Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

337. В бак налили воду, температура которой 10℃, и нагревали её до 100℃, причём через каждую минуту температура повышалась на 1,5℃. Задайте формулой зависимость температуры воды T (в градусах Цельсия) от времени нагревания t (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику:

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

б) через какое время вода нагрелась до 85℃.

Сначала зададим формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах). Начальная температура воды составляет $10^{\circ}\text{С}$. Каждую минуту температура повышается на $1,5^{\circ}\text{С}$. Это означает, что прирост температуры за время $t$ минут составит $1,5 \cdot t$ градусов.

Таким образом, температура воды $T$ в момент времени $t$ будет равна сумме начальной температуры и прироста температуры. Формула зависимости имеет вид: $T(t) = 10 + 1,5t$

Эта зависимость является линейной, её график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек. 1. Начальный момент времени: при $t = 0$ мин, температура $T = 10 + 1,5 \cdot 0 = 10^{\circ}\text{С}$. Координаты первой точки: $(0; 10)$. 2. Конечный момент времени (нагрев до $100^{\circ}\text{С}$): $100 = 10 + 1,5t$ $90 = 1,5t$ $t = \frac{90}{1,5} = 60$ мин. Координаты второй точки: $(60; 100)$.

Графиком зависимости является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 10)$ и $(60; 100)$. Построим этот график, где по горизонтальной оси отложено время $t$ в минутах, а по вертикальной — температура $T$ в ${^\circ}\text{С}$.

Теперь ответим на вопросы, используя график и проверив вычисления по формуле.

Чтобы найти температуру через 5 минут после начала нагревания, находим на оси времени (ось t) значение 5. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком (синяя линия). От точки пересечения проводим перпендикуляр к оси температуры (ось T). По графику видно, что это значение равно $17,5^{\circ}\text{С}$. Проверка по формуле: $T(5) = 10 + 1,5 \cdot 5 = 10 + 7,5 = 17,5^{\circ}\text{С}$.

Аналогично, для времени 10 минут находим на оси t значение 10. По графику соответствующая температура равна $25^{\circ}\text{С}$. Проверка по формуле: $T(10) = 10 + 1,5 \cdot 10 = 10 + 15 = 25^{\circ}\text{С}$.

Ответ: через 5 мин температура была $17,5^{\circ}\text{С}$; через 10 мин — $25^{\circ}\text{С}$.

Чтобы найти, через какое время вода нагрелась до $85^{\circ}\text{С}$, находим на оси температуры (ось T) значение 85. Из этой точки проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось времени (ось t). По графику видно, что это значение равно 50 минутам. Проверка по формуле: $85 = 10 + 1,5t$ $1,5t = 85 - 10$ $1,5t = 75$ $t = \frac{75}{1,5} = 50$ мин.

Ответ: вода нагрелась до $85^{\circ}\text{С}$ через 50 минут.

338. Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 ч они шли со скоростью 4,5 км/ч. Затем сделали привал на 1 ч. На оставшуюся часть пути они затратили полтора часа, проходя её со скоростью 6 км/ч. Постройте график движения.

Для построения графика движения группы туристов необходимо рассчитать расстояние, пройденное на каждом этапе, и определить соответствующие временные интервалы. График будет строиться в системе координат, где ось абсцисс — это время $t$ в часах, а ось ординат — расстояние $S$ от станции в километрах.

1. Первый этап: движение до привала.
Туристы шли 2 часа ($t_1 = 2$ ч) со скоростью 4,5 км/ч ($v_1 = 4,5$ км/ч).
Расстояние, пройденное на этом этапе, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 9$ км.
К концу этого этапа (через 2 часа после старта) туристы находились на расстоянии 9 км от станции. График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 9)$.

2. Второй этап: привал.
Привал длился 1 час. Он начался в момент времени $t=2$ ч и закончился в $t = 2 + 1 = 3$ ч.
Во время привала скорость туристов была равна нулю ($v_2 = 0$ км/ч), поэтому расстояние от станции не изменялось и оставалось равным 9 км.
График на этом участке — это горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(2, 9)$ и $(3, 9)$.

3. Третий этап: движение после привала.
На оставшуюся часть пути туристы затратили полтора часа ($t_3 = 1,5$ ч), двигаясь со скоростью 6 км/ч ($v_3 = 6$ км/ч).
Расстояние, пройденное на этом этапе, равно: $S_3 = v_3 \cdot t_3 = 6 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 9$ км.
Этот этап начался в момент времени $t=3$ ч и закончился в $t = 3 + 1,5 = 4,5$ ч.
Общее расстояние от станции к концу путешествия составляет сумму расстояний, пройденных до и после привала: $S_{общ} = S_1 + S_3 = 9 + 9 = 18$ км.
График на этом участке — это отрезок, соединяющий точки $(3, 9)$ и $(4.5, 18)$.

Построение графика.
Объединив все этапы, получаем ломаную линию, проходящую последовательно через ключевые точки в системе координат S(t):
- Начало пути: $(0, 0)$
- Конец первого участка: $(2, 9)$
- Конец привала: $(3, 9)$
- Прибытие на турбазу: $(4.5, 18)$

Ответ: График движения туристов представляет собой ломаную линию в системе координат S(t), которая последовательно соединяет точки (0, 0), (2, 9), (3, 9) и (4.5, 18).

339. (Для работы в парах.) На рисунке 55 изображены графики движения двух машин, следующих из города А в город В, расстояние между которыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопросы:

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

б) какая машина начала своё движение раньше;

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

г) какая машина прибыла в город В раньше?

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто − на вопросы б), г), и ответьте на них.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

Чтобы найти время, которое каждая машина была в пути, необходимо сначала определить скорость движения каждой машины, а затем разделить общее расстояние (200 км) на эту скорость.

Для первой машины (график I): график представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0; 0) и точку с координатами (2; 160). Скорость $v_1$ постоянна и вычисляется как отношение изменения расстояния к изменению времени:

$v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{160 \text{ км} - 0 \text{ км}}{2 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$

Время в пути для первой машины, чтобы проехать 200 км:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{200 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ часа}$

Для второй машины (график II): график представляет собой прямую, проходящую через точки (1; 0) и (2; 120). Скорость $v_2$ также постоянна:

$v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{120 \text{ км} - 0 \text{ км}}{2 \text{ ч} - 1 \text{ ч}} = 120 \text{ км/ч}$

Время в пути для второй машины, чтобы проехать 200 км:

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{200 \text{ км}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3} \text{ часа} = 1 \frac{2}{3} \text{ часа} = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$

Ответ: первая машина была в пути 2.5 часа (или 2 часа 30 минут); вторая машина была в пути $1 \frac{2}{3}$ часа (или 1 час 40 минут).

б) какая машина начала свое движение раньше;

Анализируя график, мы видим, что движение первой машины (график I) начинается в начальный момент времени $t=0$ из точки $s=0$. Движение второй машины (график II) начинается из точки $s=0$ в момент времени $t=1$ час. Так как $0 < 1$, первая машина начала свое движение раньше.

Ответ: первая машина начала движение раньше на 1 час.

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

Скорости машин были определены при решении пункта а). Для нахождения скорости используется формула $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.

Скорость первой машины (график I) составляет: $v_1 = \frac{160 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$.

Скорость второй машины (график II) составляет: $v_2 = \frac{120 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 120 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость первой машины – 80 км/ч, скорость второй машины – 120 км/ч.

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Чтобы определить, какая машина прибыла раньше, необходимо найти момент времени прибытия каждой машины в город В (когда $s=200$ км).

Для первой машины: она стартовала в $t=0$ и была в пути 2.5 часа. Следовательно, время ее прибытия:

$T_1 = 0 \text{ ч} + 2.5 \text{ ч} = 2.5 \text{ часа}$

Для второй машины: она стартовала в $t=1$ час и была в пути $1 \frac{2}{3}$ часа. Следовательно, время ее прибытия:

$T_2 = 1 \text{ ч} + 1 \frac{2}{3} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ часа}$

Сравним время прибытия: $T_1 = 2.5$ часа (2 часа 30 минут), а $T_2 = 2 \frac{2}{3}$ часа (2 часа 40 минут). Так как $2.5 < 2 \frac{2}{3}$, первая машина прибыла в город В раньше.

Ответ: первая машина прибыла в город В раньше.

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.

Это задание предполагает работу в парах. В данном решении ответы на все вопросы (а, б, в, г) с подробными объяснениями представлены выше.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

Это задание также предназначено для взаимопроверки в парах. Для самостоятельной проверки можно последовательно проверить каждый шаг вычислений в представленных выше решениях, чтобы убедиться в их правильности.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

Точка пересечения двух графиков движения в координатах «расстояние-время» обозначает момент времени и место, где объекты встречаются. В данном случае, это момент, когда одна машина догоняет другую.

Чтобы найти эту точку, нужно приравнять уравнения движения обеих машин. Уравнение движения для машины I: $s = 80t$. Уравнение движения для машины II (при $t \ge 1$): $s = 120(t-1)$.

Найдем точку их пересечения:

$80t = 120(t-1)$

$80t = 120t - 120$

$40t = 120$

$t = 3$ часа

Найдем расстояние в этот момент: $s = 80 \cdot 3 = 240$ км.

Точка пересечения (3 ч; 240 км) показывает, что вторая машина догнала бы первую через 3 часа после старта первой машины на расстоянии 240 км от города А. Однако, поскольку расстояние до города В составляет 200 км, эта встреча не происходит во время поездки. Первая машина прибывает в $t=2.5$ ч, а вторая — в $t \approx 2.67$ ч, так и не догнав первую.

Ответ: Точка пересечения графиков означает гипотетический момент времени (t=3 ч) и место (s=240 км), где вторая машина догнала бы первую, если бы они продолжали движение с постоянными скоростями за пределами города В. В рамках поездки из города А в город В встреча не происходит.