Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

306. Для каждого графика прямой пропорциональности на рисунке 36 на с. 71 напишите соответствующую формулу.

Все графики на рисунке являются графиками прямой пропорциональности. Общая формула прямой пропорциональности: $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности (угловой коэффициент). Все графики проходят через начало координат, точку $(0, 0)$. Чтобы найти формулу для каждого графика, необходимо определить значение коэффициента $k$. Для этого выберем на каждом графике одну целочисленную точку $(x, y)$, отличную от начала координат, и вычислим $k$ по формуле $k = \frac{y}{x}$.

I
График I проходит через точку с координатами $(2, 6)$.
Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x} = \frac{6}{2} = 3$.
Таким образом, формула для этого графика: $y = 3x$.
Ответ: $y = 3x$

II
График II проходит через точку с координатами $(6, 2)$.
Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, формула для этого графика: $y = \frac{1}{3}x$.
Ответ: $y = \frac{1}{3}x$

III
График III проходит через точку с координатами $(4, -4)$.
Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x} = \frac{-4}{4} = -1$.
Таким образом, формула для этого графика: $y = -x$.
Ответ: $y = -x$

IV
График IV проходит через точку с координатами $(2, -6)$.
Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x} = \frac{-6}{2} = -3$.
Таким образом, формула для этого графика: $y = -3x$.
Ответ: $y = -3x$

307. Турист вышел из города и через х ч находился на расстоянии у км от него. Зависимость у от х показана в таблице:

В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость у от х.

Отметьте точки в координатной плоскости и покажите, что они расположены почти на прямой.

Для решения задачи возьмем данные из таблицы и представим их в виде пар координат $(x; y)$: $(0; 0)$, $(0,5; 2,1)$, $(1; 4,0)$, $(2; 7,9)$, $(2,5; 10,1)$, $(3; 12,1)$, $(3,5; 14)$, $(4; 16,1)$.

Построим систему координат, где по оси абсцисс (горизонтальной оси) отложим время $x$ в часах, а по оси ординат (вертикальной оси) — расстояние $y$ в километрах. Отметим на этой плоскости указанные точки.

Если приложить линейку к построенным точкам, можно увидеть, что все они лежат очень близко к одной прямой линии. Особенно заметно, что эта прямая проходит через начало координат — точку $(0; 0)$. Это означает, что зависимость расстояния от времени является практически линейной.

Ответ: Построенные на координатной плоскости точки лежат почти на одной прямой, проходящей через начало координат.

Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость y от x.

Так как точки лежат почти на прямой, проходящей через начало координат, зависимость между $y$ и $x$ можно считать прямой пропорциональностью. Формула такой зависимости имеет вид $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. В данном контексте $k$ представляет собой среднюю скорость туриста.

Чтобы найти приближенное значение коэффициента $k$, можно вычислить отношение $y/x$ для нескольких пар точек из таблицы (кроме $(0;0)$):

• Для точки $(0,5; 2,1)$: $k = \frac{2,1}{0,5} = 4,2$
• Для точки $(1; 4,0)$: $k = \frac{4,0}{1} = 4,0$
• Для точки $(2; 7,9)$: $k = \frac{7,9}{2} = 3,95$
• Для точки $(3,5; 14)$: $k = \frac{14}{3,5} = 4,0$
• Для точки $(4; 16,1)$: $k = \frac{16,1}{4} = 4,025$

Все полученные значения коэффициента $k$ очень близки к числу 4. Поэтому в качестве приближенного значения можно взять $k = 4$. Таким образом, мы получаем формулу, которая приближенно выражает зависимость $y$ от $x$. Это означает, что турист двигался с постоянной скоростью примерно 4 км/ч.

Ответ: $y \approx 4x$.

308. На рисунке 37 построены графики движения пешехода (отрезок ОВ) и велосипедиста (отрезок ОА). С помощью графиков ответьте на вопросы:

а) какое время был в пути пешеход и какое время − велосипедист;

б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;

в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой − велосипедист;

г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?

а) какое время был в пути пешеход и какое время — велосипедист;

Чтобы определить время в пути для пешехода и велосипедиста, необходимо посмотреть на конечные точки их графиков на оси времени (ось t, измеряется в часах).

График движения пешехода представлен отрезком OB. Движение заканчивается в точке B, которой соответствует значение 4 на оси времени. Следовательно, пешеход был в пути 4 часа.

График движения велосипедиста представлен отрезком OA. Движение заканчивается в точке A, которой соответствует значение 2 на оси времени. Следовательно, велосипедист был в пути 2 часа.

Ответ: пешеход был в пути 4 ч, а велосипедист — 2 ч.

б) какой путь проделал пешеход и какой путь проехал велосипедист;

Для определения пройденного пути посмотрим на конечные точки графиков на оси расстояния (ось s, измеряется в километрах).

Конечная точка графика движения пешехода — B. Ее координата на оси расстояния равна 20. Это означает, что пешеход проделал путь 20 км.

Конечная точка графика движения велосипедиста — A. Ее координата на оси расстояния равна 30. Это означает, что велосипедист проехал 30 км.

Ответ: пешеход проделал путь 20 км, а велосипедист — 30 км.

в) с какой скоростью двигался пешеход и с какой — велосипедист;

Скорость ($v$) можно рассчитать по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время в пути.

Для пешехода: путь $s_{пеш} = 20$ км, время $t_{пеш} = 4$ ч.
Скорость пешехода: $v_{пеш} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

Для велосипедиста: путь $s_{вел} = 30$ км, время $t_{вел} = 2$ ч.
Скорость велосипедиста: $v_{вел} = \frac{30 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 15$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 5 км/ч, скорость велосипедиста — 15 км/ч.

г) во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?

Найдем путь, который проделал каждый из них за 2 часа, используя графики.

Из графика (точка А) видно, что за время $t = 2$ ч велосипедист проехал путь $s_{вел} = 30$ км.

Теперь найдем путь пешехода за то же время. На графике движения пешехода (отрезок OB) найдем точку, соответствующую времени $t = 2$ ч. Этой точке на оси расстояния соответствует значение $s_{пеш} = 10$ км.

Чтобы узнать, во сколько раз путь велосипедиста больше, разделим расстояние, которое проехал велосипедист, на расстояние, которое прошел пешеход:
$\frac{s_{вел}}{s_{пеш}} = \frac{30 \text{ км}}{10 \text{ км}} = 3$.

Ответ: в 3 раза.

309. На рисунке 38 изображён график зависимости удлинения у стальной проволоки от силы F, под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы F, при которых зависимость удлинения проволоки от силы F является прямой пропорциональностью.

Зависимость удлинения проволоки y от силы F является прямой пропорциональностью, если она описывается формулой $y = k \cdot F$, где k — постоянный коэффициент. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (точку (0; 0)).

Рассмотрим предоставленный график. Он состоит из двух участков:

1. На первом участке, при изменении силы F от 0 Н до 1000 Н, график представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это означает, что на данном интервале удлинение прямо пропорционально приложенной силе. Этот участок соответствует закону Гука, описывающему упругую деформацию.

2. На втором участке, при силе $F > 1000$ Н, график становится горизонтальной прямой на уровне $y = 8$ мм. Это означает, что удлинение перестает изменяться с ростом силы, и, следовательно, зависимость уже не является прямой пропорциональностью. Этот участок соответствует пределу упругости или пластической деформации.

Таким образом, границы изменения силы F, при которых зависимость удлинения проволоки от силы является прямой пропорциональностью, находятся в диапазоне от 0 Н до 1000 Н включительно.

Ответ: $0 \le F \le 1000$ Н.