Номер 337, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 337, страница 82.

337. В бак налили воду, температура которой 10℃, и нагревали её до 100℃, причём через каждую минуту температура повышалась на 1,5℃. Задайте формулой зависимость температуры воды T (в градусах Цельсия) от времени нагревания t (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику:

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

б) через какое время вода нагрелась до 85℃.

Сначала зададим формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах). Начальная температура воды составляет $10^{\circ}\text{С}$. Каждую минуту температура повышается на $1,5^{\circ}\text{С}$. Это означает, что прирост температуры за время $t$ минут составит $1,5 \cdot t$ градусов.

Таким образом, температура воды $T$ в момент времени $t$ будет равна сумме начальной температуры и прироста температуры. Формула зависимости имеет вид: $T(t) = 10 + 1,5t$

Эта зависимость является линейной, её график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек. 1. Начальный момент времени: при $t = 0$ мин, температура $T = 10 + 1,5 \cdot 0 = 10^{\circ}\text{С}$. Координаты первой точки: $(0; 10)$. 2. Конечный момент времени (нагрев до $100^{\circ}\text{С}$): $100 = 10 + 1,5t$ $90 = 1,5t$ $t = \frac{90}{1,5} = 60$ мин. Координаты второй точки: $(60; 100)$.

Графиком зависимости является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 10)$ и $(60; 100)$. Построим этот график, где по горизонтальной оси отложено время $t$ в минутах, а по вертикальной — температура $T$ в ${^\circ}\text{С}$.

Теперь ответим на вопросы, используя график и проверив вычисления по формуле.

а)

Чтобы найти температуру через 5 минут после начала нагревания, находим на оси времени (ось t) значение 5. Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком (синяя линия). От точки пересечения проводим перпендикуляр к оси температуры (ось T). По графику видно, что это значение равно $17,5^{\circ}\text{С}$. Проверка по формуле: $T(5) = 10 + 1,5 \cdot 5 = 10 + 7,5 = 17,5^{\circ}\text{С}$.

Аналогично, для времени 10 минут находим на оси t значение 10. По графику соответствующая температура равна $25^{\circ}\text{С}$. Проверка по формуле: $T(10) = 10 + 1,5 \cdot 10 = 10 + 15 = 25^{\circ}\text{С}$.

Ответ: через 5 мин температура была $17,5^{\circ}\text{С}$; через 10 мин — $25^{\circ}\text{С}$.

б)

Чтобы найти, через какое время вода нагрелась до $85^{\circ}\text{С}$, находим на оси температуры (ось T) значение 85. Из этой точки проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. От точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось времени (ось t). По графику видно, что это значение равно 50 минутам. Проверка по формуле: $85 = 10 + 1,5t$ $1,5t = 85 - 10$ $1,5t = 75$ $t = \frac{75}{1,5} = 50$ мин.

Ответ: вода нагрелась до $85^{\circ}\text{С}$ через 50 минут.