Номер 5, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. Контрольные вопросы и задания - номер 5, страница 83.

Условие.

5 Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

Решение 1.

Графиком линейной функции называется прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Решение 4.

Решение 5.

Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Графиком любой линейной функции в декартовой системе координат является прямая линия.

Положение этой прямой на плоскости полностью определяется коэффициентами $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (прямая «поднимается» слева направо), и угол наклона прямой к оси Ox — острый.
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (прямая «опускается» слева направо), и угол наклона — тупой.
  • Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Её график — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней, если $b=0$).
• Коэффициент $b$ называется свободным членом. Он показывает ординату точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось Oy). Координаты этой точки пересечения — $(0, b)$.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

Как построить график линейной функции?

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Поскольку график линейной функции — это прямая, для его построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Алгоритм построения графика следующий:

1. Выбрать два произвольных, удобных для вычисления, значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$).
2. Подставить эти значения поочередно в уравнение функции $y = kx + b$ и вычислить соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$.
3. В результате получатся координаты двух точек: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = -2x + 4$.

1. Найдем первую точку. Удобно взять $x_1 = 0$.
   Подставим его в уравнение: $y_1 = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
   Получили первую точку с координатами $(0, 4)$. (Это точка пересечения с осью Oy).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x_2 = 3$.
   Подставим его в уравнение: $y_2 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$.
   Получили вторую точку с координатами $(3, -2)$.
3. Отмечаем точки $(0, 4)$ и $(3, -2)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Для построения часто бывает удобно находить именно точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy: $x=0$, тогда $y=b$. Точка $(0, b)$.
• Пересечение с осью Ox: $y=0$, тогда $kx+b=0$, откуда $x = -b/k$ (при $k \ne 0$). Точка $(-b/k, 0)$.

Ответ: Чтобы построить график линейной функции, нужно найти координаты двух любых точек этой прямой, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую линию.