Номер 346, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 346, страница 87.

346. Постройте график функции

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}х-2, \mathrm{если} \mathrm{х}<-1,\\ 2\mathrm{х} + 1, \mathrm{если} \mathrm{х}\ge -1;\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая у = m и график данной функции:

а) не имеют общих точек;

б) имеют ровно одну общую точку;

в) имеют ровно две общие точки.

Данная функция является кусочно-линейной. Её график состоит из двух лучей.

1. Построим первую часть графика: функцию $y = -x - 2$ на промежутке $x < -1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча найдем координаты двух точек. Одна из них — граничная точка, которую мы изобразим выколотой (пустым кружком), так как неравенство строгое ($x < -1$).

• При $x = -1$, $y = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$. Получаем выколотую точку $(-1; -1)$.
• Возьмем еще одно значение, например, $x = -3$: $y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Получаем точку $(-3; 1)$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1; -1)$ и проходящий через точку $(-3; 1)$.

2. Построим вторую часть графика: функцию $y = 2x + 1$ на промежутке $x \ge -1$.

Это также линейная функция. Для построения луча найдем координаты двух точек. Граничная точка будет закрашенной (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$).

• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$. Получаем закрашенную точку $(-1; -1)$.
• Возьмем еще одно значение, например, $x = 0$: $y = 2(0) + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

Таким образом, вторая часть графика — это луч, выходящий из точки $(-1; -1)$ и проходящий через точку $(0; 1)$.

Совместив обе части, мы видим, что выколотая точка первого луча совпадает с начальной точкой второго луча. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(-1; -1)$, которая является точкой минимума функции.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с построенным графиком общие точки. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

а) не имеют общих точек;

Горизонтальная прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком, если она будет проходить ниже самой нижней точки графика. Минимальное значение функции равно $-1$ и достигается в точке $x = -1$. Следовательно, при $m < -1$ общих точек не будет.

Ответ: $m < -1$.

б) имеют ровно одну общую точку;

Прямая $y=m$ будет иметь ровно одну общую точку с графиком, если она пройдет через вершину графика. Вершина графика находится в точке $(-1; -1)$. Это произойдет, когда $y$ будет равен минимальному значению функции, то есть $-1$.

Ответ: $m = -1$.

в) имеют ровно две общие точки.

Прямая $y=m$ будет пересекать график в двух точках, если она будет проходить выше вершины графика. Так как ордината вершины равна $-1$, то при любом значении $m > -1$ прямая $y=m$ пересечет оба луча, из которых состоит график.

Ответ: $m > -1$.