Номер 5, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 5, страница 83.

5 Что является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Графиком любой линейной функции в декартовой системе координат является прямая линия.

Положение этой прямой на плоскости полностью определяется коэффициентами $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция является возрастающей (прямая «поднимается» слева направо), и угол наклона прямой к оси Ox — острый.
  • Если $k < 0$, то функция является убывающей (прямая «опускается» слева направо), и угол наклона — тупой.
  • Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Её график — это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox (или совпадающая с ней, если $b=0$).
• Коэффициент $b$ называется свободным членом. Он показывает ординату точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось Oy). Координаты этой точки пересечения — $(0, b)$.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

Как построить график линейной функции?

Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Поскольку график линейной функции — это прямая, для его построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Алгоритм построения графика следующий:

1. Выбрать два произвольных, удобных для вычисления, значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$).
2. Подставить эти значения поочередно в уравнение функции $y = kx + b$ и вычислить соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$.
3. В результате получатся координаты двух точек: $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
4. Отметить эти две точки на координатной плоскости.
5. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться графиком данной линейной функции.

Пример: Построим график функции $y = -2x + 4$.

1. Найдем первую точку. Удобно взять $x_1 = 0$.
   Подставим его в уравнение: $y_1 = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
   Получили первую точку с координатами $(0, 4)$. (Это точка пересечения с осью Oy).
2. Найдем вторую точку. Возьмем $x_2 = 3$.
   Подставим его в уравнение: $y_2 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$.
   Получили вторую точку с координатами $(3, -2)$.
3. Отмечаем точки $(0, 4)$ и $(3, -2)$ на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Для построения часто бывает удобно находить именно точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy: $x=0$, тогда $y=b$. Точка $(0, b)$.
• Пересечение с осью Ox: $y=0$, тогда $kx+b=0$, откуда $x = -b/k$ (при $k \ne 0$). Точка $(-b/k, 0)$.

Ответ: Чтобы построить график линейной функции, нужно найти координаты двух любых точек этой прямой, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую линию.