Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

279. У мальчика было 80 р. Он купил х карандашей по 10 р. за штуку. Обозначив число рублей, оставшихся у мальчика, буквой у, задайте формулой зависимость у от х. Какова область определения этой функции в соответствии с условием задачи?

Зависимость y от x

По условию задачи, $x$ — это количество купленных карандашей, а цена одного карандаша — 10 рублей. Следовательно, общая стоимость покупки составляет $10x$ рублей. У мальчика было 80 рублей, а $y$ — это количество оставшихся денег. Чтобы найти $y$, нужно из начальной суммы вычесть стоимость покупки. Таким образом, формула зависимости $y$ от $x$ имеет вид:
$y = 80 - 10x$

Ответ: $y = 80 - 10x$.

Область определения функции

Область определения функции — это все допустимые значения переменной $x$ (количества карандашей) в рамках данной задачи.
1. Количество карандашей $x$ не может быть отрицательным. Кроме того, по смыслу задачи, $x$ должно быть целым числом, так как карандаши — это штучный товар. Значит, $x$ — целое неотрицательное число: $x \ge 0$ и $x \in \mathbb{Z}$.
2. Мальчик не может потратить больше денег, чем у него есть. Сумма покупки ($10x$) не должна превышать 80 рублей. Запишем это в виде неравенства:
$10x \le 80$
Разделив обе части на 10, получим:
$x \le 8$
Объединяя оба условия ($x$ — целое неотрицательное число и $x \le 8$), получаем, что $x$ может принимать любые целые значения от 0 до 8 включительно.

Ответ: Областью определения функции является множество целых чисел $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

280. Для сельской библиотеки ученики шестых и седьмых классов собрали 315 книг. Сколько книг собрали семиклассники, если известно, что они собрали на 10% книг больше, чем шестиклассники? Покажите на круговой диаграмме соотношение между количеством книг (в процентах), собранных учениками шестых и седьмых классов.

Для решения этой задачи составим и решим уравнение. Пусть $x$ — это количество книг, которое собрали ученики шестых классов.

По условию, ученики седьмых классов собрали на 10% книг больше. Чтобы найти 10% от числа $x$, нужно умножить $x$ на 0,1. Значит, семиклассники собрали на $0.1x$ книг больше.

Таким образом, количество книг, собранных семиклассниками, равно $x + 0.1x = 1.1x$.

Всего ученики шестых и седьмых классов собрали 315 книг. Составим уравнение:

$x + 1.1x = 315$

$2.1x = 315$

$x = 315 / 2.1$

$x = 3150 / 21$

$x = 150$

Итак, ученики шестых классов собрали 150 книг.

Теперь найдем, сколько книг собрали семиклассники:

$1.1x = 1.1 \times 150 = 165$ книг.

Проверим: $150 + 165 = 315$. Все верно.

Сколько книг собрали семиклассники?

Ученики седьмых классов собрали 165 книг.

Ответ: 165 книг.

Покажите на круговой диаграмме соотношение между количеством книг (в процентах), собранных учениками шестых и седьмых классов.

Чтобы показать соотношение на круговой диаграмме, нужно найти, какой процент от общего количества книг составляет доля каждого класса.

Общее количество книг — 315, что составляет 100%.

1. Найдем процент книг, собранных шестиклассниками:

$\frac{150}{315} \times 100\% = \frac{10}{21} \times 100\% = \frac{1000}{21}\% \approx 47.6\%$

2. Найдем процент книг, собранных семиклассниками:

$\frac{165}{315} \times 100\% = \frac{11}{21} \times 100\% = \frac{1100}{21}\% \approx 52.4\%$

Круговая диаграмма будет состоять из двух секторов:

• Сектор, представляющий книги шестиклассников, будет занимать примерно $47.6\%$ от всей диаграммы (угол сектора $\frac{10}{21} \times 360^\circ \approx 171^\circ$).
• Сектор, представляющий книги семиклассников, будет занимать примерно $52.4\%$ от всей диаграммы (угол сектора $\frac{11}{21} \times 360^\circ \approx 189^\circ$).

Ответ: на круговой диаграмме доля книг, собранных шестиклассниками, составляет $\frac{1000}{21}\% \approx 47.6\%$, а доля семиклассников — $\frac{1100}{21}\% \approx 52.4\%$.

281. Отметьте в координатной плоскости точки M(0; −4) и N(6; 2) и соедините их отрезком. Найдите координаты точки пересечения этого отрезка с осью х.

Для нахождения координат точки пересечения отрезка MN с осью x, сначала определим уравнение прямой, на которой лежит этот отрезок.

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью y.

Нам даны две точки, принадлежащие этой прямой: M(0; -4) и N(6; 2).

1. Находим коэффициент $b$.
Подставим координаты точки M(0; -4) в уравнение прямой. Так как абсцисса этой точки равна 0, мы можем сразу найти $b$:

$-4 = k \cdot 0 + b$

$b = -4$

Теперь уравнение прямой имеет вид: $y = kx - 4$.

2. Находим угловой коэффициент $k$.
Подставим координаты второй точки, N(6; 2), в полученное уравнение:

$2 = k \cdot 6 - 4$

Решим это уравнение относительно $k$:

$2 + 4 = 6k$

$6 = 6k$

$k = \frac{6}{6} = 1$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки M и N, имеет вид: $y = x - 4$.

3. Находим координаты точки пересечения с осью x.
Любая точка, лежащая на оси x (оси абсцисс), имеет ординату (координату y), равную 0. Чтобы найти абсциссу точки пересечения, подставим $y = 0$ в уравнение нашей прямой:

$0 = x - 4$

Отсюда находим $x$:

$x = 4$

Следовательно, точка пересечения отрезка MN с осью x имеет координаты (4; 0).

Ответ: (4; 0).

282. Отметьте в координатной плоскости точки А(−2; −3) и В(4; 5) и соедините их отрезком. Найдите координаты середины отрезка АВ.

Для выполнения этого задания сначала необходимо отметить заданные точки на координатной плоскости и соединить их отрезком. Точка $A$ имеет координаты $(-2; -3)$, что означает, что она расположена на 2 единицы левее оси ординат и на 3 единицы ниже оси абсцисс. Точка $B$ имеет координаты $(4; 5)$, то есть она находится на 4 единицы правее оси ординат и на 5 единиц выше оси абсцисс. Соединив эти точки, мы получим отрезок $AB$.

Найдите координаты середины отрезка AB.

Чтобы найти координаты середины отрезка, воспользуемся специальными формулами. Если даны две точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, то координаты середины этого отрезка, назовем ее точкой $C(x_C; y_C)$, вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

В нашем случае координаты точек равны $A(-2; -3)$ и $B(4; 5)$. Подставим эти значения в формулы:

$x_C = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_C = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, координаты середины отрезка $AB$ — это точка с координатами $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.