Номер 348, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 17. Кусочно-заданные функции - номер 348, страница 87.

Условие.

348. Постройте график функции:

а) у = 0,25|х| + 1;б) у = |х| + 0,5х;в) у = |х|х(х − 2).

Решение 1.

По определению модуля

$\mathrm{y}=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}, \mathrm{если} \mathrm{x}⩾0\\ -\mathrm{x}, \mathrm{если} \mathrm{x}<0\end{array}\right.$

а) y = 0,25|x| + 1;
$\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{c}0,25\mathrm{x}+1, \mathrm{если} \mathrm{x}⩾0\\ -0,25\mathrm{x}+1, \mathrm{если} \mathrm{x} <0\end{array}\right.$

б) y = |x| + 0,5x;

Если x ≥ 0, то
y = x + 0,5x;
y = 1,5x;

Если x < 0, то
y = -x + 0,5x;
y = -0,5x;

$\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{c}1,5\mathrm{x}, \mathrm{x}⩾0\\ -0,5\mathrm{x}, \mathrm{x}<0\end{array}\right.$

в) $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}\right|}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}-2);$

Если x > 0, то 
$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}-2);$
y = x - 2;

Если x < 0, то 
$\mathrm{y}=\frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}-1);$
y = -(x - 2);
y = -x + 2;

$\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-2, \mathrm{если} \mathrm{x}>0\\ -\mathrm{x}+2, \mathrm{если} \mathrm{x}<0\end{array}\right.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 0.25|x| + 1$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 0.25x + 1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча на промежутке $x \ge 0$ достаточно двух точек. Возьмем точки с неотрицательными абсциссами: при $x=0$, $y = 0.25 \cdot 0 + 1 = 1$ (точка $(0; 1)$), и при $x=4$, $y = 0.25 \cdot 4 + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка $(4; 2)$). Строим луч, выходящий из точки $(0; 1)$ и проходящий через точку $(4; 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 0.25(-x) + 1 = -0.25x + 1$.

Это также линейная функция. Для построения луча на промежутке $x < 0$ возьмем точки с отрицательными абсциссами. Начальная точка луча та же — $(0; 1)$. Возьмем еще одну точку: при $x=-4$, $y = -0.25 \cdot (-4) + 1 = 1 + 1 = 2$ (точка $(-4; 2)$). Строим луч, выходящий из точки $(0; 1)$ и проходящий через точку $(-4; 2)$.

Объединив оба луча, получаем искомый график. Он симметричен относительно оси Oy и представляет собой график функции $y = |x|$, сжатый к оси Ox в 4 раза (коэффициент 0.25) и сдвинутый на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (два луча), вершина которой находится в точке $(0; 1)$, а ветви направлены вверх. Для $x \ge 0$ график совпадает с лучом $y = 0.25x + 1$, а для $x < 0$ — с лучом $y = -0.25x + 1$.

б) $y = |x| + 0.5x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x + 0.5x = 1.5x$.

График этой функции на промежутке $[0, +\infty)$ — это луч, выходящий из начала координат $(0; 0)$. Для его построения найдем еще одну точку: при $x=2$, $y = 1.5 \cdot 2 = 3$. Получаем точку $(2; 3)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -x + 0.5x = -0.5x$.

График этой функции на промежутке $(-\infty, 0)$ — это луч, также выходящий из начала координат $(0; 0)$. Для его построения найдем еще одну точку: при $x=-2$, $y = -0.5 \cdot (-2) = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$.

Итоговый график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0; 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0; 0)$. Для $x \ge 0$ это луч $y = 1.5x$, а для $x < 0$ — это луч $y = -0.5x$.

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Это означает, что на графике будет выколотая точка (или точки) при $x=0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x}{x}(x - 2) = 1 \cdot (x - 2) = x - 2$.

Графиком является прямая $y = x - 2$, но только для $x > 0$. Это луч. Найдем координаты его начальной (выколотой) точки, определив предел функции при $x \to 0+$: $y \to 0 - 2 = -2$. Таким образом, луч начинается из выколотой точки $(0; -2)$. Для построения возьмем любую другую точку на луче, например, при $x=2$, $y=2-2=0$ (точка $(2; 0)$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x}{x}(x - 2) = -1 \cdot (x - 2) = -x + 2$.

Графиком является прямая $y = -x + 2$, но только для $x < 0$. Это луч. Найдем координаты его начальной (выколотой) точки, определив предел функции при $x \to 0-$: $y \to -0 + 2 = 2$. Таким образом, этот луч начинается из выколотой точки $(0; 2)$. Для построения возьмем любую другую точку, например, при $x=-2$, $y = -(-2) + 2 = 4$ (точка $(-2; 4)$).

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый луч — это часть прямой $y = x - 2$ для $x > 0$, с выколотой начальной точкой $(0; -2)$. Второй луч — это часть прямой $y = -x + 2$ для $x < 0$, с выколотой начальной точкой $(0; 2)$.