Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

290. (Для работы в парах.) На рисунке 29 изображены графики зависимости высоты уровня жидкости от её объёма в двух сосудах различной формы, но одной и той же ёмкости − 3 л. Пользуясь графиками, найдите:

а) какое количество жидкости надо налить в каждый сосуд, чтобы уровень жидкости в них был одинаков;
б) сколько жидкости надо налить во второй сосуд, чтобы получить высоту уровня такую же, как в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при выполнении задания, и изобразите схематически, какую примерно форму имеют эти сосуды.

а)

Чтобы найти количество жидкости, при котором уровни в сосудах будут одинаковы, необходимо найти на графике точку пересечения двух кривых. Эта точка соответствует состоянию, когда и объём налитой жидкости, и высота её уровня одинаковы для обоих сосудов.

Находим на графике точку пересечения линий "1-й сосуд" и "2-й сосуд". Проецируем эту точку на ось абсцисс (объём $V$).

Из графика видно, что точка пересечения соответствует объёму $V = 2,5$ л. При этом объёме высота в обоих сосудах будет одинаковой и составит $h = 100$ мм.

Ответ: 2,5 л.

б)

Решение состоит из двух шагов:

1. Сначала определим высоту уровня жидкости в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л. Находим на оси объёмов $V$ значение 1,5 л и движемся вертикально вверх до пересечения с графиком "1-й сосуд" (прямая линия). От этой точки движемся горизонтально влево до оси высот $h$. Получаем значение $h_1 = 60$ мм.
2. Теперь нужно найти, какой объём жидкости во втором сосуде соответствует этой же высоте, т.е. $h_2 = 60$ мм. Находим на оси высот $h$ значение 60 мм и движемся горизонтально вправо до пересечения с графиком "2-й сосуд" (кривая линия). От этой точки движемся вертикально вниз до оси объёмов $V$.

По графику видно, что этому значению высоты соответствует объём $V_2 = 2,1$ л.

Ответ: 2,1 л.

2)

Объяснение рассуждений:

При выполнении заданий мы считывали данные непосредственно с представленных графиков зависимости высоты уровня жидкости $h$ от её объёма $V$.

• Для решения задачи а) мы исходили из того, что если в сосуды налить одинаковое количество жидкости, то одинаковый уровень будет достигнут в том случае, который соответствует точке пересечения их графиков. Мы нашли эту точку и определили её координату по оси объёмов.
• Для решения задачи б) мы действовали последовательно. Сначала по графику для первого сосуда нашли высоту, соответствующую заданному объёму ($V_1=1,5$ л $\rightarrow$ $h_1=60$ мм). Затем эту высоту ($h_2=h_1=60$ мм) использовали для нахождения искомого объёма по графику для второго сосуда.

Примерная форма сосудов:

Форму сосудов можно определить, проанализировав зависимость высоты уровня жидкости $h$ от её объёма $V$. Эта зависимость связана с площадью поперечного сечения сосуда $S$ на высоте $h$. Связь выражается формулой $dV = S(h) \cdot dh$, из которой следует, что наклон графика $\frac{dh}{dV}$ обратно пропорционален площади сечения: $\frac{dh}{dV} = \frac{1}{S(h)}$.

• Сосуд 1: График $h(V)$ — это прямая линия, проходящая через начало координат. Это означает, что $h$ прямо пропорционально $V$. Такое соотношение ($h = k \cdot V$) возможно только если площадь поперечного сечения $S$ постоянна по всей высоте. Следовательно, сосуд 1 имеет форму цилиндра или прямой призмы.
• Сосуд 2: График $h(V)$ — это кривая. При увеличении объёма $V$ и высоты $h$ наклон кривой $\frac{dh}{dV}$ возрастает.
  • Малый наклон $\frac{dh}{dV}$ означает большую площадь сечения $S(h)$. При малых объёмах наклон графика для сосуда 2 меньше, чем у прямой для сосуда 1, следовательно, в нижней части сосуд 2 шире, чем сосуд 1.
  • С ростом высоты $h$ наклон графика для сосуда 2 увеличивается, следовательно, площадь его поперечного сечения $S(h)$ уменьшается. Сосуд сужается кверху.
  • В точке пересечения графиков ($h=100$ мм) наклоны одинаковы, а значит, и площади сечения сосудов на этой высоте равны.
  Таким образом, сосуд 2 имеет форму, расширяющуюся книзу и сужающуюся кверху, например, форму усеченного конуса, стоящего на большем основании.

Схематическое изображение поперечных сечений сосудов:

291. Время, за которое маятник совершает полное колебание, т. е. из положения ОА переходит ложение ОС, а затем снова возвращается в жение ОА (рис. 30), называется периодом колебания маятника. Изучая зависимость периода колебания маятника Т от длины нити l, составили таблицу:

Постройте график зависимости периода колебания маятника Т от длины нити I.

Для построения графика зависимости периода колебания маятника $T$ от длины нити $l$, необходимо выполнить следующие шаги. Вначале нужно начертить систему координат. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается независимая переменная — длина нити $l$ в сантиметрах (см). По вертикальной оси (оси ординат) откладывается зависимая переменная — период колебания $T$ в секундах (с).

Далее следует выбрать удобный масштаб. Для оси $l$ значения изменяются от 30 до 100 см, поэтому можно выбрать масштаб, где, например, 1 см на чертеже соответствует 10 см длины. Для оси $T$ значения лежат в диапазоне от 1,0 до 2,0 с, поэтому можно взять масштаб, где 2 см на чертеже соответствуют 0,5 с.

После этого на координатную плоскость наносятся точки из таблицы:

• ($l=30$ см, $T=1,0$ с)
• ($l=50$ см, $T=1,4$ с)
• ($l=60$ см, $T=1,6$ с)
• ($l=80$ см, $T=1,8$ с)
• ($l=100$ см, $T=2,0$ с)

Наконец, все отмеченные точки соединяются плавной линией. Поскольку теоретически период колебаний пропорционален квадратному корню из длины нити ($T \sim \sqrt{l}$), график не является прямой линией, а представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.

Ответ:

Построенный по данным таблицы график зависимости периода колебания маятника $T$ от длины нити $l$ представлен ниже. Точками отмечены экспериментальные данные, а плавная кривая показывает общую зависимость.