Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

269. Функция задана формулой у = 12x. В таблице указаны некоторые значения аргумента. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента x, указанного в верхней строке, вычислить соответствующее значение функции y по формуле $y = \frac{12}{x}$.

При x = -6, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{-6} = -2$.
Ответ: -2

При x = -4, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{-4} = -3$.
Ответ: -3

При x = -3, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{-3} = -4$.
Ответ: -4

При x = 2, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6

При x = 5, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{5} = 2,4$.
Ответ: 2,4

При x = 6, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: 2

При x = 12, подставляем это значение в формулу функции: $y = \frac{12}{12} = 1$.
Ответ: 1

После выполнения всех вычислений, перечертим и заполним таблицу:

270. Функция задана формулой у = 12x. Функция задана формулой у = х² − 9. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента x вычислить соответствующее значение функции y по заданной формуле $y = x^2 - 9$.

При x = -5

Подставим значение $x = -5$ в формулу:

$y = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$

Ответ: 16

При x = -4

Подставим значение $x = -4$ в формулу:

$y = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$

Ответ: 7

При x = -3

Подставим значение $x = -3$ в формулу:

$y = (-3)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

Ответ: 0

При x = 0

Подставим значение $x = 0$ в формулу:

$y = 0^2 - 9 = 0 - 9 = -9$

Ответ: -9

При x = 2

Подставим значение $x = 2$ в формулу:

$y = 2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$

Ответ: -5

При x = 3

Подставим значение $x = 3$ в формулу:

$y = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

Ответ: 0

При x = 6

Подставим значение $x = 6$ в формулу:

$y = 6^2 - 9 = 36 - 9 = 27$

Ответ: 27

В результате получаем заполненную таблицу:

271. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой y = x(x − 3,5), где 0 ≤ x ≤ 4, с шагом 0,5.

Для того чтобы составить таблицу значений функции, заданной формулой $y = x(x - 3,5)$, на отрезке $0 \le x \le 4$ с шагом 0,5, необходимо последовательно подставить в формулу значения аргумента $x$ и вычислить соответствующие им значения функции $y$.

Аргумент $x$ будет принимать следующие значения: 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4.

Выполним вычисления для каждого значения $x$:
При $x = 0$, $y = 0 \cdot (0 - 3,5) = 0$.
При $x = 0,5$, $y = 0,5 \cdot (0,5 - 3,5) = 0,5 \cdot (-3) = -1,5$.
При $x = 1$, $y = 1 \cdot (1 - 3,5) = 1 \cdot (-2,5) = -2,5$.
При $x = 1,5$, $y = 1,5 \cdot (1,5 - 3,5) = 1,5 \cdot (-2) = -3$.
При $x = 2$, $y = 2 \cdot (2 - 3,5) = 2 \cdot (-1,5) = -3$.
При $x = 2,5$, $y = 2,5 \cdot (2,5 - 3,5) = 2,5 \cdot (-1) = -2,5$.
При $x = 3$, $y = 3 \cdot (3 - 3,5) = 3 \cdot (-0,5) = -1,5$.
При $x = 3,5$, $y = 3,5 \cdot (3,5 - 3,5) = 3,5 \cdot 0 = 0$.
При $x = 4$, $y = 4 \cdot (4 - 3,5) = 4 \cdot 0,5 = 2$.

Сведем полученные результаты в итоговую таблицу.

Ответ:

272. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Функция $y = x^2 + 8$ является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $x^2 + 8$ имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$, так как оно не содержит операций, накладывающих ограничения, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа. Следовательно, область определения этой функции — все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \frac{1}{x-7}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых её знаменатель не равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Найдём значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, и исключим их из области определения.
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=7$.
Ответ: $(-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{2}{3+x}$ также является дробно-рациональной. Область определения этой функции состоит из всех значений $x$, для которых знаменатель $3+x$ не равен нулю.
$3 + x \neq 0$
$x \neq -3$
Следовательно, область определения — это множество всех действительных чисел, кроме $x = -3$.
Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

г) В функции $y = \frac{4x-1}{5}$ знаменатель дроби является постоянным числом 5, которое не равно нулю и не содержит переменной $x$. Поэтому никаких ограничений на значения переменной $x$ не накладывается. Эту функцию можно представить в виде линейной функции $y = \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$, которая определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения — всё множество действительных чисел.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

273. Формула у = −5х + 6 задаёт некоторую функцию. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?

Дана функция, заданная формулой $y = -5x + 6$. Аргументом функции является переменная $x$, а значением функции — переменная $y$. Чтобы найти, при каком значении аргумента $x$ значение функции $y$ равно заданному числу, нужно подставить это число в формулу вместо $y$ и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

6
Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 6. Для этого подставим $y = 6$ в формулу функции:
$6 = -5x + 6$
Вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$6 - 6 = -5x$
$0 = -5x$
Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{0}{-5}$
$x = 0$
Ответ: 0.

8
Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 8. Подставим $y = 8$ в формулу функции:
$8 = -5x + 6$
Вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$8 - 6 = -5x$
$2 = -5x$
Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{2}{-5}$
$x = -0.4$
Ответ: -0.4.

100
Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 100. Подставим $y = 100$ в формулу функции:
$100 = -5x + 6$
Вычтем 6 из обеих частей уравнения:
$100 - 6 = -5x$
$94 = -5x$
Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{94}{-5}$
$x = -18.8$
Ответ: -18.8.

274. Функция задана формулой у = 23х. Заполните пустые клетки таблицы, перечертив её в тетрадь.

Для заполнения пустых клеток таблицы воспользуемся данной функцией $y = \frac{2}{3}x$. В зависимости от того, какая переменная известна, мы либо вычисляем значение $y$ по известному $x$, либо находим $x$ по известному $y$.

Для случаев, когда известен $y$, удобнее выразить $x$ из формулы:

$y = \frac{2}{3}x \quad \Rightarrow \quad x = y \cdot \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}y$

Теперь последовательно рассчитаем значения для каждой пустой клетки.

1. Найти y при x = -0,5

Подставим значение $x = -0,5$ в исходную формулу $y = \frac{2}{3}x$:

$y = \frac{2}{3} \cdot (-0,5) = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

2. Найти x при y = -2

Подставим значение $y = -2$ в формулу $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -\frac{3 \cdot 2}{2} = -3$

Ответ: $-3$

3. Найти x при y = 0

Подставим значение $y = 0$ в формулу $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

4. Найти y при x = 4,5

Подставим значение $x = 4,5$ в исходную формулу $y = \frac{2}{3}x$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 4,5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{18}{6} = 3$

Ответ: $3$

5. Найти y при x = 9

Подставим значение $x = 9$ в исходную формулу $y = \frac{2}{3}x$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 9 = \frac{2 \cdot 9}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Ответ: $6$

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

275. Функция задана формулой у = 0,3х − 6. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно −6; −3; 0.

Чтобы найти значение аргумента (независимой переменной $x$), при котором значение функции (зависимой переменной $y$) равно определенному числу, необходимо подставить это число в формулу функции вместо $y$ и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

Исходная формула функции: $y = 0.3x - 6$.

Для значения функции, равного -6:
Подставляем $y = -6$ в уравнение:
$-6 = 0.3x - 6$
Прибавим 6 к обеим частям уравнения:
$-6 + 6 = 0.3x$
$0 = 0.3x$
Разделим обе части на 0.3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{0}{0.3}$
$x = 0$
Ответ: 0.

Для значения функции, равного -3:
Подставляем $y = -3$ в уравнение:
$-3 = 0.3x - 6$
Прибавим 6 к обеим частям уравнения:
$-3 + 6 = 0.3x$
$3 = 0.3x$
Разделим обе части на 0.3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{3}{0.3}$
$x = \frac{30}{3}$
$x = 10$
Ответ: 10.

Для значения функции, равного 0:
Подставляем $y = 0$ в уравнение:
$0 = 0.3x - 6$
Прибавим 6 к обеим частям уравнения:
$6 = 0.3x$
Разделим обе части на 0.3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{0.3}$
$x = \frac{60}{3}$
$x = 20$
Ответ: 20.

276. Задайте формулой зависимость массы куска пробки от его объёма, если известно, что плотность пробки равна 0,18 г/см³.
Найдите по формуле:
а) массу куска пробки, объём которого равен 240 см³;
б) объём куска пробки, масса которого равна 64,8 г.

Связь между массой ($m$), плотностью ($\rho$) и объёмом ($V$) описывается формулой $m = \rho \cdot V$. Согласно условию, плотность пробки составляет $\rho = 0,18$ г/см?. Подставив это значение в общую формулу, мы получаем искомую формулу зависимости массы куска пробки от его объёма.

Ответ: $m = 0,18 \cdot V$.

а) Найдём массу куска пробки, объём которого равен $240$ см?. Для этого подставим значение $V = 240$ см? в выведенную формулу: $m = 0,18 \cdot 240 = 43,2$ г.

Ответ: 43,2 г.

б) Найдём объём куска пробки, масса которого равна $64,8$ г. Для этого из формулы $m = 0,18 \cdot V$ выразим объём $V$, получив $V = \frac{m}{0,18}$. Теперь подставим известное значение массы $m = 64,8$ г: $V = \frac{64,8}{0,18} = \frac{6480}{18} = 360$ см?.

Ответ: 360 см?.

277. Двигаясь со скоростью v км/ч в течение 6 ч, автомобиль прошёл путь s км. Задайте формулой зависимость s(y). Пользуясь этой формулой:

а) найдите s, если v = 65; б) найдите v, если s = 363.

Основная формула, связывающая путь ($s$), скорость ($v$) и время ($t$), выглядит так: $s = v \cdot t$.

По условию задачи, автомобиль двигался в течение $t = 6$ часов. Подставив это значение в формулу, мы получаем искомую зависимость пути $s$ от скорости $v$, которая обозначается как $s(v)$:

$s(v) = 6v$

Теперь воспользуемся этой формулой для решения подпунктов.

а) Найдём путь $s$, если скорость $v = 65$ км/ч.

Для этого подставим значение скорости в нашу формулу $s = 6v$:

$s = 6 \cdot 65$

$s = 390$

Таким образом, при скорости 65 км/ч автомобиль пройдёт 390 км.

Ответ: $s = 390$ км.

б) Найдём скорость $v$, если путь $s = 363$ км.

Для этого подставим значение пути в нашу формулу $s = 6v$:

$363 = 6v$

Чтобы найти скорость $v$, разделим обе части уравнения на 6:

$v = \frac{363}{6}$

$v = 60,5$

Таким образом, скорость автомобиля составляла 60,5 км/ч.

Ответ: $v = 60,5$ км/ч.

278. С турбазы на станцию, удалённую на расстояние 60 км, отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. Задайте формулой зависимость переменной s от переменной t, где s − расстояние велосипедиста до станции (в километрах), a t − время его движения (в часах). Найдите по формуле:

a) s, если t = 3,5; б) t, если s = 30.

Сначала зададим формулой зависимость переменной $s$ от переменной $t$.

Общее расстояние от турбазы до станции равно 60 км. Скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

За время $t$ (в часах) велосипедист проедет расстояние, равное $12 \cdot t$ (в километрах).

Переменная $s$ — это расстояние, которое осталось проехать до станции. Чтобы найти его, нужно из общего расстояния вычесть уже пройденное расстояние.

Получаем формулу: $s = 60 - 12t$.

Теперь, используя эту формулу, найдем требуемые значения.

а) s, если t = 3,5;

Подставим значение $t = 3,5$ в выведенную формулу:

$s = 60 - 12 \cdot 3,5$

Вычислим произведение:

$12 \cdot 3,5 = 42$

Теперь найдем значение $s$:

$s = 60 - 42 = 18$

Таким образом, через 3,5 часа велосипедисту останется проехать 18 км.

Ответ: $s = 18$.

б) t, если s = 30.

Подставим значение $s = 30$ в формулу:

$30 = 60 - 12t$

Решим полученное уравнение относительно $t$. Перенесем $12t$ в левую часть, а 30 — в правую, изменив их знаки:

$12t = 60 - 30$

$12t = 30$

Теперь разделим обе части уравнения на 12:

$t = \frac{30}{12}$

Сократим дробь на 6:

$t = \frac{5}{2} = 2,5$

Таким образом, расстояние до станции будет равно 30 км через 2,5 часа после начала движения.

Ответ: $t = 2,5$.