Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

314. Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Зависимость периметра прямоугольника от его длины
Обозначим длину прямоугольника как $x$ см. Согласно условию, ширина на 3 см меньше длины, следовательно, ширина равна $(x - 3)$ см.
Периметр прямоугольника ($P$) находится по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$.
Подставим в формулу наши значения для длины и ширины:
$P(x) = 2 \cdot (x + (x - 3))$
Упростим выражение в скобках:
$P(x) = 2 \cdot (2x - 3)$
Раскроем скобки:
$P(x) = 4x - 6$
Ответ: $P(x) = 4x - 6$.

Зависимость площади прямоугольника от длины
Площадь прямоугольника ($S$) находится по формуле $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$.
Подставим в формулу наши значения для длины ($x$) и ширины ($(x - 3)$):
$S(x) = x \cdot (x - 3)$
Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член в скобках:
$S(x) = x^2 - 3x$
Ответ: $S(x) = x^2 - 3x$.

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа.
Сравним наши формулы с общим видом линейной функции:
1. Зависимость периметра: $P(x) = 4x - 6$. Эта формула полностью соответствует виду $y = kx + b$, где $k=4$ и $b=-6$. Значит, это линейная функция.
2. Зависимость площади: $S(x) = x^2 - 3x$. Эта формула содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$), что не соответствует виду линейной функции. Такая функция называется квадратичной.
Ответ: линейной функцией является зависимость периметра прямоугольника от его длины.

315. Ученик имел 85 р. На эти деньги он купил х почтовых марок по 10 р. После покупки у него осталось у р. Задайте формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной функцией?

Для того чтобы определить зависимость оставшихся денег ($y$) от количества купленных марок ($x$), необходимо из начальной суммы денег вычесть общую стоимость всех купленных марок.

1. Начальная сумма денег у ученика: 85 рублей.

2. Стоимость одной марки: 10 рублей.

3. Количество купленных марок: $x$ штук.

4. Общая стоимость всех купленных марок: $10 \cdot x$ (или $10x$) рублей.

Сумма денег $y$, которая осталась у ученика, вычисляется как разность между начальной суммой и общей стоимостью покупки. Таким образом, формула зависимости $y$ от $x$ выглядит следующим образом:

$y = 85 - 10x$

Теперь проверим, является ли данная зависимость линейной функцией. Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Нашу формулу $y = 85 - 10x$ можно переписать, поменяв слагаемые местами, чтобы она соответствовала стандартному виду:

$y = -10x + 85$

Сравнивая эту формулу с общим видом $y = kx + b$, мы видим, что:

• коэффициент $k = -10$
• свободный член $b = 85$

Поскольку полученная формула зависимости полностью соответствует общему виду линейной функции, эта зависимость является линейной функцией.

Ответ: Формула зависимости $y$ от $x$ имеет вид $y = 85 - 10x$. Да, эта зависимость является линейной функцией, так как ее можно представить в виде $y = kx + b$, где $k = -10$ и $b = 85$.

316. Является ли линейной функция, заданная формулой:

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Проверим каждую из заданных функций на соответствие этому определению.

а) $y = 2x - 3$

Эта функция уже представлена в виде $y = kx + b$. Здесь угловой коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = -3$. Следовательно, эта функция является линейной.
Ответ: да, является.

б) $y = 7 - 9x$

Перепишем формулу, поменяв слагаемые местами: $y = -9x + 7$. Эта функция соответствует виду $y = kx + b$, где $k = -9$ и $b = 7$. Следовательно, эта функция является линейной.
Ответ: да, является.

в) $y = \frac{x}{2} + 1$

Преобразуем формулу: $y = \frac{1}{2}x + 1$. Эта функция соответствует виду $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{2}$ и $b = 1$. Следовательно, эта функция является линейной.
Ответ: да, является.

г) $y = \frac{2}{x} + 1$

В этой формуле переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно записи $y = 2x^{-1} + 1$. В линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Поскольку здесь степень $x$ равна -1, эта функция не является линейной. Это обратная пропорциональность.
Ответ: нет, не является.

д) $y = x^2 - 3$

В этой формуле переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). В линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени. Следовательно, эта функция не является линейной. Это квадратичная функция.
Ответ: нет, не является.

е) $y = \frac{10x - 7}{5}$

Преобразуем формулу, разделив числитель почленно на знаменатель: $y = \frac{10x}{5} - \frac{7}{5}$, что равносильно $y = 2x - \frac{7}{5}$. Эта функция соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 2$ и $b = -\frac{7}{5}$. Следовательно, эта функция является линейной.
Ответ: да, является.

317. Линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Найдите значение у, соответствующее х = − 12; 0; 34. При каком х значение у равно − 16; 0; 8?

Найдите значение y, соответствующее x = -12; 0; 34.

Дана линейная функция $y = 0,5x + 6$. Чтобы найти значение y для заданных x, подставим эти значения в формулу функции.
- При $x = -12$:
$y = 0,5 \cdot (-12) + 6 = -6 + 6 = 0$.
- При $x = 0$:
$y = 0,5 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$.
- При $x = 34$:
$y = 0,5 \cdot 34 + 6 = 17 + 6 = 23$.

Ответ: если $x = -12$, то $y = 0$; если $x = 0$, то $y = 6$; если $x = 34$, то $y = 23$.

При каком x значение y равно -16; 0; 8?

Чтобы найти значение x, при котором функция принимает заданное значение y, подставим значение y в формулу $y = 0,5x + 6$ и решим полученное уравнение относительно x.
- При $y = -16$ решаем уравнение:
$-16 = 0,5x + 6$
$0,5x = -16 - 6$
$0,5x = -22$
$x = \frac{-22}{0,5}$
$x = -44$
- При $y = 0$ решаем уравнение:
$0 = 0,5x + 6$
$0,5x = -6$
$x = \frac{-6}{0,5}$
$x = -12$
- При $y = 8$ решаем уравнение:
$8 = 0,5x + 6$
$0,5x = 8 - 6$
$0,5x = 2$
$x = \frac{2}{0,5}$
$x = 4$

Ответ: значение $y = -16$ при $x = -44$; значение $y = 0$ при $x = -12$; значение $y = 8$ при $x = 4$.

318. Линейная функция задана формулой у = −3x + 1,5. Найдите:

а) значение у, если х = −1,5; 2,5; 4;

6) значение х, при котором у = −4,5; 0; 1,5.

Дана линейная функция, заданная формулой $y = -3x + 1.5$.

а) значение y, если x = -1,5; 2,5; 4;

Чтобы найти значение функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо последовательно подставить эти значения в формулу функции.

1. При $x = -1.5$:

$y = -3 \cdot (-1.5) + 1.5 = 4.5 + 1.5 = 6$

2. При $x = 2.5$:

$y = -3 \cdot (2.5) + 1.5 = -7.5 + 1.5 = -6$

3. При $x = 4$:

$y = -3 \cdot 4 + 1.5 = -12 + 1.5 = -10.5$

Ответ: при $x = -1.5$, $y = 6$; при $x = 2.5$, $y = -6$; при $x = 4$, $y = -10.5$.

б) значение x, при котором y = -4,5; 0; 1,5.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y$ принимает заданное значение, необходимо подставить это значение $y$ в формулу функции и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

1. При $y = -4.5$:

$-4.5 = -3x + 1.5$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а числовое значение в правую:

$3x = 1.5 - (-4.5)$

$3x = 1.5 + 4.5$

$3x = 6$

$x = 6 \div 3$

$x = 2$

2. При $y = 0$:

$0 = -3x + 1.5$

$3x = 1.5$

$x = 1.5 \div 3$

$x = 0.5$

3. При $y = 1.5$:

$1.5 = -3x + 1.5$

$3x = 1.5 - 1.5$

$3x = 0$

$x = 0 \div 3$

$x = 0$

Ответ: $y = -4.5$ при $x = 2$; $y = 0$ при $x = 0.5$; $y = 1.5$ при $x = 0$.

319. Постройте график функции, заданной формулой:

Для построения графика каждой из заданных линейных функций необходимо найти координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению, а затем провести через эти точки прямую.

а) $y = -2x + 1$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получили точку $(0; 1)$.

2. Примем $x = 2$. Тогда $y = -2 \cdot 2 + 1 = -4 + 1 = -3$. Получили точку $(2; -3)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(2; -3)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = -2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(2; -3)$.

б) $y = 0,2x + 5$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = 0,2 \cdot 0 + 5 = 5$. Получили точку $(0; 5)$.

2. Примем $x = 5$. Тогда $y = 0,2 \cdot 5 + 5 = 1 + 5 = 6$. Получили точку $(5; 6)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 5)$ и $(5; 6)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 0,2x + 5$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(5; 6)$.

в) $y = -x + 4,5$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = -0 + 4,5 = 4,5$. Получили точку $(0; 4,5)$.

2. Примем $x = 4,5$. Тогда $y = -4,5 + 4,5 = 0$. Получили точку $(4,5; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 4,5)$ и $(4,5; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = -x + 4,5$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 4,5)$ и $(4,5; 0)$.

г) $y = x + 1,5$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = 0 + 1,5 = 1,5$. Получили точку $(0; 1,5)$.

2. Примем $x = 2$. Тогда $y = 2 + 1,5 = 3,5$. Получили точку $(2; 3,5)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 1,5)$ и $(2; 3,5)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = x + 1,5$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 1,5)$ и $(2; 3,5)$.

д) $y = \frac{1}{2}x - 3$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек. Для удобства вычислений будем брать чётные значения $x$.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получили точку $(0; -3)$.

2. Примем $x = 4$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 3 = 2 - 3 = -1$. Получили точку $(4; -1)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(4; -1)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x - 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -3)$ и $(4; -1)$.

е) $y = -x - 3,5$

Это линейная функция, её график — прямая. Найдём координаты двух точек.

1. Примем $x = 0$. Тогда $y = -0 - 3,5 = -3,5$. Получили точку $(0; -3,5)$.

2. Примем $x = -3,5$. Тогда $y = -(-3,5) - 3,5 = 3,5 - 3,5 = 0$. Получили точку $(-3,5; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; -3,5)$ и $(-3,5; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = -x - 3,5$ — это прямая, проходящая через точки $(0; -3,5)$ и $(-3,5; 0)$.

320. (Задача исследование.) Дана линейная функция у = kх + 4. При каком значении k график этой функции:

а) параллелен графику прямой пропорциональности у = −х;

б) не пересекает ось абсцисс;

в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;

г) проходит через точку пересечения графиков функций у = 12 − х и у = х + 4?

Обсудите ответы на поставленные вопросы.

а) Графики двух линейных функций параллельны, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью ординат различны. Угловой коэффициент функции $y = kx + 4$ равен $k$. Угловой коэффициент функции $y = -x$ (или $y = (-1)x + 0$) равен $-1$. Точки пересечения с осью $y$ (при $x=0$) равны $4$ и $0$, они различны. Следовательно, для параллельности графиков необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны: $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

б) График функции не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$), если он параллелен этой оси и не совпадает с ней. Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной, и её угловой коэффициент равен нулю. Для функции $y = kx + 4$ это условие выполняется при $k = 0$. В этом случае уравнение функции принимает вид $y = 0 \cdot x + 4$, то есть $y = 4$. График $y=4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$ и не имеющая общих точек с осью абсцисс.
Ответ: $k = 0$.

в) Пересечение графика функции с осью абсцисс происходит в точке, где ордината $y=0$. По условию, абсцисса ($x$) этой точки равна 3. Это означает, что график функции $y = kx + 4$ проходит через точку с координатами $(3, 0)$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$0 = k \cdot 3 + 4$
Решим уравнение относительно $k$:
$3k = -4$
$k = -\frac{4}{3}$
Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$. Для этого приравняем выражения для $y$:
$12 - x = x + 4$
$12 - 4 = x + x$
$8 = 2x$
$x = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в любое из уравнений, например, в $y = x + 4$:
$y = 4 + 4 = 8$
Таким образом, точка пересечения графиков — это точка с координатами $(4, 8)$.
По условию, график функции $y = kx + 4$ проходит через эту точку. Подставим координаты $(4, 8)$ в уравнение $y = kx + 4$:
$8 = k \cdot 4 + 4$
Решим полученное уравнение:
$8 - 4 = 4k$
$4 = 4k$
$k = 1$
Ответ: $k = 1$.

321. Постройте график функции у = −10x + 40, выбрав масштаб: по оси х − в 1 см одна единица, по оси у − в 1 см 10 единиц.

Найдите по графику:

а) значение у, соответствующее х = −2,5; 0,8; 3,5;

б) значение х, которому соответствует у = 70; −10; −30.

Данная функция $y = -10x + 40$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдём точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x = 0$:
$y = -10 \cdot 0 + 40 = 40$.
Получили точку A с координатами $(0; 40)$.

2. Найдём точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$). Для этого примем $y = 0$:
$0 = -10x + 40$
$10x = 40$
$x = 4$.
Получили точку B с координатами $(4; 0)$.

Теперь построим график. Начертим систему координат. Согласно условию, выберем масштаб: по оси $x$ в 1 см — 1 единица, а по оси $y$ в 1 см — 10 единиц. Отметим на координатной плоскости точки A(0; 40) и B(4; 0). Соединив эти точки прямой линией, получим график функции $y = -10x + 40$.

Далее найдём требуемые значения по графику. Для получения точных значений будем дублировать графический метод аналитическим (расчетным).

Чтобы найти по графику значение $y$ для заданного $x$, нужно найти это значение на оси $x$, провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $y$.

• При $x = -2,5$:
  $y = -10(-2,5) + 40 = 25 + 40 = 65$.
• При $x = 0,8$:
  $y = -10(0,8) + 40 = -8 + 40 = 32$.
• При $x = 3,5$:
  $y = -10(3,5) + 40 = -35 + 40 = 5$.

Ответ: если $x=-2,5$, то $y=65$; если $x=0,8$, то $y=32$; если $x=3,5$, то $y=5$.

Чтобы найти по графику значение $x$ для заданного $y$, нужно найти это значение на оси $y$, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести вертикальную линию до оси $x$.

• При $y = 70$:
  $70 = -10x + 40$
  $10x = 40 - 70$
  $10x = -30$
  $x = -3$.
• При $y = -10$:
  $-10 = -10x + 40$
  $10x = 40 - (-10)$
  $10x = 50$
  $x = 5$.
• При $y = -30$:
  $-30 = -10x + 40$
  $10x = 40 - (-30)$
  $10x = 70$
  $x = 7$.

Ответ: если $y=70$, то $x=-3$; если $y=-10$, то $x=5$; если $y=-30$, то $x=7$.

322. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), нужно подставить в уравнение функции значение $x=0$.
• Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), нужно подставить в уравнение функции значение $y=0$.

а) Для функции $y = -2,4x + 9,6$:

1. Находим точку пересечения с осью $Oy$. Подставляем $x=0$:
$y = -2,4 \cdot 0 + 9,6 = 9,6$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 9,6)$.

2. Находим точку пересечения с осью $Ox$. Подставляем $y=0$:
$0 = -2,4x + 9,6$
$2,4x = 9,6$
$x = \frac{9,6}{2,4} = 4$.
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(4; 0)$.

Ответ: $(4; 0)$ и $(0; 9,6)$.

б) Для функции $y = -0,7x - 28$:

1. Находим точку пересечения с осью $Oy$. Подставляем $x=0$:
$y = -0,7 \cdot 0 - 28 = -28$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -28)$.

2. Находим точку пересечения с осью $Ox$. Подставляем $y=0$:
$0 = -0,7x - 28$
$0,7x = -28$
$x = \frac{-28}{0,7} = -\frac{280}{7} = -40$.
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-40; 0)$.

Ответ: $(-40; 0)$ и $(0; -28)$.

в) Для функции $y = 1,2x + 6$:

1. Находим точку пересечения с осью $Oy$. Подставляем $x=0$:
$y = 1,2 \cdot 0 + 6 = 6$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 6)$.

2. Находим точку пересечения с осью $Ox$. Подставляем $y=0$:
$0 = 1,2x + 6$
$-1,2x = 6$
$x = \frac{6}{-1,2} = -\frac{60}{12} = -5$.
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-5; 0)$.

Ответ: $(-5; 0)$ и $(0; 6)$.

г) Для функции $y = -5x + 2$:

1. Находим точку пересечения с осью $Oy$. Подставляем $x=0$:
$y = -5 \cdot 0 + 2 = 2$.
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 2)$.

2. Находим точку пересечения с осью $Ox$. Подставляем $y=0$:
$0 = -5x + 2$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5} = 0,4$.
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(0,4; 0)$.

Ответ: $(0,4; 0)$ и $(0; 2)$.