Номер 327, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 2. Функции. Параграф 5. Линейная функция. 16. Линейная функция и её график - номер 327, страница 80.

Условие.

327. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

а) у = 10x − 8 и у = −3x + 5;
б) у = 1 + 2,5x и у = 1,5x − 18;

в) у = 14x и у = x + 26;
г) у = −5x + 16 и у = −6.

Решение 1.

а) у = 10x − 8 и у = −3x + 5;
10x − 8 = −3x + 5;
10x + 3x = 5 + 8;
13x = 13;
x = 1;
у = 10 ⋅ 1 - 8 = 2.

Ответ: (1; 2).

б) у = 14 + 2,5x и у = 1,5x − 18;
14 + 2,5x = 1,5x − 18;
-2,5x - 1,5x = -18 - 14;
-4x = -32;
x = 8;
у = 14 - 2,5 ⋅ 8 = 14 - 20 = -6.

Ответ: (8; -6).

в) у = 14x и у = x + 26;
14x = x + 26;
14x - x = 26;
13x = 26;
x = 2;
у = 14 ⋅ 2 = 28.

Ответ: (2; 28).

г) у = −5x + 16 и у = −6;
−5x + 16 = −6;
-5x = -6 - 16;
-5x = -22;
$\mathrm{x}=\frac{22}{5};$
x = 4,4;
у = -5 ⋅ 4,4 + 16 = -22 + 16 = -6.

Ответ: (4,4; -6).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения координат точки пересечения графиков двух линейных функций необходимо решить систему уравнений, которую они составляют. Поскольку в точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны, мы можем приравнять правые части уравнений и найти значение $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем соответствующее значение $y$.

а) Даны функции $y = 10x - 8$ и $y = -3x + 5$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$10x - 8 = -3x + 5$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$10x + 3x = 5 + 8$

$13x = 13$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{13}{13} = 1$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив значение $x=1$ в любое из данных уравнений. Используем первое уравнение:

$y = 10(1) - 8 = 10 - 8 = 2$

Проверим, подставив $x=1$ во второе уравнение:

$y = -3(1) + 5 = -3 + 5 = 2$

Значения совпадают, значит, точка найдена верно.

Ответ: $(1; 2)$

б) Даны функции $y = 14 - 2,5x$ и $y = 1,5x - 18$.

Приравняем правые части уравнений:

$14 - 2,5x = 1,5x - 18$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы работать с положительными коэффициентами при $x$:

$14 + 18 = 1,5x + 2,5x$

$32 = 4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{32}{4} = 8$

Теперь найдем $y$, подставив $x=8$ во второе уравнение:

$y = 1,5(8) - 18 = 12 - 18 = -6$

Для проверки подставим $x=8$ в первое уравнение:

$y = 14 - 2,5(8) = 14 - 20 = -6$

Значения совпадают.

Ответ: $(8; -6)$

в) Даны функции $y = 14x$ и $y = x + 26$.

Приравняем правые части уравнений:

$14x = x + 26$

Решим уравнение относительно $x$:

$14x - x = 26$

$13x = 26$

$x = \frac{26}{13} = 2$

Найдем $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение:

$y = 14(2) = 28$

Проверим с помощью второго уравнения:

$y = 2 + 26 = 28$

Значения совпадают.

Ответ: $(2; 28)$

г) Даны функции $y = -5x + 16$ и $y = -6$.

Вторая функция представляет собой горизонтальную прямую, где $y$ всегда равен $-6$. Чтобы найти точку пересечения, подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$-6 = -5x + 16$

Решим уравнение относительно $x$:

$5x = 16 + 6$

$5x = 22$

$x = \frac{22}{5} = 4,4$

Ордината точки пересечения уже известна: $y=-6$.

Ответ: $(4,4; -6)$