Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

297. Велосипедист движется равномерно со скоростью 12 км/ч. Напишите формулу, выражающую зависимость пройденного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах). Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?

Для решения задачи воспользуемся основной формулой для нахождения пути при равномерном движении. Путь $s$ равен произведению скорости $v$ на время движения $t$.

Формула движения: $s = v \cdot t$.

По условию, скорость велосипедиста $v$ постоянна и равна 12 км/ч. Подставим это значение в формулу:

$s = 12 \cdot t$

Это и есть искомая формула, которая выражает зависимость пройденного пути $s$ (в километрах) от времени движения $t$ (в часах).

Теперь определим, является ли эта зависимость прямой пропорциональностью.

Прямой пропорциональностью называется зависимость между двумя переменными, которую можно выразить формулой вида $y = kx$, где $k$ — некоторое число, не равное нулю, называемое коэффициентом пропорциональности.

Наша формула $s = 12t$ полностью соответствует виду $y = kx$. В ней:

• $s$ выступает в роли зависимой переменной $y$.
• $t$ выступает в роли независимой переменной $x$.
• Число 12 является постоянным коэффициентом пропорциональности $k$.

Так как зависимость пути от времени описывается формулой $s = 12t$, где коэффициент 12 постоянен и не равен нулю, то эта зависимость является прямой пропорциональностью. Коэффициент пропорциональности (скорость) показывает, что при увеличении времени в несколько раз, пройденный путь увеличится во столько же раз.

Ответ: формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени движения, имеет вид $s = 12t$. Эта зависимость является прямой пропорциональностью.

298. Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:

Прямая пропорциональность — это функциональная зависимость, при которой одна переменная ($y$) получается умножением другой переменной ($x$) на постоянное число ($k$), не равное нулю. Формула прямой пропорциональности имеет вид: $y = kx$. Проанализируем каждую из предложенных функций:

а) Дана функция $y = -5x$.
Эта функция соответствует общей формуле $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = -5$. Поскольку $k$ — это константа, не равная нулю, данная функция является прямой пропорциональностью.
Ответ: да, является.

б) Дана функция $y = 5x^2$.
Эта функция не является прямой пропорциональностью, так как независимая переменная $x$ возведена в степень 2, а не 1. Зависимость $y$ от $x$ здесь квадратичная, а не прямо пропорциональная.
Ответ: нет, не является.

в) Дана функция $y = \frac{x}{5}$.
Эту формулу можно переписать в виде $y = \frac{1}{5}x$. В таком виде она полностью соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$, где коэффициент $k = \frac{1}{5}$. Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: да, является.

г) Дана функция $y = x + 5$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k=1$ и $b=5$. Для того чтобы функция была прямой пропорциональностью, необходимо, чтобы слагаемое $b$ было равно нулю (то есть, чтобы график проходил через начало координат). В данном случае $b=5 \neq 0$, поэтому функция не является прямой пропорциональностью.
Ответ: нет, не является.

299. Прямая пропорциональность задана формулой у = −16x. Найдите значение у, соответствующее х, равному −9; 0; 1; 4.

Чтобы найти значение y, соответствующее каждому значению x, необходимо подставить значение x в формулу прямой пропорциональности $y=\frac{1}{6}x$.

При x = -9:

Подставляем значение в формулу:

$y = \frac{1}{6} \cdot (-9) = -\frac{9}{6}$

Сокращаем дробь на 3 и представляем в виде десятичной дроби:

$-\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

При x = 0:

Подставляем значение в формулу:

$y = \frac{1}{6} \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$.

При x = 1:

Подставляем значение в формулу:

$y = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

При x = 4:

Подставляем значение в формулу:

$y = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{4}{6}$

Сокращаем дробь на 2:

$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

300. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой:

Все представленные функции являются прямой пропорциональностью вида $y = kx$. Графиком такой функции является прямая линия, которая всегда проходит через начало координат, то есть через точку O(0; 0). Для построения графика достаточно найти координаты еще одной любой точки, принадлежащей этой прямой, а затем провести прямую через эти две точки.

а) $y = 3x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=3$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку: при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем точку A(1; 3). Соединяем точки O и A прямой. Так как $k=3 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 3).

б) $y = -1,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-1,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку, выбрав удобное значение $x$, например $x = 2$. Тогда $y = -1,5 \cdot 2 = -3$. Получаем точку B(2; -3). Соединяем точки O и B прямой. Так как $k=-1,5 < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; -3).

в) $y = x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=1$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку: при $x = 2$, $y = 2$. Получаем точку C(2; 2). Соединяем точки O и C прямой. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных углов.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; 2), которая является биссектрисой I и III координатных углов.

г) $y = -x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-1$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку: при $x = 2$, $y = -2$. Получаем точку D(2; -2). Соединяем точки O и D прямой. Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных углов.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; -2), которая является биссектрисой II и IV координатных углов.

д) $y = 2,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=2,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку, выбрав удобное значение $x$, например $x = 2$. Тогда $y = 2,5 \cdot 2 = 5$. Получаем точку E(2; 5). Соединяем точки O и E прямой. Так как $k=2,5 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; 5).

е) $y = -4,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-4,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Найдем вторую точку, выбрав удобное значение $x$, например $x = 2$. Тогда $y = -4,5 \cdot 2 = -9$. Получаем точку F(2; -9). Соединяем точки O и F прямой. Так как $k=-4,5 < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции — это прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; -9).

301. (Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции у = 9x:

а) относительно оси х; б) относительно оси у.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

а)

Чтобы найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y=9x$ относительно оси $x$ (оси абсцисс), нужно учесть, что при таком виде симметрии каждая точка с координатами $(x_0, y_0)$ на исходном графике переходит в точку с координатами $(x_0, -y_0)$. Это равносильно замене переменной $y$ на $-y$ в исходном уравнении.

Исходная формула: $y = 9x$.

Выполним замену $y$ на $-y$:

$-y = 9x$

Теперь, чтобы выразить $y$, умножим обе части равенства на $-1$:

$y = -9x$

Полученная функция $y = -9x$ является прямой пропорциональностью с коэффициентом $k=-9$.

Ответ: $y = -9x$

б)

Чтобы найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y=9x$ относительно оси $y$ (оси ординат), нужно учесть, что при таком виде симметрии каждая точка с координатами $(x_0, y_0)$ на исходном графике переходит в точку с координатами $(-x_0, y_0)$. Это равносильно замене переменной $x$ на $-x$ в исходном уравнении.

Исходная формула: $y = 9x$.

Выполним замену $x$ на $-x$:

$y = 9(-x)$

Упростим полученное выражение:

$y = -9x$

Полученная функция $y = -9x$ также является прямой пропорциональностью. Результаты для симметрии относительно обеих осей совпадают, так как график прямой пропорциональности, проходящий через начало координат, симметричен относительно начала координат (функция является нечётной).

Ответ: $y = -9x$

302. Постройте график функции, заданной формулой у = −0,5х. С помощью графика найдите:

а) значение у, соответствующее х, равному −2; 4; 1;

б) при каком х значение у равно −1; 0; 2,5.

Существует ли такое х, при котором у = −150? Если существует, то вычислите его.

Для построения графика функции $y = -0,5x$ необходимо определить, что это за функция. Это линейная функция вида $y=kx$, где $k=-0,5$. Её график — это прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек.

Найдем координаты двух точек:

1. Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку с координатами $(0; 0)$.
2. Если $x = 2$, то $y = -0,5 \cdot 2 = -1$. Получаем точку с координатами $(2; -1)$.

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = -0,5x$.

Далее, используя построенный график, ответим на вопросы.

a) значение y, соответствующее x, равному –2; 4; 1;

Находим на оси абсцисс ($x$) заданные значения и определяем соответствующие им значения на оси ординат ($y$), двигаясь от оси $x$ к графику, а затем от графика к оси $y$.
- если $x = -2$, то на графике этому соответствует точка, ордината которой $y = 1$.
- если $x = 4$, то на графике этому соответствует точка, ордината которой $y = -2$.
- если $x = 1$, то на графике этому соответствует точка, ордината которой $y = -0,5$.

Ответ: при $x=-2$, $y=1$; при $x=4$, $y=-2$; при $x=1$, $y=-0,5$.

б) при каком x значение y равно –1; 0; 2,5.

Находим на оси ординат ($y$) заданные значения и определяем соответствующие им значения на оси абсцисс ($x$), двигаясь от оси $y$ к графику, а затем от графика к оси $x$.
- если $y = -1$, то на графике этому соответствует точка, абсцисса которой $x = 2$.
- если $y = 0$, то на графике этому соответствует точка, абсцисса которой $x = 0$.
- если $y = 2,5$, то на графике этому соответствует точка, абсцисса которой $x = -5$.

Ответ: при $y=-1$, $x=2$; при $y=0$, $x=0$; при $y=2,5$, $x=-5$.

Существует ли такое x, при котором y = –150? Если существует, то вычислите его.

Да, такое значение $x$ существует, так как область определения данной линейной функции — все действительные числа. Чтобы его найти, подставим значение $y = -150$ в исходную формулу:

$ -150 = -0,5x $

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на $-0,5$:

$ x = \frac{-150}{-0,5} $

$ x = 300 $

Проверка: $y = -0,5 \cdot 300 = -150$.

Ответ: да, существует, $x=300$.

303. Принадлежат ли графику функции у = −0,5х точки А(0; 1), В(−1; 0,5), D(2; −1), D(4; −2)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты (x и y) в уравнение функции $y = -0,5x$. Если равенство окажется верным, то точка принадлежит графику, если неверным — не принадлежит.

A(0; 1)

Подставим координаты точки A, где $x=0$ и $y=1$, в уравнение функции:

$1 = -0,5 \cdot 0$

$1 = 0$

Равенство неверное. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

B(-1; 0,5)

Подставим координаты точки B, где $x=-1$ и $y=0,5$, в уравнение функции:

$0,5 = -0,5 \cdot (-1)$

$0,5 = 0,5$

Равенство верное. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

C(2; -1)

Подставим координаты точки C, где $x=2$ и $y=-1$, в уравнение функции:

$-1 = -0,5 \cdot 2$

$-1 = -1$

Равенство верное. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

D(4; -2)

Подставим координаты точки D, где $x=4$ и $y=-2$, в уравнение функции:

$-2 = -0,5 \cdot 4$

$-2 = -2$

Равенство верное. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

304. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку А(3; 21). Проходит ли этот график через точку В(−7; −49); точку С(−5; 3,5); точку D(0,8; −5,6)?

Функция прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

По условию задачи, график этой функции проходит через точку A(3; 21). Мы можем найти коэффициент $k$, подставив координаты этой точки в уравнение:
$21 = k \cdot 3$
$k = \frac{21}{3}$
$k = 7$

Таким образом, уравнение данной прямой пропорциональности: $y = 7x$.

Теперь проверим, принадлежат ли указанные точки этому графику, подставляя их координаты в полученное уравнение. Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют уравнению, то есть при подстановке значения $x$ из координат точки в уравнение, мы получаем соответствующее значение $y$.

Проходит ли этот график через точку B(–7; –49)
Подставим $x = -7$ в наше уравнение:
$y = 7 \cdot (-7) = -49$.
Полученное значение $y = -49$ совпадает с ординатой точки B. Значит, график проходит через эту точку.
Ответ: да, проходит.

Проходит ли этот график через точку C(–5; 3,5)
Подставим $x = -5$ в наше уравнение:
$y = 7 \cdot (-5) = -35$.
Полученное значение $y = -35$ не совпадает с ординатой точки C, которая равна 3,5. Значит, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

Проходит ли этот график через точку D(0,8; –5,6)
Подставим $x = 0,8$ в наше уравнение:
$y = 7 \cdot 0,8 = 5,6$.
Полученное значение $y = 5,6$ не совпадает с ординатой точки D, которая равна –5,6. Значит, график не проходит через эту точку.
Ответ: нет, не проходит.

305. (Для работы в парах.) Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой:

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто − задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Обсудите, какой вид имеет график функции у = kx в заданиях д) и е).

Все представленные функции имеют вид $y = kx$, где $k$ — числовой коэффициент. Графиком такой функции всегда является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $O(0, 0)$). Расположение прямой в координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.

а) В функции $y = 1,7x$ коэффициент $k = 1,7$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. Это значит, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Прямая проходит через точки с координатами одного знака: если $x > 0$, то $y > 0$ (I координатная четверть), и если $x < 0$, то $y < 0$ (III координатная четверть).
Ответ: График функции $y = 1,7x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

б) В функции $y = -3,1x$ коэффициент $k = -3,1$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей. Это значит, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Прямая проходит через точки с координатами разных знаков: если $x > 0$, то $y < 0$ (IV координатная четверть), и если $x < 0$, то $y > 0$ (II координатная четверть).
Ответ: График функции $y = -3,1x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

в) В функции $y = 0,9x$ коэффициент $k = 0,9$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Как и в случае а), график расположен в I и III координатных четвертях. Он также представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
Ответ: График функции $y = 0,9x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

г) В функции $y = -2,3x$ коэффициент $k = -2,3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Как и в случае б), график расположен во II и IV координатных четвертях и проходит через начало координат.
Ответ: График функции $y = -2,3x$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

д) В общем случае для функции $y = kx$, где $k > 0$:
1. График — прямая линия.
2. При $x=0$, $y=k \cdot 0 = 0$, значит прямая проходит через начало координат.
3. Если $k > 0$, то при $x > 0$ будет $y > 0$, а при $x < 0$ будет $y < 0$. Это соответствует точкам в I и III координатных четвертях.
Ответ: График функции $y = kx$ при $k > 0$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

е) В общем случае для функции $y = kx$, где $k < 0$:
1. График — прямая линия, проходящая через начало координат.
2. Если $k < 0$, то при $x > 0$ будет $y < 0$ (произведение положительного и отрицательного чисел), а при $x < 0$ будет $y > 0$ (произведение двух отрицательных чисел). Это соответствует точкам во II и IV координатных четвертях.
Ответ: График функции $y = kx$ при $k < 0$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.