Номер 347, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Кусочно-заданные функции. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 347, страница 87.

347. Постройте график функции

$\mathrm{у}=\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{х} + 1, \mathrm{если} \mathrm{х}\le 1,\\ 2\mathrm{х} - 3, \mathrm{если} \mathrm{х} >1;\end{array}\right.$

Определите, при каких значениях m прямая у = m и график данной функции:

а) не имеют общих точек;

б) имеют одну общую точку;

в) имеют две общие точки.

Сначала построим график заданной кусочной функции $y = \begin{cases} -x+1, & \text{если } x \le 1 \\ 2x-3, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

График состоит из двух частей — двух лучей.

1. Для $x \le 1$ строим график функции $y = -x+1$. Это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $x=1$, то $y = -1+1 = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
• Если $x=0$, то $y = -0+1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.

Так как $x \le 1$, то на графике будет луч, проходящий через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$, с началом в точке $(1; 0)$.

2. Для $x > 1$ строим график функции $y = 2x-3$. Это также прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Найдем значение в граничной точке $x=1$: $y = 2(1)-3 = -1$. Так как неравенство строгое ($x>1$), точка $(1; -1)$ не принадлежит графику, и мы отметим ее как "выколотую" (пустой кружок).
• Если $x=2$, то $y = 2(2)-3 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Так как $x > 1$, то на графике будет луч, выходящий из выколотой точки $(1; -1)$ и проходящий через точку $(2; 1)$.

Итоговый график представляет собой объединение этих двух лучей. "Излом" графика происходит при $x=1$.

Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с построенным графиком определенное количество общих точек. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая.

а) не имеют общих точек;

Горизонтальная прямая $y=m$ не будет иметь общих точек с графиком, если она будет проходить ниже самой низкой точки графика. Второй луч начинается из выколотой точки $(1; -1)$ и идет вверх. Значит, все значения $y$ на этом луче строго больше $-1$. Первый луч начинается в точке $(1; 0)$ и идет вверх, значит все значения $y$ на нем не меньше $0$. Таким образом, у графика нет точек, ордината которых меньше или равна $-1$. Следовательно, при $m \le -1$ общих точек не будет.

Ответ: $m \in (-\infty; -1]$.

б) имеют одну общую точку;

Прямая $y=m$ будет иметь ровно одну общую точку, если она пересечет только один из лучей. Это произойдет, если прямая будет находиться между выколотой точкой $(1; -1)$ и точкой излома $(1; 0)$. В этом случае прямая $y=m$ пересечет только правый луч ($y=2x-3$) и не пересечет левый. Это условие выполняется для всех $m$ в интервале $-1 < m < 0$.

Ответ: $m \in (-1; 0)$.

в) имеют две общие точки.

Прямая $y=m$ будет иметь две общие точки, если она пересечет оба луча. Это произойдет, если прямая пройдет через точку $(1; 0)$ или выше нее. При $m=0$ прямая пересекает график в точках $(1;0)$ и $(1.5;0)$. При $m > 0$ прямая пересекает левый луч в одной точке и правый луч в одной точке, что дает в сумме две точки пересечения. Таким образом, два решения существуют при $m \ge 0$.

Ответ: $m \in [0; +\infty)$.