Номер 339, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 339, страница 82.

339. (Для работы в парах.) На рисунке 55 изображены графики движения двух машин, следующих из города А в город В, расстояние между которыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопросы:

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

б) какая машина начала своё движение раньше;

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

г) какая машина прибыла в город В раньше?

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто − на вопросы б), г), и ответьте на них.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

Чтобы найти время, которое каждая машина была в пути, необходимо сначала определить скорость движения каждой машины, а затем разделить общее расстояние (200 км) на эту скорость.

Для первой машины (график I): график представляет собой прямую, проходящую через начало координат (0; 0) и точку с координатами (2; 160). Скорость $v_1$ постоянна и вычисляется как отношение изменения расстояния к изменению времени:

$v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{160 \text{ км} - 0 \text{ км}}{2 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$

Время в пути для первой машины, чтобы проехать 200 км:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{200 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ часа}$

Для второй машины (график II): график представляет собой прямую, проходящую через точки (1; 0) и (2; 120). Скорость $v_2$ также постоянна:

$v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{120 \text{ км} - 0 \text{ км}}{2 \text{ ч} - 1 \text{ ч}} = 120 \text{ км/ч}$

Время в пути для второй машины, чтобы проехать 200 км:

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{200 \text{ км}}{120 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3} \text{ часа} = 1 \frac{2}{3} \text{ часа} = 1 \text{ час } 40 \text{ минут}$

Ответ: первая машина была в пути 2.5 часа (или 2 часа 30 минут); вторая машина была в пути $1 \frac{2}{3}$ часа (или 1 час 40 минут).

б) какая машина начала свое движение раньше;

Анализируя график, мы видим, что движение первой машины (график I) начинается в начальный момент времени $t=0$ из точки $s=0$. Движение второй машины (график II) начинается из точки $s=0$ в момент времени $t=1$ час. Так как $0 < 1$, первая машина начала свое движение раньше.

Ответ: первая машина начала движение раньше на 1 час.

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

Скорости машин были определены при решении пункта а). Для нахождения скорости используется формула $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.

Скорость первой машины (график I) составляет: $v_1 = \frac{160 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$.

Скорость второй машины (график II) составляет: $v_2 = \frac{120 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 120 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость первой машины – 80 км/ч, скорость второй машины – 120 км/ч.

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Чтобы определить, какая машина прибыла раньше, необходимо найти момент времени прибытия каждой машины в город В (когда $s=200$ км).

Для первой машины: она стартовала в $t=0$ и была в пути 2.5 часа. Следовательно, время ее прибытия:

$T_1 = 0 \text{ ч} + 2.5 \text{ ч} = 2.5 \text{ часа}$

Для второй машины: она стартовала в $t=1$ час и была в пути $1 \frac{2}{3}$ часа. Следовательно, время ее прибытия:

$T_2 = 1 \text{ ч} + 1 \frac{2}{3} \text{ ч} = 2 \frac{2}{3} \text{ часа}$

Сравним время прибытия: $T_1 = 2.5$ часа (2 часа 30 минут), а $T_2 = 2 \frac{2}{3}$ часа (2 часа 40 минут). Так как $2.5 < 2 \frac{2}{3}$, первая машина прибыла в город В раньше.

Ответ: первая машина прибыла в город В раньше.

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.

Это задание предполагает работу в парах. В данном решении ответы на все вопросы (а, б, в, г) с подробными объяснениями представлены выше.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

Это задание также предназначено для взаимопроверки в парах. Для самостоятельной проверки можно последовательно проверить каждый шаг вычислений в представленных выше решениях, чтобы убедиться в их правильности.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

Точка пересечения двух графиков движения в координатах «расстояние-время» обозначает момент времени и место, где объекты встречаются. В данном случае, это момент, когда одна машина догоняет другую.

Чтобы найти эту точку, нужно приравнять уравнения движения обеих машин. Уравнение движения для машины I: $s = 80t$. Уравнение движения для машины II (при $t \ge 1$): $s = 120(t-1)$.

Найдем точку их пересечения:

$80t = 120(t-1)$

$80t = 120t - 120$

$40t = 120$

$t = 3$ часа

Найдем расстояние в этот момент: $s = 80 \cdot 3 = 240$ км.

Точка пересечения (3 ч; 240 км) показывает, что вторая машина догнала бы первую через 3 часа после старта первой машины на расстоянии 240 км от города А. Однако, поскольку расстояние до города В составляет 200 км, эта встреча не происходит во время поездки. Первая машина прибывает в $t=2.5$ ч, а вторая — в $t \approx 2.67$ ч, так и не догнав первую.

Ответ: Точка пересечения графиков означает гипотетический момент времени (t=3 ч) и место (s=240 км), где вторая машина догнала бы первую, если бы они продолжали движение с постоянными скоростями за пределами города В. В рамках поездки из города А в город В встреча не происходит.