Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

340. Решите уравнение:

а) 3(0,9х − 1) − (х + 0,6) = −0,2;
б) 7 − (3,1 − 0,1у) = −0,2у.

а) $3(0,9x - 1) - (x + 0,6) = -0,2$
Для решения уравнения сначала раскроем скобки. Первую скобку, умножая ее содержимое на 3, вторую — меняя знаки слагаемых на противоположные, так как перед ней стоит знак минус.
$3 \cdot 0,9x - 3 \cdot 1 - x - 0,6 = -0,2$
$2,7x - 3 - x - 0,6 = -0,2$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(2,7x - x) + (-3 - 0,6) = -0,2$
$1,7x - 3,6 = -0,2$
Перенесем слагаемое $-3,6$ из левой части в правую, изменив его знак.
$1,7x = -0,2 + 3,6$
$1,7x = 3,4$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $1,7$.
$x = \frac{3,4}{1,7}$
$x = 2$
Ответ: $2$.

б) $7 - (3,1 - 0,1y) = -0,2y$
Для решения уравнения сначала раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$7 - 3,1 + 0,1y = -0,2y$
Выполним вычитание в левой части.
$3,9 + 0,1y = -0,2y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа — в другую. Перенесем $0,1y$ вправо со сменой знака.
$3,9 = -0,2y - 0,1y$
Приведем подобные слагаемые в правой части.
$3,9 = -0,3y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $-0,3$.
$y = \frac{3,9}{-0,3}$
$y = -13$
Ответ: $-13$.

341. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья − 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовила вторая бригада.

Из условия задачи следует, что первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая. Следовательно, количество деталей, изготовленных первой бригадой, равно $x - 10$.

Третья бригада изготовила 30% от общего числа деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе. Сначала найдем это общее число: $(x - 10) + x = 2x - 10$.

Теперь вычислим количество деталей для третьей бригады. Представим 30% в виде десятичной дроби: $30\% = 0,3$. Значит, третья бригада изготовила $0,3 \cdot (2x - 10)$ деталей.

Сумма деталей, изготовленных тремя бригадами, равна 65. Составим и решим уравнение:

$(x - 10) + x + 0,3 \cdot (2x - 10) = 65$

Сначала упростим левую часть уравнения:

$2x - 10 + 0,3 \cdot 2x - 0,3 \cdot 10 = 65$

$2x - 10 + 0,6x - 3 = 65$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x + 0,6x) + (-10 - 3) = 65$

$2,6x - 13 = 65$

Теперь найдем $x$:

$2,6x = 65 + 13$

$2,6x = 78$

$x = \frac{78}{2,6}$

$x = 30$

Мы нашли, что вторая бригада изготовила 30 деталей.

Теперь можем найти количество деталей для остальных бригад:

Первая бригада: $x - 10 = 30 - 10 = 20$ деталей.

Третья бригада: $0,3 \cdot (20 + 30) = 0,3 \cdot 50 = 15$ деталей.

Проведем проверку: сложим количество деталей всех трех бригад: $20 + 30 + 15 = 65$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: первая бригада изготовила 20 деталей, вторая — 30 деталей, а третья — 15 деталей.

342. Запишите в виде выражения сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно: а) n; б) n − 1; в) n + 4. Упростите записанное выражение.

а) По условию, меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$. Следующие за ним два последовательных числа будут $n+1$ и $n+2$. Запишем сумму этих трёх чисел в виде выражения: $n + (n+1) + (n+2)$.
Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $n + n + 1 + n + 2 = (n+n+n) + (1+2) = 3n + 3$.
Ответ: $3n + 3$.

б) Если меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n-1$, то следующие два числа — это $(n-1)+1 = n$ и $(n-1)+2 = n+1$. Запишем их сумму в виде выражения: $(n-1) + n + (n+1)$.
Упростим выражение: $n - 1 + n + n + 1 = (n+n+n) + (-1+1) = 3n$.
Ответ: $3n$.

в) Если меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n+4$, то следующие два числа — это $(n+4)+1 = n+5$ и $(n+4)+2 = n+6$. Запишем их сумму в виде выражения: $(n+4) + (n+5) + (n+6)$.
Упростим выражение: $n + 4 + n + 5 + n + 6 = (n+n+n) + (4+5+6) = 3n + 15$.
Ответ: $3n + 15$.

Прямой пропорциональностью называется зависимость между двумя величинами, при которой увеличение или уменьшение одной из них в несколько раз приводит к соответствующему увеличению или уменьшению другой величины во столько же раз. Это означает, что отношение этих двух величин остаётся постоянным.

Математически такая зависимость выражается формулой:

$y = kx$

В этой формуле:

• $y$ и $x$ — это переменные величины, которые находятся в прямой пропорциональной зависимости. $x$ обычно называют независимой переменной (аргументом), а $y$ — зависимой переменной (функцией).

• $k$ — это постоянное, не равное нулю число ($k \neq 0$), которое называют коэффициентом пропорциональности. Он показывает, сколько единиц величины $y$ приходится на одну единицу величины $x$.

Из формулы также следует, что отношение $y$ к $x$ всегда постоянно и равно коэффициенту пропорциональности: $k = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$).

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, которая проходит через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$).

Пример: Зависимость пройденного пути ($s$) от времени ($t$) при движении с постоянной скоростью ($v$). Если автомобиль движется со скоростью 60 км/ч, то путь, который он проедет, прямо пропорционален времени движения: $s = 60t$. Здесь $s$ и $t$ — переменные, а коэффициент пропорциональности $k = 60$.

Ответ: Прямая пропорциональность — это функциональная зависимость, которую можно задать формулой $y = kx$, где $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая переменная, а $k$ — не равное нулю число, называемое коэффициентом пропорциональности. При такой зависимости во сколько раз увеличивается или уменьшается одна величина, во столько же раз увеличивается или уменьшается и другая.

Что является графиком прямой пропорциональности?
Прямая пропорциональность — это функциональная зависимость, при которой одна переменная ($y$) получается умножением другой переменной ($x$) на некоторое постоянное число $k$, не равное нулю. Формула прямой пропорциональности выглядит так: $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Графиком такой функции всегда является прямая линия, которая обязательно проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Это легко проверить: если подставить $x=0$ в формулу, то $y = k \cdot 0 = 0$.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то график расположен в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, то график расположен во II и IV координатных четвертях.

Коэффициент $k$ также называют угловым коэффициентом, так как он определяет угол наклона прямой к оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Как построить график прямой пропорциональности?
Поскольку мы знаем, что график прямой пропорциональности $y = kx$ — это прямая линия, для ее построения достаточно найти координаты всего двух точек, принадлежащих этой прямой.
Алгоритм построения:

1. Найти первую точку. Одна точка нам уже известна — это начало координат, точка $O(0, 0)$, так как любая прямая пропорциональность проходит через нее.
2. Найти вторую точку. Для нахождения второй точки нужно выбрать любое удобное значение для $x$ (кроме нуля) и, подставив его в уравнение $y = kx$, вычислить соответствующее значение $y$.
   Например, можно взять $x=1$. Тогда $y = k \cdot 1 = k$. Таким образом, мы получаем вторую точку с координатами $(1, k)$.
3. Построить точки на координатной плоскости. Отметьте на плоскости найденные две точки: $(0, 0)$ и, например, $(1, k)$.
4. Провести прямую. С помощью линейки проведите прямую линию через эти две точки. Эта линия и будет являться графиком заданной функции прямой пропорциональности.

Пример: Построим график функции $y = -2x$.
1. Первая точка — $O(0, 0)$.
2. Возьмем $x=2$. Тогда $y = -2 \cdot 2 = -4$. Вторая точка — $A(2, -4)$.
3. Отмечаем точки $(0, 0)$ и $(2, -4)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Ответ: Чтобы построить график прямой пропорциональности, нужно найти координаты двух точек (одна из которых всегда — начало координат $(0, 0)$), отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Функция $y = kx$ является прямой пропорциональностью. Графиком этой функции является прямая линия, которая всегда проходит через начало координат (точку с координатами $(0, 0)$). Положение этой прямой в координатной плоскости определяется знаком углового коэффициента $k$.

при $k > 0$

Если коэффициент $k$ положителен, то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. Рассмотрим знаки координат точек, принадлежащих графику:
- Если $x > 0$ (положительное значение), то $y = kx$ также будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух положительных чисел положительно. Точки с положительными координатами $x$ и $y$ находятся в I (первой) координатной четверти.
- Если $x < 0$ (отрицательное значение), то $y = kx$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение положительного числа $k$ на отрицательное $x$ отрицательно. Точки с отрицательными координатами $x$ и $y$ находятся в III (третьей) координатной четверти.
Следовательно, график функции располагается в первой и третьей координатных четвертях.

Ответ: при $k > 0$ график функции $y = kx$ расположен в I и III координатных четвертях.

при $k < 0$

Если коэффициент $k$ отрицателен, то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. Рассмотрим знаки координат точек, принадлежащих графику:
- Если $x > 0$ (положительное значение), то $y = kx$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение отрицательного числа $k$ на положительное $x$ отрицательно. Точки с положительной координатой $x$ и отрицательной $y$ находятся в IV (четвертой) координатной четверти.
- Если $x < 0$ (отрицательное значение), то $y = kx$ будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух отрицательных чисел ($k$ и $x$) положительно. Точки с отрицательной координатой $x$ и положительной $y$ находятся во II (второй) координатной четверти.
Следовательно, график функции располагается во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: при $k < 0$ график функции $y = kx$ расположен во II и IV координатных четвертях.

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Графиком такой функции всегда является прямая линия.

Число $k$ в формуле называется угловым коэффициентом. Он отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, то функция является возрастающей, то есть ее график направлен вверх при движении слева направо. Если $k < 0$, то функция является убывающей, а ее график, соответственно, направлен вниз. В случае, когда $k = 0$, функция принимает вид $y = b$ и называется постоянной, а ее график — это прямая, параллельная оси абсцисс.

Число $b$ в формуле — это свободный член. Он определяет точку, в которой график функции пересекает ось ординат ($Oy$). Координаты этой точки всегда $(0, b)$.

Частным случаем линейной функции при $b = 0$ является прямая пропорциональность, задаваемая формулой $y = kx$. График прямой пропорциональности — это прямая, которая обязательно проходит через начало координат, то есть точку $(0, 0)$.

Ответ: Линейная функция — это функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа.

Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Графиком любой линейной функции в декартовой системе координат является прямая линия.

Положение этой прямой на плоскости полностью определяется коэффициентами $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (прямая «поднимается» слева направо), и угол наклона прямой к оси Ox — острый.
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (прямая «опускается» слева направо), и угол наклона — тупой.
  • Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Её график — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней, если $b=0$).
• Коэффициент $b$ называется свободным членом. Он показывает ординату точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось Oy). Координаты этой точки пересечения — $(0, b)$.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

Как построить график линейной функции?

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Поскольку график линейной функции — это прямая, для его построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Алгоритм построения графика следующий:

1. Выбрать два произвольных, удобных для вычисления, значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$).
2. Подставить эти значения поочередно в уравнение функции $y = kx + b$ и вычислить соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$.
3. В результате получатся координаты двух точек: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = -2x + 4$.

1. Найдем первую точку. Удобно взять $x_1 = 0$.
   Подставим его в уравнение: $y_1 = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
   Получили первую точку с координатами $(0, 4)$. (Это точка пересечения с осью Oy).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x_2 = 3$.
   Подставим его в уравнение: $y_2 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$.
   Получили вторую точку с координатами $(3, -2)$.
3. Отмечаем точки $(0, 4)$ и $(3, -2)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Для построения часто бывает удобно находить именно точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy: $x=0$, тогда $y=b$. Точка $(0, b)$.
• Пересечение с осью Ox: $y=0$, тогда $kx+b=0$, откуда $x = -b/k$ (при $k \ne 0$). Точка $(-b/k, 0)$.

Ответ: Чтобы построить график линейной функции, нужно найти координаты двух любых точек этой прямой, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Рассмотрим две линейные функции, заданные уравнениями:
$y_1 = k_1x + b_1$
$y_2 = k_2x + b_2$
Здесь $k$ — это угловой коэффициент, который отвечает за наклон прямой, а $b$ — это свободный член, который показывает точку пересечения прямой с осью ординат (OY). Взаимное расположение графиков этих функций полностью зависит от соотношения их коэффициентов $k_1, k_2, b_1, b_2$.

В каком случае графики двух линейных функций пересекаются
Графики двух прямых пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда у них разные углы наклона. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть не равны. При этом значения свободных членов $b_1$ и $b_2$ не имеют значения, так как прямые с разным наклоном обязательно пересекутся.
Условие пересечения: $k_1 \neq k_2$.
Ответ: Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$).

в каком случае они являются параллельными прямыми
Чтобы две прямые были параллельны, они должны иметь одинаковый угол наклона, но при этом не должны совпадать. Одинаковый угол наклона означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны. Чтобы прямые не совпадали, их точки пересечения с осью OY должны быть разными, то есть их свободные члены должны быть не равны.
Условие параллельности: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.
(Стоит отметить, что если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, то графики функций совпадают, то есть являются одной и той же прямой).
Ответ: Графики двух линейных функций являются параллельными прямыми, если их угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены не равны ($b_1 \neq b_2$).

Функция $y = kx + b$ является линейной функцией, графиком которой в декартовой системе координат является прямая линия. Ось ординат (ось $Oy$) — это вертикальная ось, все точки на которой имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю.

Чтобы найти точку, в которой график функции пересекает ось ординат, необходимо найти значение функции $y$ при условии, что $x = 0$. Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = k \cdot x + b$
$y = k \cdot 0 + b$
$y = 0 + b$
$y = b$

Таким образом, при $x = 0$ значение $y$ равно $b$. Это означает, что точка пересечения графика с осью ординат имеет координаты $(0, b)$. Коэффициент $b$ в уравнении прямой как раз и показывает, в какой точке прямая пересекает ось $Oy$.

Ответ: График функции $y = kx + b$ пересекает ось ординат в точке с координатами $(0, b)$.

y = 6x; y = 0,5x + 4; y = 3x − 1; y = −3?

y = 6x
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 6$ и свободный член $b = 0$.
1. Так как угловой коэффициент $k = 6 > 0$, функция является возрастающей, и ее график наклонен вправо.
2. Так как свободный член $b = 0$, график функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
Прямая, проходящая через начало координат и возрастающая, располагается в тех четвертях, где знаки координат $x$ и $y$ совпадают.
- При $x > 0$, значение $y$ также будет положительным. Это I координатная четверть.
- При $x < 0$, значение $y$ будет отрицательным. Это III координатная четверть.
Ответ: I и III четверти.

y = 0,5x + 4
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k = 0,5$ и $b = 4$.
1. Так как $k = 0,5 > 0$, функция является возрастающей.
2. Чтобы определить, в каких четвертях расположен график, найдем точки его пересечения с осями координат.
- Пересечение с осью OY (при $x = 0$): $y = 0,5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.
- Пересечение с осью OX (при $y = 0$): $0 = 0,5x + 4 \implies 0,5x = -4 \implies x = -8$. Точка пересечения — $(-8, 0)$.
График представляет собой прямую линию, проходящую через точки $(-8, 0)$ и $(0, 4)$.
- Так как прямая проходит через точку $(-8, 0)$ на отрицательной части оси OX и точку $(0, 4)$ на положительной части оси OY, она пересекает II четверть.
- Поскольку функция возрастает, при $x > 0$ значения $y$ будут больше 4, то есть $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, график проходит через I четверть.
- При $x < -8$ значения $y$ будут отрицательными, то есть $x < 0$ и $y < 0$. Следовательно, график проходит через III четверть.
Ответ: I, II и III четверти.

y = 3x - 1
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k = 3$ и $b = -1$.
1. Так как $k = 3 > 0$, функция является возрастающей.
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
- Пересечение с осью OY (при $x = 0$): $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
- Пересечение с осью OX (при $y = 0$): $0 = 3x - 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3$. Точка пересечения — $(1/3, 0)$.
График — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1/3, 0)$.
- Так как прямая проходит через точку $(0, -1)$ на отрицательной части оси OY и точку $(1/3, 0)$ на положительной части оси OX, она пересекает IV четверть.
- Поскольку функция возрастает, при $x > 1/3$ значения $y$ будут положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, график проходит через I четверть.
- При $x < 0$ значения $y$ будут меньше -1 (отрицательными), то есть $x < 0$ и $y < 0$. Следовательно, график проходит через III четверть.
Ответ: I, III и IV четверти.

y = -3
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k = 0$ и $b = -3$.
1. Так как угловой коэффициент $k = 0$, эта функция является постоянной. Ее график — это прямая, параллельная оси OX.
2. Для любого значения абсциссы $x$ значение ординаты $y$ всегда равно -3.
Поскольку ордината ($y$) всех точек графика отрицательна ($y = -3 < 0$), график может находиться только в тех четвертях, где координата $y$ отрицательна. Это:
- III четверть (где $x < 0$ и $y < 0$).
- IV четверть (где $x > 0$ и $y < 0$).
Ответ: III и IV четверти.