Страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

294. Решите уравнение:

а) 3,7х − 2 = −2х + 3,13;

б) 4,2x + 8 = 8 − 7х;

в) −27х = 5 − 54х;

г) х − 1 = 0,4х − 2,5.

а) Для решения уравнения $3,7x - 2 = -2x + 3,13$ перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую их знаки меняются на противоположные.
$3,7x + 2x = 3,13 + 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
$5,7x = 5,13$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $5,7$:
$x = \frac{5,13}{5,7}$
Чтобы выполнить деление, можно умножить делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дробей: $x = \frac{513}{570}$. Сократив дробь, получим $x = \frac{9}{10}$.
$x = 0,9$
Ответ: $0,9$.

б) Для решения уравнения $4,2x + 8 = 8 - 7x$ поступим аналогично: перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую.
$4,2x + 7x = 8 - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$11,2x = 0$
Разделим обе части уравнения на $11,2$:
$x = \frac{0}{11,2}$
$x = 0$
Ответ: $0$.

в) В уравнении $-27x = 5 - 54x$ перенесем слагаемое $-54x$ в левую часть уравнения с противоположным знаком.
$-27x + 54x = 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$27x = 5$
Разделим обе части уравнения на $27$:
$x = \frac{5}{27}$
Это несократимая дробь.
Ответ: $\frac{5}{27}$.

г) В уравнении $x - 1 = 0,4x - 2,5$ перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа — вправо.
$x - 0,4x = -2,5 + 1$
Приведем подобные слагаемые (помним, что $x$ это $1x$):
$0,6x = -1,5$
Разделим обе части на $0,6$:
$x = \frac{-1,5}{0,6}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x = \frac{-15}{6}$
Сократим дробь на 3:
$x = -\frac{5}{2}$
Переведем в десятичную дробь:
$x = -2,5$
Ответ: $-2,5$.

295. В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин, чем легковых. После того как автопарк получил ещё 45 легковых автомашин, а 12 грузовых машин передал фермерам, в нём стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество легковых машин в автопарке.

Исходя из условия, что грузовых машин было в 1,5 раза больше, чем легковых, их первоначальное количество составляло $1.5x$.

После того как автопарк получил ещё 45 легковых машин, их количество стало равно $x + 45$.

После того как автопарк передал 12 грузовых машин фермерам, их количество стало равно $1.5x - 12$.

В результате этих изменений легковых машин стало на 17 больше, чем грузовых. Это можно выразить следующим уравнением:

$(x + 45) - (1.5x - 12) = 17$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки:

$x + 45 - 1.5x + 12 = 17$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(x - 1.5x) + (45 + 12) = 17$

$-0.5x + 57 = 17$

3. Перенесём 57 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-0.5x = 17 - 57$

$-0.5x = -40$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на -0.5:

$x = \frac{-40}{-0.5}$

$x = 80$

Таким образом, первоначально в автопарке было 80 легковых машин.

Теперь найдём первоначальное количество грузовых машин:

$1.5 \times x = 1.5 \times 80 = 120$

Первоначально в автопарке было 120 грузовых машин.

Чтобы найти общее количество автомашин, которое было в автопарке первоначально, сложим количество легковых и грузовых машин:

Всего машин = (количество легковых машин) + (количество грузовых машин)

Всего машин = $80 + 120 = 200$

Ответ: 200.

296. Верно ли, что:

а) 623 − 13 · 134 + 14 − 6 > 0;

б) (516 − 5112) − 12 − 613 : 3 < 0;

в) 7 + 2424 : (11,8 + 0,2) + 2,3 < 200;

г) (3,08 − 2,16) : 8 − 0,17 · 3 < 0?

а) Проверим истинность неравенства $6\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 6 > 0$.
Для решения необходимо соблюдать порядок действий: сначала умножение, затем сложение и вычитание слева направо.
1. Выполним умножение. Для этого переведем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
$\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{4} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}$.
2. Подставим результат в исходное выражение: $6\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4} - 6$.
3. Выполним вычисления. Удобно сгруппировать целые и дробные части: $(6 - 6) + (\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4})$.
$6 - 6 = 0$.
Теперь вычислим значение выражения с дробями, приведя их к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{7}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{8 - 7 + 3}{12} = \frac{1 + 3}{12} = \frac{4}{12}$.
4. Сократим полученную дробь: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
5. Проверим неравенство: $\frac{1}{3} > 0$. Это утверждение верно.
Ответ: Да.

б) Проверим истинность неравенства $(5\frac{1}{6} - 5\frac{1}{12}) \cdot 12 - 6\frac{1}{3} : 3 > 0$.
Порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце вычитание.
1. Выполним действие в скобках: $5\frac{1}{6} - 5\frac{1}{12}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12.
$5\frac{2}{12} - 5\frac{1}{12} = (5-5) + (\frac{2}{12} - \frac{1}{12}) = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$.
2. Теперь выполним умножение: $\frac{1}{12} \cdot 12 = 1$.
3. Далее выполним деление. Переведем смешанное число $6\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$.
$\frac{19}{3} : 3 = \frac{19}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{9}$.
4. Выполним вычитание: $1 - \frac{19}{9} = \frac{9}{9} - \frac{19}{9} = -\frac{10}{9}$.
5. Проверим неравенство: $-\frac{10}{9} > 0$. Это утверждение неверно, так как отрицательное число всегда меньше нуля.
Ответ: Нет.

в) Проверим истинность неравенства $7 + 2424 : (11,8 + 0,2) + 2,3 < 200$.
Порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение слева направо.
1. Выполним действие в скобках: $11,8 + 0,2 = 12$.
2. Выполним деление: $2424 : 12 = 202$.
3. Выполним сложение: $7 + 202 + 2,3 = 209 + 2,3 = 211,3$.
4. Проверим неравенство: $211,3 < 200$. Это утверждение неверно.
Ответ: Нет.

г) Проверим истинность неравенства $(3,08 - 2,16) : 8 - 0,17 \cdot 3 < 0$.
Порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце вычитание.
1. Выполним действие в скобках: $3,08 - 2,16 = 0,92$.
2. Выполним деление: $0,92 : 8 = 0,115$.
3. Выполним умножение: $0,17 \cdot 3 = 0,51$.
4. Выполним вычитание: $0,115 - 0,51 = -0,395$.
5. Проверим неравенство: $-0,395 < 0$. Это утверждение верно, так как любое отрицательное число меньше нуля.
Ответ: Да.

Числовой промежуток — это множество всех чисел, заключенных между двумя данными числами, или всех чисел, больших (или меньших) данного числа. Существуют следующие виды числовых промежутков:

• Интервал (открытый промежуток)

  Это множество всех чисел, которые строго больше $a$ и строго меньше $b$. Граничные точки $a$ и $b$ не включаются в этот промежуток. В виде неравенства это записывается как $a < x < b$. Обозначается с помощью круглых скобок.

  Ответ: $(a, b)$ — это множество чисел $x$, для которых выполняется неравенство $a < x < b$.

• Отрезок (замкнутый промежуток)

  Это множество всех чисел, которые больше или равны $a$ и меньше или равны $b$. Граничные точки $a$ и $b$ включаются в этот промежуток. В виде неравенства это записывается как $a \le x \le b$. Обозначается с помощью квадратных скобок.

  Ответ: $[a, b]$ — это множество чисел $x$, для которых выполняется неравенство $a \le x \le b$.

• Полуинтервал (полуоткрытый промежуток)

  Это промежуток, в котором одна из граничных точек включена в множество, а другая — нет. Существует два вида полуинтервалов:

  • Промежуток $[a, b)$, который включает левую границу $a$, но не включает правую $b$. Ему соответствует неравенство $a \le x < b$.
  • Промежуток $(a, b]$, который не включает левую границу $a$, но включает правую $b$. Ему соответствует неравенство $a < x \le b$.

  Ответ: $[a, b)$ (соответствует $a \le x < b$) и $(a, b]$ (соответствует $a < x \le b$).

• Бесконечные промежутки (лучи)

  Это множества чисел, которые не ограничены с одной из сторон. Различают:

  • Открытые числовые лучи — граничная точка не включается в промежуток:
    • $(a, +\infty)$ — множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x > a$.
    • $(-\infty, b)$ — множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x < b$.
  • Замкнутые числовые лучи (или просто лучи) — граничная точка включается в промежуток:
    • $[a, +\infty)$ — множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge a$.
    • $(-\infty, b]$ — множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \le b$.

  Ответ: Бесконечные промежутки: $(a, +\infty)$, $(-\infty, b)$, $[a, +\infty)$, $(-\infty, b]$.

• Числовая прямая

  Это множество всех действительных чисел, которое также рассматривается как числовой промежуток, неограниченный с обеих сторон.

  Ответ: $(-\infty, +\infty)$ — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, который их соединяет. Способ нахождения этого расстояния зависит от размерности пространства, в котором находятся эти точки (на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве).

Расстояние между точками на координатной прямой (1D)

Если две точки A и B лежат на координатной прямой и имеют координаты $x_1$ и $x_2$ соответственно, то расстояние $d$ между ними равно модулю разности их координат.

Формула:

$d = |x_2 - x_1|$

Пример:

Найти расстояние между точкой A с координатой 3 и точкой B с координатой -5.

Решение:

Подставим значения координат в формулу:

$d = |-5 - 3| = |-8| = 8$

Порядок вычитания не имеет значения, так как мы берем модуль:

$d = |3 - (-5)| = |3 + 5| = |8| = 8$

Ответ: 8

Расстояние между точками на плоскости (2D)

Если две точки A и B на плоскости заданы своими координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то расстояние между ними находится по теореме Пифагора. Оно равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Пример:

Найти расстояние между точками A(2, 3) и B(5, 7).

Решение:

Определим значения для формулы: $x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = 7$. Подставим эти значения:

$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}$

$d = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$d = \sqrt{9 + 16}$

$d = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

Расстояние между точками в пространстве (3D)

Аналогично случаю на плоскости, если точки A и B заданы в трехмерном пространстве координатами $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, то расстояние между ними вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей их координат по каждой оси.

Формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Пример:

Найти расстояние между точками A(1, 0, -2) и B(3, 4, 0).

Решение:

Определим значения для формулы: $x_1 = 1, y_1 = 0, z_1 = -2$ и $x_2 = 3, y_2 = 4, z_2 = 0$. Подставим в формулу:

$d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2}$

$d = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2}$

$d = \sqrt{4 + 16 + 4}$

$d = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

Пример функциональной зависимости одной переменной от другой

Рассмотрим зависимость площади квадрата от длины его стороны. Если обозначить длину стороны квадрата переменной $a$, а его площадь — переменной $S$, то каждому значению длины стороны $a$ будет соответствовать единственное значение площади $S$. Эта функциональная зависимость выражается формулой:

$S(a) = a^2$

Независимая и зависимая переменные

В этой зависимости мы можем задавать значение длины стороны $a$ произвольно (из множества допустимых значений). Поэтому $a$ является независимой переменной (или аргументом).

Значение площади $S$ полностью определяется выбранным значением $a$. Поэтому $S$ является зависимой переменной (или значением функции).

Область определения функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений, которые может принимать независимая переменная (аргумент). В нашем случае, длина стороны квадрата $a$ не может быть отрицательной или равной нулю, так как речь идет о геометрической фигуре. Следовательно, длина стороны должна быть положительным числом.

Таким образом, область определения данной функции — это множество всех положительных действительных чисел: $a > 0$.

Запись в виде числового промежутка: $D(S) = (0; +\infty)$.

Ответ: Пример функциональной зависимости — площадь квадрата $S$ от длины его стороны $a$, заданная формулой $S=a^2$. В этой зависимости $a$ (длина стороны) является независимой переменной, а $S$ (площадь) — зависимой переменной. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел, то есть $a \in (0; +\infty)$.

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы (координаты по оси $x$) которых равны значениям аргумента, а ординаты (координаты по оси $y$) — соответствующим значениям функции.

Иными словами, функция устанавливает правило, по которому каждому числу $x$ из некоторого множества (называемого областью определения функции) ставится в соответствие единственное число $y$. Каждая такая пара чисел $(x, y)$ может быть представлена как точка с координатами $(x, y)$ в декартовой системе координат.

Совокупность всех таких точек, полученных для всех значений $x$ из области определения, и образует линию, которую называют графиком функции. График является визуальным, геометрическим представлением функциональной зависимости.

Формально, график функции $f$ — это множество точек $G$, которое можно записать следующим образом: $G = \{ (x, y) \mid x \in D(f), y = f(x) \}$, где $D(f)$ — область определения функции $f$.

Например, для функции $y = 2x + 1$ мы можем взять несколько значений $x$:

• Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку $(1, 3)$.
• Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$. Получаем точку $(-1, -1)$.

Соединив все возможные такие точки, мы получим прямую линию, которая и является графиком функции $y = 2x + 1$.

Ответ: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента

Чтобы с помощью графика найти значение функции $y$, соответствующее заданному значению аргумента $x$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $Ox$) точку, координата которой равна заданному значению аргумента, например $x_0$.
2. Провести через эту точку вертикальную прямую (перпендикуляр к оси $Ox$) до ее пересечения с графиком функции.
3. Из полученной точки пересечения на графике провести горизонтальную прямую (перпендикуляр к оси $Oy$) до ее пересечения с осью ординат (вертикальной осью $Oy$).
4. Ордината (координата на оси $y$) этой точки пересечения и будет искомым значением функции. Обозначим его как $y_0$. Таким образом, $y_0 = f(x_0)$.

Ответ: Чтобы найти значение функции по заданному аргументу $x_0$, нужно найти точку $(x_0, y_0)$ на графике. Для этого от значения $x_0$ на оси абсцисс двигаются вертикально до графика, а оттуда — горизонтально до оси ординат. Полученное значение на оси ординат и есть искомое значение функции.

б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции

Чтобы с помощью графика найти значение (или значения) аргумента $x$, которому соответствует заданное значение функции $y$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти на оси ординат (вертикальной оси $Oy$) точку, координата которой равна заданному значению функции, например $y_0$.
2. Провести через эту точку горизонтальную прямую, параллельную оси $Ox$.
3. Найти все точки пересечения этой прямой с графиком функции. Таких точек может быть одна, несколько или не быть совсем.
4. Из каждой найденной точки пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс (ось $Ox$).
5. Абсциссы (координаты на оси $x$) оснований этих перпендикуляров и являются искомыми значениями аргумента. Это все такие значения $x$, для которых $f(x) = y_0$.

Ответ: Чтобы найти значения аргумента по заданному значению функции $y_0$, нужно найти все точки на графике с ординатой $y_0$. Для этого от значения $y_0$ на оси ординат проводят горизонтальную линию до пересечения с графиком, а из каждой точки пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Полученные значения на оси абсцисс и есть искомые значения аргумента.