Номер 351, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 17. Кусочно-заданные функции - номер 351, страница 88.

Условие.

351. Изменение температуры Т (в градусах Цельсия) воды в баке описано с помощью формул:

$\mathrm{Т}=\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{t} + 20, \mathrm{если} 0\le \mathrm{t} < 20,\\ 100, \mathrm{если} 20 \le \mathrm{t} \le 30,\\ -\frac{1}{3}\mathrm{t} + 110, \mathrm{если} 30 < \mathrm{t} \le 90.\end{array}\right.$

Найдите значение Т при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90. Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда 0 ≤ t < 20; когда 20 ≤ t ≤ 30; когда 30 < t ≤ 90?

Решение 1.

$$\begin{gathered} \mathrm{T}=\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{t}+20, \mathrm{если} 0⩽\mathrm{t}<20,\\ 100, \mathrm{если} 20⩽\mathrm{t}⩽30, \\ -\frac{1}{3}\mathrm{t}+110, \mathrm{если} 30<\mathrm{t}⩽90\end{array}\right. \end{gathered}$$

при t = 10; T = 4 ⋅ 10 + 20 = 60°C;

при t = 20; T = 100°C;

при t = 30; T = 100°C;

при t = 45;
$\mathrm{T}=-\frac{1}{3} : 45+110=-15+110=$
= 95°C;

при t = 60;
$\mathrm{T}=-\frac{1}{3}· 60+110=-20+110=$
= 90°C;

при t = 90;
$\mathrm{T}=-\frac{1}{3} · 90+110=-30+110=$
= 80°C.

Если 0 ≤ t < 20, то вода в баке нагревается;
Если 20 ≤ t ≤ 30, то вода кипит;
Если 30 < t ≤ 90, то вода остывает.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Найдите значение T при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90.

Для нахождения значения температуры $T$ для каждого заданного момента времени $t$, необходимо подставить его в соответствующую часть кусочно-заданной функции, определив верный временной интервал.

При $t = 10$: этот момент времени принадлежит интервалу $0 \le t < 20$, следовательно, используем формулу $T = 4t + 20$.

$T(10) = 4 \cdot 10 + 20 = 40 + 20 = 60^\circ C$.

При $t = 20$: этот момент времени принадлежит интервалу $20 \le t \le 30$, следовательно, используем формулу $T = 100$.

$T(20) = 100^\circ C$.

При $t = 30$: этот момент времени принадлежит интервалу $20 \le t \le 30$, следовательно, используем формулу $T = 100$.

$T(30) = 100^\circ C$.

При $t = 45$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(45) = -\frac{1}{3} \cdot 45 + 110 = -15 + 110 = 95^\circ C$.

При $t = 60$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(60) = -\frac{1}{3} \cdot 60 + 110 = -20 + 110 = 90^\circ C$.

При $t = 90$: этот момент времени принадлежит интервалу $30 < t \le 90$, следовательно, используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.

$T(90) = -\frac{1}{3} \cdot 90 + 110 = -30 + 110 = 80^\circ C$.

Ответ: При $t=10, T=60^\circ C$; при $t=20, T=100^\circ C$; при $t=30, T=100^\circ C$; при $t=45, T=95^\circ C$; при $t=60, T=90^\circ C$; при $t=90, T=80^\circ C$.

Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда $0 \le t < 20$; когда $20 \le t \le 30$; когда $30 < t \le 90$?

когда $0 \le t < 20$

На этом временном интервале температура описывается формулой $T(t) = 4t + 20$. Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом ($k=4$), что указывает на равномерный рост температуры. В начальный момент времени ($t=0$) температура воды была $20^\circ C$, а к моменту времени $t=20$ она достигла $100^\circ C$. Физический смысл этого процесса — нагревание воды.

Ответ: Происходит нагревание воды.

когда $20 \le t \le 30$

На этом интервале температура постоянна и равна $T = 100^\circ C$. Эта температура является точкой кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Тот факт, что температура не меняется в течение некоторого времени, означает, что происходит фазовый переход — вся подводимая энергия идет на превращение воды в пар. Физический смысл этого процесса — кипение воды.

Ответ: Происходит кипение воды.

когда $30 < t \le 90$

На этом интервале температура описывается формулой $T(t) = -\frac{1}{3}t + 110$. Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-\frac{1}{3}$), что указывает на равномерное понижение температуры. Температура падает со $100^\circ C$ до $80^\circ C$. Вероятно, нагревательный элемент был выключен, и вода в баке начала остывать, отдавая тепло в окружающую среду. Физический смысл этого процесса — остывание воды.

Ответ: Происходит остывание воды.