Номер 350, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 17. Кусочно-заданные функции - номер 350, страница 87.

Условие.

350. На рисунке 63 изображён график функции, область определения которой есть множество таких значений х, что −2 ≤ х ≤ 6. Задайте эту функцию аналитически.

Решение 1.

Область определения функции разбивается на три промежутка:

1) Если -2 ≤ x ≤ 1, то угол наклона графика функции к оси x острый. Значит, k > 0. График сдвинут на 1 единицу вверх вдоль оси y. Значит, b = 1. Выберем на графике функции точку с координатами (-1; 0). Тогда
0 = -k + 1;
k = 1;
y = x + 1.

2) Если 1 < x < 3, то угол наклона графика функции к оси x тупой. Значит, k < 0. Выберем две точки с координатами (2; 1) и (2,5; 0,5) и подставим в формулу линейной функции. Получим:
1 = 2k + b и
0,5 = 2,5k + b.
Выразим из первого уравнения число b и подставим во второе уравнение
b = 1 - 2k;

2,5k + 1 - 2k = 0,5;
0,5k + 1 = 0,5;
0,5k = -0,5;
k = -1;

b = 1 - 2 ⋅ (-1) = 1 + 2 = 3;

y = -x + 3.

3) Если 3 ≤ x ≤ 6, то угол наклона графика функции к оси x острый. Значит, k > 0. Выберем две точки с координатами (4; 1) и (5; 2) и подставим в формулу линейной функции. Получим:
1 = 4k + b и
2 = 5k + b.
Выразим из первого уравнения число b и подставим во второе уравнение
b = 1 - 4k;

5k + 1 - 4k = 2;
k + 1 = 2;
k = 1;

b = 1 - 4 ⋅ 1 = -3;

y = x - 3.

Итак, данную функцию можно задать следующим образом:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+1, \mathrm{если} -2⩽\mathrm{x}⩽1\\ -\mathrm{x}+3, \mathrm{если} 1<\mathrm{x}<3 \\ \mathrm{x}-3, \mathrm{если} 3⩽\mathrm{x}⩽6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

График, представленный на рисунке, является кусочно-линейной функцией, определенной на отрезке $x \in [-2, 6]$. Чтобы задать эту функцию аналитически, необходимо найти уравнения для каждого из трех линейных сегментов, из которых состоит график.

1. Участок на отрезке $-2 \le x \le 1$

Этот сегмент является отрезком прямой, проходящей через точки с координатами $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Найдем уравнение прямой вида $y = kx + b$. Сначала вычислим угловой коэффициент $k$: $k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Теперь, зная коэффициент $k_1=1$, найдем сдвиг $b_1$, подставив координаты одной из точек, например, $(1, 2)$: $2 = 1 \cdot 1 + b_1$, откуда $b_1 = 1$. Следовательно, уравнение для этого участка: $y = x + 1$.

2. Участок на интервале $1 < x \le 3$

Этот сегмент соединяет точки $(1, 2)$ и $(3, 0)$. Вычислим угловой коэффициент $k_2$: $k_2 = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Подставим координаты точки $(3, 0)$, чтобы найти $b_2$: $0 = -1 \cdot 3 + b_2$, откуда $b_2 = 3$. Уравнение для этого участка: $y = -x + 3$.

3. Участок на интервале $3 < x \le 6$

Этот сегмент соединяет точки $(3, 0)$ и $(6, 3)$. Вычислим угловой коэффициент $k_3$: $k_3 = \frac{3 - 0}{6 - 3} = \frac{3}{3} = 1$. Подставим координаты точки $(3, 0)$, чтобы найти $b_3$: $0 = 1 \cdot 3 + b_3$, откуда $b_3 = -3$. Уравнение для этого участка: $y = x - 3$.

Объединяя все три найденных уравнения в одну систему с учетом их областей определения, мы получаем аналитическое задание исходной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -x + 3, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x - 3, & \text{если } 3 < x \le 6 \end{cases}$