Номер 314, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. § 5. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 314, страница 79.

314. Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Зависимость периметра прямоугольника от его длины
Обозначим длину прямоугольника как $x$ см. Согласно условию, ширина на 3 см меньше длины, следовательно, ширина равна $(x - 3)$ см.
Периметр прямоугольника ($P$) находится по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$.
Подставим в формулу наши значения для длины и ширины:
$P(x) = 2 \cdot (x + (x - 3))$
Упростим выражение в скобках:
$P(x) = 2 \cdot (2x - 3)$
Раскроем скобки:
$P(x) = 4x - 6$
Ответ: $P(x) = 4x - 6$.

Зависимость площади прямоугольника от длины
Площадь прямоугольника ($S$) находится по формуле $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$.
Подставим в формулу наши значения для длины ($x$) и ширины ($(x - 3)$):
$S(x) = x \cdot (x - 3)$
Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член в скобках:
$S(x) = x^2 - 3x$
Ответ: $S(x) = x^2 - 3x$.

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа.
Сравним наши формулы с общим видом линейной функции:
1. Зависимость периметра: $P(x) = 4x - 6$. Эта формула полностью соответствует виду $y = kx + b$, где $k=4$ и $b=-6$. Значит, это линейная функция.
2. Зависимость площади: $S(x) = x^2 - 3x$. Эта формула содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$), что не соответствует виду линейной функции. Такая функция называется квадратичной.
Ответ: линейной функцией является зависимость периметра прямоугольника от его длины.