Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

345. Постройте график функции:

$\mathrm{а}) \mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х}, \mathrm{если} \mathrm{х}<-1,\\ \mathrm{х}, \mathrm{если} \mathrm{х}\ge -1;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{х}, \mathrm{если} -1\le \mathrm{х}<1,\\ 3-\mathrm{х}, \mathrm{если} 1\le \mathrm{х}\le 4.\end{array}\right.$

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

1. Построим график функции $y = -x$ на промежутке $x < -1$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Определим координаты точек на границе промежутка и внутри него.

Граничная точка: при $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка с координатами $(-1, 1)$ не принадлежит графику, и мы отметим ее на плоскости как выколотую (незакрашенный кружок).

Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -2$. Тогда $y = -(-2) = 2$. Получаем точку с координатами $(-2, 2)$.

Через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 2)$ проводим луч, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$.

2. Построим график функции $y = x$ на промежутке $x \ge -1$.

Графиком этой функции также является прямая.

Граничная точка: при $x = -1$, $y = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка с координатами $(-1, -1)$ принадлежит графику, и мы отметим ее как закрашенную.

Возьмем еще одну точку, например, $x = 1$. Тогда $y = 1$. Получаем точку с координатами $(1, 1)$.

Через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ проводим луч, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$.

Итоговый график состоит из двух построенных лучей. В точке $x = -1$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — часть прямой $y = -x$, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$ и идущий влево-вверх. Второй — часть прямой $y = x$, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$ и идущий вправо-вверх.

б)

Данная функция также является кусочно-заданной. Построим ее график по частям.

1. Построим график функции $y = 2x$ на промежутке $-1 \le x < 1$.

Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

Левый конец: при $x = -1$, $y = 2(-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком.

Правый конец: при $x = 1$, $y = 2(1) = 2$. Точка $(1, 2)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое. Отметим ее выколотым кружком.

Соединяем точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$ отрезком.

2. Построим график функции $y = 3 - x$ на промежутке $1 \le x \le 4$.

Графиком также является отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

Левый конец: при $x = 1$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком. Эта точка "закрывает" выколотую точку из предыдущего шага.

Правый конец: при $x = 4$, $y = 3 - 4 = -1$. Точка $(4, -1)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком.

Соединяем точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$ отрезком.

Итоговый график — это объединение двух построенных отрезков. Так как конец первого отрезка совпадает с началом второго, график представляет собой непрерывную ломаную линию.

Ответ: График функции — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков, последовательно соединяющих точки с координатами $(-1, -2)$, $(1, 2)$ и $(4, -1)$.

346. Постройте график функции

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}х-2, \mathrm{если} \mathrm{х}<-1,\\ 2\mathrm{х} + 1, \mathrm{если} \mathrm{х}\ge -1;\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая у = m и график данной функции:

а) не имеют общих точек;

б) имеют ровно одну общую точку;

в) имеют ровно две общие точки.

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из двух лучей.

1. Построим первую часть графика: функцию $y = -x - 2$ на промежутке $x < -1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча найдем координаты двух точек. Одна из них — граничная точка, которую мы изобразим выколотой (пустым кружком), так как неравенство строгое ($x < -1$).

• При $x = -1$, $y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$. Получаем выколотую точку $(-1; -1)$.
• Возьмем еще одно значение, например, $x = -3$: $y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Получаем точку $(-3; 1)$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1; -1)$ и проходящий через точку $(-3; 1)$.

2. Построим вторую часть графика: функцию $y = 2x + 1$ на промежутке $x \ge -1$.

Это также линейная функция. Для построения луча найдем координаты двух точек. Граничная точка будет закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$).

• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем закрашенную точку $(-1; -1)$.
• Возьмем еще одно значение, например, $x = 0$: $y = 2(0) + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

Таким образом, вторая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1; -1)$ и проходящий через точку $(0; 1)$.

Совместив обе части, мы видим, что выколотая точка первого луча совпадает с начальной точкой второго луча. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(-1; -1)$, которая является точкой минимума функции.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с построенным графиком общие точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

а) не имеют общих точек;

Горизонтальная прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком, если она будет проходить ниже самой нижней точки графика. Минимальное значение функции равно $-1$ и достигается в точке $x = -1$. Следовательно, при $m < -1$ общих точек не будет.

Ответ: $m < -1$.

б) имеют ровно одну общую точку;

Прямая $y=m$ будет иметь ровно одну общую точку с графиком, если она пройдет через вершину графика. Вершина графика находится в точке $(-1; -1)$. Это произойдет, когда $y$ будет равен минимальному значению функции, то есть $-1$.

Ответ: $m = -1$.

в) имеют ровно две общие точки.

Прямая $y=m$ будет пересекать график в двух точках, если она будет проходить выше вершины графика. Так как ордината вершины равна $-1$, то при любом значении $m > -1$ прямая $y=m$ пересечет оба луча, из которых состоит график.

Ответ: $m > -1$.

347. Постройте график функции

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х} + 1, \mathrm{если} \mathrm{х}\le 1,\\ 2\mathrm{х} - 3, \mathrm{если} \mathrm{х} >1;\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая у = m и график данной функции:

а) не имеют общих точек;

б) имеют одну общую точку;

в) имеют две общие точки.

Сначала построим график заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -x+1, & \text{если } x \le 1 \\ 2x-3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График состоит из двух частей — двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = -x+1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $x=1$, то $y = -1+1 = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
• Если $x=0$, то $y = -0+1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

Так как $x \le 1$, то на графике будет луч, проходящий через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$, с началом в точке $(1; 0)$.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = 2x-3$. Это также прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Найдем значение в граничной точке $x=1$: $y = 2(1)-3 = -1$. Так как неравенство строгое ($x>1$), точка $(1; -1)$ не принадлежит графику, и мы отметим ее как "выколотую" (пустой кружок).
• Если $x=2$, то $y = 2(2)-3 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Так как $x > 1$, то на графике будет луч, выходящий из выколотой точки $(1; -1)$ и проходящий через точку $(2; 1)$.

Итоговый график представляет собой объединение этих двух лучей. "Излом" графика происходит при $x=1$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с построенным графиком определенное количество общих точек. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая.

а) не имеют общих точек;

Горизонтальная прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком, если она будет проходить ниже самой низкой точки графика. Второй луч начинается из выколотой точки $(1; -1)$ и идет вверх. Значит, все значения $y$ на этом луче строго больше $-1$. Первый луч начинается в точке $(1; 0)$ и идет вверх, значит все значения $y$ на нем не меньше $0$. Таким образом, у графика нет точек, ордината которых меньше или равна $-1$. Следовательно, при $m \le -1$ общих точек не будет.

Ответ: $m \in (-\infty; -1]$.

б) имеют одну общую точку;

Прямая $y=m$ будет иметь ровно одну общую точку, если она пересечет только один из лучей. Это произойдет, если прямая будет находиться между выколотой точкой $(1; -1)$ и точкой излома $(1; 0)$. В этом случае прямая $y=m$ пересечет только правый луч ($y=2x-3$) и не пересечет левый. Это условие выполняется для всех $m$ в интервале $-1 < m < 0$.

Ответ: $m \in (-1; 0)$.

в) имеют две общие точки.

Прямая $y=m$ будет иметь две общие точки, если она пересечет оба луча. Это произойдет, если прямая пройдет через точку $(1; 0)$ или выше нее. При $m=0$ прямая пересекает график в точках $(1;0)$ и $(1.5;0)$. При $m > 0$ прямая пересекает левый луч в одной точке и правый луч в одной точке, что дает в сумме две точки пересечения. Таким образом, два решения существуют при $m \ge 0$.

Ответ: $m \in [0; +\infty)$.

348. Постройте график функции:

а) у = 0,25|х| + 1;б) у = |х| + 0,5х;в) у = |х|х(х − 2).

а) $y = 0.25|x| + 1$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 0.25x + 1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча на промежутке $x \ge 0$ достаточно двух точек. Возьмем точки с неотрицательными абсциссами: при $x=0$, $y = 0.25 \cdot 0 + 1 = 1$ (точка $(0; 1)$), и при $x=4$, $y = 0.25 \cdot 4 + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка $(4; 2)$). Строим луч, выходящий из точки $(0; 1)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 0.25(-x) + 1 = -0.25x + 1$.

Это также линейная функция. Для построения луча на промежутке $x < 0$ возьмем точки с отрицательными абсциссами. Начальная точка луча та же — $(0; 1)$. Возьмем еще одну точку: при $x=-4$, $y = -0.25 \cdot (-4) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка $(-4; 2)$). Строим луч, выходящий из точки $(0; 1)$ и проходящий через точку $(-4; 2)$.

Объединив оба луча, получаем искомый график. Он симметричен относительно оси Oy и представляет собой график функции $y = |x|$, сжатый к оси Ox в 4 раза (коэффициент 0.25) и сдвинутый на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(0; 1)$, а ветви направлены вверх. Для $x \ge 0$ график совпадает с лучом $y = 0.25x + 1$, а для $x < 0$ — с лучом $y = -0.25x + 1$.

б) $y = |x| + 0.5x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x + 0.5x = 1.5x$.

График этой функции на промежутке $[0, +\infty)$ — это луч, выходящий из начала координат $(0; 0)$. Для его построения найдем еще одну точку: при $x=2$, $y = 1.5 \cdot 2 = 3$. Получаем точку $(2; 3)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -x + 0.5x = -0.5x$.

График этой функции на промежутке $(-\infty, 0)$ — это луч, также выходящий из начала координат $(0; 0)$. Для его построения найдем еще одну точку: при $x=-2$, $y = -0.5 \cdot (-2) = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$.

Итоговый график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0; 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0; 0)$. Для $x \ge 0$ это луч $y = 1.5x$, а для $x < 0$ — это луч $y = -0.5x$.

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Это означает, что на графике будет выколотая точка (или точки) при $x=0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x}{x}(x - 2) = 1 \cdot (x - 2) = x - 2$.

Графиком является прямая $y = x - 2$, но только для $x > 0$. Это луч. Найдем координаты его начальной (выколотой) точки, определив предел функции при $x \to 0+$: $y \to 0 - 2 = -2$. Таким образом, луч начинается из выколотой точки $(0; -2)$. Для построения возьмем любую другую точку на луче, например, при $x=2$, $y=2-2=0$ (точка $(2; 0)$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x}{x}(x - 2) = -1 \cdot (x - 2) = -x + 2$.

Графиком является прямая $y = -x + 2$, но только для $x < 0$. Это луч. Найдем координаты его начальной (выколотой) точки, определив предел функции при $x \to 0-$: $y \to -0 + 2 = 2$. Таким образом, этот луч начинается из выколотой точки $(0; 2)$. Для построения возьмем любую другую точку, например, при $x=-2$, $y = -(-2) + 2 = 4$ (точка $(-2; 4)$).

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый луч — это часть прямой $y = x - 2$ для $x > 0$, с выколотой начальной точкой $(0; -2)$. Второй луч — это часть прямой $y = -x + 2$ для $x < 0$, с выколотой начальной точкой $(0; 2)$.

349. Функция задана следующим образом:

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х} + 2, \mathrm{если} \mathrm{х} < 0,\\ \mathrm{х} + 2, \mathrm{если} \mathrm{х} \ge 0;\end{array}\right.$

Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.

Данная функция определена двумя различными формулами для разных областей определения переменной $x$:

$ y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Для того чтобы представить эту кусочно-заданную функцию одной формулой, необходимо использовать знак модуля. Вспомним определение модуля (абсолютной величины) числа $x$:

$ |x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0, \\ x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases} $

Теперь сравним правую часть определения модуля с тем, как задана наша функция. Мы видим, что в обоих случаях ($x < 0$ и $x \ge 0$) к переменной части выражения прибавляется одно и то же число 2. Переменная же часть в точности совпадает с определением $|x|$.

Проверим это, подставив $|x|$ в предполагаемую формулу $y = |x| + 2$:

1. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставляя это в нашу формулу, получаем: $y = -x + 2$. Это полностью совпадает с первой строкой в определении исходной функции.

2. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставляя это в нашу формулу, получаем: $y = x + 2$. Это полностью совпадает со второй строкой в определении исходной функции.

Таким образом, функция $y = |x| + 2$ эквивалентна данной кусочной функции для всех значений $x$.

Ответ: $y = |x| + 2$.

350. На рисунке 63 изображён график функции, область определения которой есть множество таких значений х, что −2 ≤ х ≤ 6. Задайте эту функцию аналитически.

График, представленный на рисунке, является кусочно-линейной функцией, определенной на отрезке $x \in [-2, 6]$. Чтобы задать эту функцию аналитически, необходимо найти уравнения для каждого из трех линейных сегментов, из которых состоит график.

1. Участок на отрезке $-2 \le x \le 1$

Этот сегмент является отрезком прямой, проходящей через точки с координатами $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$. Сначала вычислим угловой коэффициент $k$: $k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Теперь, зная коэффициент $k_1=1$, найдем сдвиг $b_1$, подставив координаты одной из точек, например, $(1, 2)$: $2 = 1 \cdot 1 + b_1$, откуда $b_1 = 1$. Следовательно, уравнение для этого участка: $y = x + 1$.

2. Участок на интервале $1 < x \le 3$

Этот сегмент соединяет точки $(1, 2)$ и $(3, 0)$. Вычислим угловой коэффициент $k_2$: $k_2 = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Подставим координаты точки $(3, 0)$, чтобы найти $b_2$: $0 = -1 \cdot 3 + b_2$, откуда $b_2 = 3$. Уравнение для этого участка: $y = -x + 3$.

3. Участок на интервале $3 < x \le 6$

Этот сегмент соединяет точки $(3, 0)$ и $(6, 3)$. Вычислим угловой коэффициент $k_3$: $k_3 = \frac{3 - 0}{6 - 3} = \frac{3}{3} = 1$. Подставим координаты точки $(3, 0)$, чтобы найти $b_3$: $0 = 1 \cdot 3 + b_3$, откуда $b_3 = -3$. Уравнение для этого участка: $y = x - 3$.

Объединяя все три найденных уравнения в одну систему с учетом их областей определения, мы получаем аналитическое задание исходной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -x + 3, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x - 3, & \text{если } 3 < x \le 6 \end{cases}$