Номер 320, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 320, страница 79.

320. (Задача исследование.) Дана линейная функция у = kх + 4. При каком значении k график этой функции:

а) параллелен графику прямой пропорциональности у = −х;

б) не пересекает ось абсцисс;

в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;

г) проходит через точку пересечения графиков функций у = 12 − х и у = х + 4?

Обсудите ответы на поставленные вопросы.

а) Графики двух линейных функций параллельны, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью ординат различны. Угловой коэффициент функции $y = kx + 4$ равен $k$. Угловой коэффициент функции $y = -x$ (или $y = (-1)x + 0$) равен $-1$. Точки пересечения с осью $y$ (при $x=0$) равны $4$ и $0$, они различны. Следовательно, для параллельности графиков необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были равны: $k = -1$.
Ответ: $k = -1$.

б) График функции не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$), если он параллелен этой оси и не совпадает с ней. Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной, и её угловой коэффициент равен нулю. Для функции $y = kx + 4$ это условие выполняется при $k = 0$. В этом случае уравнение функции принимает вид $y = 0 \cdot x + 4$, то есть $y = 4$. График $y=4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$ и не имеющая общих точек с осью абсцисс.
Ответ: $k = 0$.

в) Пересечение графика функции с осью абсцисс происходит в точке, где ордината $y=0$. По условию, абсцисса ($x$) этой точки равна 3. Это означает, что график функции $y = kx + 4$ проходит через точку с координатами $(3, 0)$. Подставим эти значения в уравнение функции:
$0 = k \cdot 3 + 4$
Решим уравнение относительно $k$:
$3k = -4$
$k = -\frac{4}{3}$
Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$. Для этого приравняем выражения для $y$:
$12 - x = x + 4$
$12 - 4 = x + x$
$8 = 2x$
$x = 4$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=4$ в любое из уравнений, например, в $y = x + 4$:
$y = 4 + 4 = 8$
Таким образом, точка пересечения графиков — это точка с координатами $(4, 8)$.
По условию, график функции $y = kx + 4$ проходит через эту точку. Подставим координаты $(4, 8)$ в уравнение $y = kx + 4$:
$8 = k \cdot 4 + 4$
Решим полученное уравнение:
$8 - 4 = 4k$
$4 = 4k$
$k = 1$
Ответ: $k = 1$.