная формула зависимости:
$m = 13,6V$
Для того чтобы выразить объем $V$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент 13,6 (плотность ртути):
$V = \frac{m}{13,6}$
Таким образом, мы получаем формулу зависимости объема от массы:
$V(m) = \frac{m}{13,6}$
Ответ: $V(m) = \frac{m}{13,6}$

355. При делении числа у на число х в частном получается 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию у(х). Какова область определения этой функции? Найдите две пары соответственных значений х и у.

Задайте формулой функцию y(x).

Согласно определению деления с остатком, делимое ($y$) равно произведению делителя ($x$) на неполное частное (5) плюс остаток (10). Эту зависимость можно записать в виде математического равенства.

$y = 5 \cdot x + 10$

Таким образом, мы задали функцию $y(x)$.

Ответ: $y(x) = 5x + 10$.

Какова область определения этой функции?

При делении с остатком делитель всегда должен быть больше остатка. В данном случае делитель — это $x$, а остаток равен 10. Если мы предполагаем, что деление производится в натуральных числах (что является стандартным для таких задач), то делитель $x$ должен быть натуральным числом, строго большим 10.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех натуральных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x > 10$.

Ответ: Область определения функции — это множество натуральных чисел $x$ таких, что $x > 10$.

Найдите две пары соответственных значений x и y.

Для нахождения пар соответственных значений необходимо выбрать два любых значения $x$ из области определения (то есть любое натуральное число больше 10) и подставить их в формулу функции $y = 5x + 10$, чтобы вычислить соответствующие значения $y$.

1. Возьмем $x = 11$. Это значение принадлежит области определения, так как $11 > 10$.
$y = 5 \cdot 11 + 10 = 55 + 10 = 65$.
Первая пара значений: $(11; 65)$.

2. Возьмем $x = 20$. Это значение также принадлежит области определения, так как $20 > 10$.
$y = 5 \cdot 20 + 10 = 100 + 10 = 110$.
Вторая пара значений: $(20; 110)$.

Ответ: Две пары соответственных значений: $(11; 65)$ и $(20; 110)$.