Страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

323. В какой точке пересекает ось х график функции, заданной формулой:

а) у = 0,4х − 12; б) у = 13х + 8?

Чтобы найти точку, в которой график функции пересекает ось x (ось абсцисс), нужно учесть, что в любой точке на этой оси координата y (ордината) равна нулю. Следовательно, для нахождения искомой точки нужно в уравнении функции подставить $y=0$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

а) $y = 0,4x - 12$

Подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = 0,4x - 12$
Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем 12 в левую часть с противоположным знаком:
$12 = 0,4x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 0,4:
$x = \frac{12}{0,4}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x = \frac{12 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{120}{4}$
$x = 30$
Таким образом, график функции пересекает ось x в точке, где $x = 30$ и $y = 0$. Координаты этой точки — $(30, 0)$.
Ответ: $(30, 0)$

б) $y = \frac{1}{3}x + 8$

Аналогично, подставим $y = 0$ в уравнение:
$0 = \frac{1}{3}x + 8$
Перенесем 8 в левую часть уравнения:
$-8 = \frac{1}{3}x$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:
$-8 \cdot 3 = x$
$x = -24$
Следовательно, точка пересечения графика с осью x имеет координаты $(-24, 0)$.
Ответ: $(-24, 0)$

324. Не выполняя построения графика функции у = 1,2х − 7, выясните, проходит ли этот график через точку:

а) А(100; 113); б) В(−15; −25);в) С(−10; 5).

Чтобы определить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Дана функция $y = 1,2x - 7$.

а) Проверим, проходит ли график через точку А(100; 113).
Подставим координаты точки А, где $x = 100$ и $y = 113$, в уравнение функции:
$113 = 1,2 \cdot 100 - 7$
$113 = 120 - 7$
$113 = 113$
Получилось верное равенство, следовательно, график функции проходит через точку А.
Ответ: да, проходит.

б) Проверим, проходит ли график через точку B(–15; –25).
Подставим координаты точки B, где $x = -15$ и $y = -25$, в уравнение функции:
$-25 = 1,2 \cdot (-15) - 7$
$-25 = -18 - 7$
$-25 = -25$
Получилось верное равенство, следовательно, график функции проходит через точку B.
Ответ: да, проходит.

в) Проверим, проходит ли график через точку C(–10; 5).
Подставим координаты точки C, где $x = -10$ и $y = 5$, в уравнение функции:
$5 = 1,2 \cdot (-10) - 7$
$5 = -12 - 7$
$5 = -19$
Получилось неверное равенство, следовательно, график функции не проходит через точку C.
Ответ: нет, не проходит.

325. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций у = 6, у = 3,2, у = −1, у = −5, у = 0.

Для построения графиков функций, заданных уравнениями вида $y = c$, где $c$ — это постоянное число, необходимо понять их геометрический смысл. Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox), которая пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $(0, c)$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно $c$.

Рассмотрим построение каждой из заданных функций в одной координатной плоскости:

1. График функции $y = 6$. Это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату, равную 6. Она проходит через точку $(0, 6)$ на оси Oy и параллельна оси Ox.

2. График функции $y = 3,2$. Это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату, равную 3,2. Она проходит через точку $(0; 3,2)$ на оси Oy, которая находится чуть выше отметки 3. Прямая также параллельна оси Ox.

3. График функции $y = -1$. Это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату, равную -1. Она проходит через точку $(0, -1)$ на оси Oy и параллельна оси Ox.

4. График функции $y = -5$. Это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату, равную -5. Она проходит через точку $(0, -5)$ на оси Oy и параллельна оси Ox.

5. График функции $y = 0$. Это горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату, равную 0. Эта прямая полностью совпадает с осью абсцисс (осью Ox).

Ниже представлен итоговый график, на котором в одной координатной плоскости изображены все пять прямых.

Ответ: Графиками заданных функций являются пять горизонтальных прямых, параллельных оси Ox. Прямая $y=6$ проходит через точку $(0, 6)$; прямая $y=3,2$ проходит через точку $(0; 3,2)$; прямая $y=-1$ проходит через точку $(0, -1)$; прямая $y=-5$ проходит через точку $(0, -5)$; прямая $y=0$ совпадает с осью Ox.

326. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций у = −2, у = −1,9, у = 1,6, у = 2.

Для построения графиков заданных функций необходимо проанализировать их вид. Все четыре функции, $y = -2$, $y = -1{,}9$, $y = 1{,}6$ и $y = 2$, представляют собой частный случай линейной функции, а именно функции вида $y = k$, где $k$ — некоторое постоянное число.

Графиком функции $y = k$ является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку с координатами $(0, k)$ на оси ординат (оси $Oy$). Для каждой точки на этой прямой ордината (координата $y$) постоянна и равна $k$, в то время как абсцисса (координата $x$) может принимать любое действительное значение.

Рассмотрим построение каждого графика в отдельности.

y = -2

Чтобы построить график функции $y = -2$, заметим, что значение $y$ не зависит от $x$ и всегда равно -2. Множество всех точек на плоскости, у которых ордината равна -2, образует прямую, параллельную оси абсцисс $Ox$ и проходящую через точку $(0, -2)$ на оси ординат $Oy$.

Ответ: Графиком функции $y = -2$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -2)$.

y = -1,9

Аналогично, для функции $y = -1{,}9$ значение $y$ постоянно и равно -1,9 для любого $x$. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -1{,}9)$. Эта линия будет расположена чуть выше прямой $y = -2$.

Ответ: Графиком функции $y = -1{,}9$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -1{,}9)$.

y = 1,6

Для функции $y = 1{,}6$ значение $y$ постоянно и равно 1,6. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 1{,}6)$. Эта линия расположена выше оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции $y = 1{,}6$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 1{,}6)$.

y = 2

Для функции $y = 2$ значение $y$ постоянно и равно 2. Графиком является прямая, параллельная оси $Ox$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 2)$. Эта линия будет расположена чуть выше прямой $y = 1{,}6$.

Ответ: Графиком функции $y = 2$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$.

Все четыре графика представляют собой семейство параллельных прямых. Ниже представлено их построение в одной координатной плоскости.

327. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

Для нахождения координат точки пересечения графиков двух линейных функций необходимо решить систему уравнений, которую они составляют. Поскольку в точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны, мы можем приравнять правые части уравнений и найти значение $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем соответствующее значение $y$.

а) Даны функции $y = 10x - 8$ и $y = -3x + 5$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$10x - 8 = -3x + 5$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$10x + 3x = 5 + 8$

$13x = 13$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{13}{13} = 1$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив значение $x=1$ в любое из данных уравнений. Используем первое уравнение:

$y = 10(1) - 8 = 10 - 8 = 2$

Проверим, подставив $x=1$ во второе уравнение:

$y = -3(1) + 5 = -3 + 5 = 2$

Значения совпадают, значит, точка найдена верно.

Ответ: $(1; 2)$

б) Даны функции $y = 14 - 2,5x$ и $y = 1,5x - 18$.

Приравняем правые части уравнений:

$14 - 2,5x = 1,5x - 18$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы работать с положительными коэффициентами при $x$:

$14 + 18 = 1,5x + 2,5x$

$32 = 4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{32}{4} = 8$

Теперь найдем $y$, подставив $x=8$ во второе уравнение:

$y = 1,5(8) - 18 = 12 - 18 = -6$

Для проверки подставим $x=8$ в первое уравнение:

$y = 14 - 2,5(8) = 14 - 20 = -6$

Значения совпадают.

Ответ: $(8; -6)$

в) Даны функции $y = 14x$ и $y = x + 26$.

Приравняем правые части уравнений:

$14x = x + 26$

Решим уравнение относительно $x$:

$14x - x = 26$

$13x = 26$

$x = \frac{26}{13} = 2$

Найдем $y$, подставив $x=2$ в первое уравнение:

$y = 14(2) = 28$

Проверим с помощью второго уравнения:

$y = 2 + 26 = 28$

Значения совпадают.

Ответ: $(2; 28)$

г) Даны функции $y = -5x + 16$ и $y = -6$.

Вторая функция представляет собой горизонтальную прямую, где $y$ всегда равен $-6$. Чтобы найти точку пересечения, подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$-6 = -5x + 16$

Решим уравнение относительно $x$:

$5x = 16 + 6$

$5x = 22$

$x = \frac{22}{5} = 4,4$

Ордината точки пересечения уже известна: $y=-6$.

Ответ: $(4,4; -6)$

328. График функции у = −1,4х + b проходит через точку (−4; 10). Найдите число b.

Нам дано уравнение линейной функции $y = -1,4x + b$. Также известно, что график этой функции проходит через точку с координатами $(-4; 10)$. Это означает, что если мы подставим значения $x = -4$ и $y = 10$ в уравнение, оно будет верным.

Подставим координаты точки $(-4; 10)$ в уравнение функции:
$y = -1,4x + b$
$10 = -1,4 \cdot (-4) + b$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $b$. Сначала выполним умножение:
$-1,4 \cdot (-4) = 5,6$

Подставим результат обратно в уравнение:
$10 = 5,6 + b$

Чтобы найти $b$, нужно из 10 вычесть 5,6:
$b = 10 - 5,6$
$b = 4,4$

Следовательно, искомое число $b$ равно 4,4.

Ответ: $4,4$

329. График функции у = 5,2х + b проходит через точку (−5; 1). Найдите число b.

Поскольку график функции $y = 5,2x + b$ проходит через точку с координатами $(-5; 1)$, то при подстановке этих координат в уравнение функции мы получим верное равенство. Координата $x$ точки равна $-5$, а координата $y$ равна $1$.

Подставим значения $x = -5$ и $y = 1$ в уравнение функции:

$1 = 5,2 \cdot (-5) + b$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $b$. Сначала выполним умножение в правой части уравнения:

$5,2 \cdot (-5) = -26$

Теперь уравнение выглядит так:

$1 = -26 + b$

Чтобы найти $b$, перенесем число $-26$ в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$b = 1 + 26$

$b = 27$

Ответ: 27

330. График функции y = kx + 212 проходит через точку (8; −38). Найдите коэффициент k.

По условию, график функции $y = kx + 2\frac{5}{8}$ проходит через точку с координатами $(8; -\frac{3}{8})$. Это означает, что если подставить значения $x=8$ и $y=-\frac{3}{8}$ в уравнение функции, то получится верное равенство.

Выполним подстановку координат точки в уравнение:
$-\frac{3}{8} = k \cdot 8 + 2\frac{5}{8}$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $2\frac{5}{8}$ в неправильную дробь:
$2\frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{16 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

Теперь уравнение имеет вид:
$-\frac{3}{8} = 8k + \frac{21}{8}$

Выразим из уравнения слагаемое $8k$. Для этого перенесём $\frac{21}{8}$ в левую часть, изменив знак на противоположный:
$8k = -\frac{3}{8} - \frac{21}{8}$

Выполним вычитание дробей в правой части. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$8k = \frac{-3 - 21}{8}$
$8k = \frac{-24}{8}$

Упростим правую часть уравнения:
$8k = -3$

Чтобы найти коэффициент $k$, разделим обе части уравнения на 8:
$k = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-\frac{3}{8}$

331. График функции у = kx − 234 проходит через точку (5; 114). Найдите коэффициент k.

Условие, что график функции $y = kx - 2\frac{3}{4}$ проходит через точку с координатами $(5; 1\frac{1}{4})$, означает, что при подстановке значений $x=5$ и $y=1\frac{1}{4}$ в уравнение функции мы получим верное равенство.

Выполним подстановку:

$1\frac{1}{4} = k \cdot 5 - 2\frac{3}{4}$

Для решения уравнения преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Подставим полученные дроби обратно в уравнение:

$\frac{5}{4} = 5k - \frac{11}{4}$

Теперь выразим $k$. Для этого перенесем все члены без $k$ в одну сторону, а члены с $k$ — в другую. Перенесем $-\frac{11}{4}$ в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{5}{4} + \frac{11}{4} = 5k$

Сложим дроби в левой части:

$\frac{5+11}{4} = 5k$

$\frac{16}{4} = 5k$

Упростим левую часть:

$4 = 5k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 5:

$k = \frac{4}{5}$

Этот результат можно также записать в виде десятичной дроби: $k = 0.8$.

Ответ: $k = \frac{4}{5}$.

332. На рисунке 51 изображён график одной из линейных функций. Укажите эту функцию.

Чтобы определить, какая из предложенных функций изображена на графике, найдём уравнение этой прямой. Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения графика с осью $y$.

Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ выберем на графике две точки с точными целочисленными координатами. Например, хорошо видны точки с координатами (3; 4) и (7; 0).

Сначала вычислим угловой коэффициент $k$ по формуле, используя координаты двух точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты наших точек (3; 4) и (7; 0):

$k = \frac{0 - 4}{7 - 3} = \frac{-4}{4} = -1$.

Теперь уравнение прямой можно записать в виде $y = -1 \cdot x + b$, или $y = -x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, подставим координаты одной из точек, например (7; 0), в полученное уравнение:

$0 = -7 + b$

Из этого уравнения находим, что $b = 7$.

Таким образом, искомое уравнение функции имеет вид $y = -x + 7$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4. $y = -x + 7$

333. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

$\mathrm{а}) \mathrm{у} =-\mathrm{х} + 1;$

$\mathrm{б}) \mathrm{у}=\frac{1}{3}\mathrm{x} -1;$

$\mathrm{в}) \mathrm{у} = \frac{1}{2}\mathrm{х} -1;$

$\mathrm{г}) \mathrm{у}=-\frac{1}{2}\mathrm{х} +1,25.$

Для установления соответствия между графиками и формулами линейных функций вида $y = kx + b$ проанализируем каждую формулу и каждый график.

Ключевые параметры для анализа:

• Угловой коэффициент $k$: если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх при движении слева направо); если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз). Чем больше модуль $|k|$, тем "круче" наклон графика.
• Коэффициент $b$: это ордината точки пересечения графика с осью OY, то есть график проходит через точку $(0, b)$.

а)

Функция задана формулой $y = -x + 1$.

Здесь угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Коэффициент $b = 1$, значит, график пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, 1)$.

Для проверки найдем еще одну точку. При $x = 1$, $y = -1 + 1 = 0$. График проходит через точку $(1, 0)$.

Данным характеристикам соответствует график 4: он убывает и проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Ответ: 4.

б)

Функция задана формулой $y = \frac{1}{3}x - 1$.

Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Коэффициент $b = -1$, значит, график пересекает ось OY в точке $(0, -1)$.

Для проверки найдем еще одну точку. При $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0$. График проходит через точку $(3, 0)$.

Данным характеристикам соответствует график 3: он возрастает и проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

Ответ: 3.

в)

Функция задана формулой $y = \frac{1}{2}x - 1$.

Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Коэффициент $b = -1$, значит, график пересекает ось OY в точке $(0, -1)$.

Для проверки найдем еще одну точку. При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 - 1 = 1 - 1 = 0$. График проходит через точку $(2, 0)$.

Данным характеристикам соответствует график 1: он возрастает и проходит через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$.

Ответ: 1.

г)

Функция задана формулой $y = -\frac{1}{2}x + 1,25$.

Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Коэффициент $b = 1,25$, значит, график пересекает ось OY в точке $(0; 1,25)$. Эта точка находится между 1 и 2 по оси Y.

Для проверки найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для этого приравняем $y$ к нулю: $0 = -\frac{1}{2}x + 1,25 \implies \frac{1}{2}x = 1,25 \implies x = 2,5$. График проходит через точку $(2,5; 0)$.

Данным характеристикам соответствует график 2: он убывает и проходит через точки $(0; 1,25)$ и $(2,5; 0)$.

Ответ: 2.