Номер 345, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 345, страница 87.

345. Постройте график функции:

$\mathrm{а}) \mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х}, \mathrm{если} \mathrm{х}<-1,\\ \mathrm{х}, \mathrm{если} \mathrm{х}\ge -1;\end{array}\right.$

$\mathrm{б}) \mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{х}, \mathrm{если} -1\le \mathrm{х}<1,\\ 3-\mathrm{х}, \mathrm{если} 1\le \mathrm{х}\le 4.\end{array}\right.$

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

1. Построим график функции $y = -x$ на промежутке $x < -1$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Определим координаты точек на границе промежутка и внутри него.

Граничная точка: при $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка с координатами $(-1, 1)$ не принадлежит графику, и мы отметим ее на плоскости как выколотую (незакрашенный кружок).

Возьмем еще одну точку из этого промежутка, например, $x = -2$. Тогда $y = -(-2) = 2$. Получаем точку с координатами $(-2, 2)$.

Через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 2)$ проводим луч, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$.

2. Построим график функции $y = x$ на промежутке $x \ge -1$.

Графиком этой функции также является прямая.

Граничная точка: при $x = -1$, $y = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка с координатами $(-1, -1)$ принадлежит графику, и мы отметим ее как закрашенную.

Возьмем еще одну точку, например, $x = 1$. Тогда $y = 1$. Получаем точку с координатами $(1, 1)$.

Через точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ проводим луч, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$.

Итоговый график состоит из двух построенных лучей. В точке $x = -1$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — часть прямой $y = -x$, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$ и идущий влево-вверх. Второй — часть прямой $y = x$, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$ и идущий вправо-вверх.

б)

Данная функция также является кусочно-заданной. Построим ее график по частям.

1. Построим график функции $y = 2x$ на промежутке $-1 \le x < 1$.

Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

Левый конец: при $x = -1$, $y = 2(-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком.

Правый конец: при $x = 1$, $y = 2(1) = 2$. Точка $(1, 2)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое. Отметим ее выколотым кружком.

Соединяем точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$ отрезком.

2. Построим график функции $y = 3 - x$ на промежутке $1 \le x \le 4$.

Графиком также является отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

Левый конец: при $x = 1$, $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком. Эта точка "закрывает" выколотую точку из предыдущего шага.

Правый конец: при $x = 4$, $y = 3 - 4 = -1$. Точка $(4, -1)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. Отметим ее закрашенным кружком.

Соединяем точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$ отрезком.

Итоговый график — это объединение двух построенных отрезков. Так как конец первого отрезка совпадает с началом второго, график представляет собой непрерывную ломаную линию.

Ответ: График функции — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков, последовательно соединяющих точки с координатами $(-1, -2)$, $(1, 2)$ и $(4, -1)$.