Страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

287. (Для работы в парах.) Кривая, изображённая на рисунке 27, − график некоторой функции. Используя график, найдите: б) значения х, которым соответствуют у = −2; 0; 2; 3.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

4) Обсудите возможность существования двух искомых значений в случае а) и в случае б).

а)

Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (ось $Ox$) заданное значение $x$, провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (ось $Oy$). Полученное значение на оси $Oy$ и будет искомым значением $y$.

• При $x = -3$: находим на оси $Ox$ точку -3, движемся вертикально до графика. Точка на графике имеет координаты $(-3, 0)$. Следовательно, $y = 0$.

• При $x = -2$: находим на оси $Ox$ точку -2, движемся вертикально до графика. Точка на графике имеет координаты $(-2, 1)$. Следовательно, $y = 1$.

• При $x = 0$: находим на оси $Ox$ точку 0 (начало координат), движемся вертикально до графика. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0, 2)$. Следовательно, $y = 2$.

• При $x = 2$: находим на оси $Ox$ точку 2, движемся вертикально до графика. Точка на графике имеет координаты $(2, 3)$. Следовательно, $y = 3$.

• При $x = 4$: находим на оси $Ox$ точку 4, движемся вертикально до графика. Точка на графике имеет координаты $(4, 2.5)$. Следовательно, $y = 2.5$.

Ответ: при $x = -3, y = 0$; при $x = -2, y = 1$; при $x = 0, y = 2$; при $x = 2, y = 3$; при $x = 4, y = 2.5$.

б)

Чтобы найти значения аргумента $x$, которым соответствует заданное значение функции $y$, нужно найти на оси ординат (ось $Oy$) заданное значение $y$, провести из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. Абсциссы точек пересечения и будут искомыми значениями $x$.

• При $y = -2$: проводим горизонтальную прямую $y = -2$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой примерно равна $-3.8$. Таким образом, $x \approx -3.8$.

• При $y = 0$: проводим горизонтальную прямую $y = 0$ (это ось $Ox$). Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -3$ и $x = -1$.

• При $y = 2$: проводим горизонтальную прямую $y = 2$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x = 0$, $x \approx 2.6$ и $x \approx 3.4$.

• При $y = 3$: проводим горизонтальную прямую $y = 3$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x \approx 1.2$ и $x = 2$.

Ответ: при $y = -2$, $x \approx -3.8$; при $y = 0$, $x_1 = -3, x_2 = -1$; при $y = 2$, $x_1 = 0, x_2 \approx 2.6, x_3 \approx 3.4$; при $y = 3$, $x_1 \approx 1.2, x_2 = 2$.

1)

Задания а) и б) представляют собой два разных типа задач при работе с графиком функции. Задание а) — нахождение значения функции по аргументу, задание б) — нахождение аргумента(ов) по значению функции. В рамках данного решения выполнены оба задания.

Ответ: Решения заданий а) и б) представлены выше в соответствующих пунктах.

2)

Для проверки правильности выполнения задания а) необходимо для каждого указанного значения $x$ найти соответствующую точку на графике и определить ее ординату. Для проверки задания б) необходимо для каждого указанного значения $y$ провести горизонтальную прямую и найти абсциссы всех точек ее пересечения с графиком. Самопроверка показывает, что найденные значения в пунктах а) и б) соответствуют данным на графике (с учетом погрешности считывания для нецелых значений).

Ответ: Проверка подтверждает правильность выполненных заданий.

3)

Поскольку проверка, выполненная в пункте 2), не выявила ошибок в решениях, исправления не требуются.

Ответ: Ошибок в решениях не обнаружено.

4)

Случай а) (найти значения $y$ при заданном $x$):

На рисунке изображен график функции. По определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$). Это означает, что для одного значения $x$ не может существовать двух или более разных значений $y$. Геометрически это означает, что любая вертикальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке. Таким образом, в случае а) для каждого $x$ существует только одно искомое значение $y$.

Случай б) (найти значения $x$, которым соответствует заданный $y$):

В этом случае ситуация иная. Разным значениям аргумента $x$ может соответствовать одно и то же значение функции $y$. Геометрически это означает, что горизонтальная прямая $y = c$ (где $c$ — константа) может пересекать график функции в нескольких точках. Каждая точка пересечения будет иметь свою абсциссу $x$, и для всех этих абсцисс значение функции будет одинаковым и равным $c$. На данном графике мы видим подтверждение этому, например, при $y=0$ есть два значения $x$ ($x=-3$ и $x=-1$), а при $y=2$ — три значения $x$ ($x=0$, $x \approx 2.6$, $x \approx 3.4$).

Ответ: В случае а) существование двух значений $y$ для одного $x$ невозможно по определению функции. В случае б) существование двух (и более) значений $x$ для одного $y$ возможно, что и подтверждается примерами с данного графика.

288. Пользуясь графиком функции, изображённым на рисунке 27, укажите два значения аргумента, при которых функция принимает: положительные значения; отрицательные значения.

Для решения этой задачи необходимо обратиться к графику функции на рисунке 27, который не приложен к вопросу. Решение будет основано на общем принципе анализа графика функции.

Аргумент функции — это значение по горизонтальной оси (ось $x$), а значение функции — это значение по вертикальной оси (ось $y$).

положительные значения

Функция принимает положительные значения, когда её график находится выше оси абсцисс (оси $x$). Это соответствует точкам, для которых $y > 0$.

Чтобы найти два требуемых значения аргумента, необходимо:

1. Определить интервалы по оси $x$, на которых линия графика расположена выше этой оси.
2. Выбрать любые два различных значения $x$ из этих интервалов.

Например, если на рисунке 27 график функции находится выше оси $x$ в интервале от -1 до 3, то можно выбрать значения аргумента $x=0$ и $x=2$.

Ответ: Так как график отсутствует, точный ответ дать невозможно. Необходимо выбрать два любых значения аргумента из тех интервалов, где график функции лежит выше оси $x$.

отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения, когда её график находится ниже оси абсцисс (оси $x$). Это соответствует точкам, для которых $y < 0$.

Чтобы найти два требуемых значения аргумента, необходимо:

1. Определить интервалы по оси $x$, на которых линия графика расположена ниже этой оси.
2. Выбрать любые два различных значения $x$ из этих интервалов.

Например, если на рисунке 27 график функции находится ниже оси $x$ в интервале от 3 до 6, то можно выбрать значения аргумента $x=4$ и $x=5$.

Ответ: Так как график отсутствует, точный ответ дать невозможно. Необходимо выбрать два любых значения аргумента из тех интервалов, где график функции лежит ниже оси $x$.

289. Измеряя в течение десяти лет каждый год в день рождения рост ребёнка, построили график зависимости роста от возраста ребёнка (рис. 28). Пользуясь графиком, найдите:

а) каков был рост ребёнка в 3 года; в 6 лет; в 9 лет;

б) на сколько сантиметров вырос ребёнок за первые пять лет жизни; за последующие пять лет жизни.

а) Чтобы найти рост ребенка в заданном возрасте, воспользуемся графиком. Найдём на горизонтальной оси (возраст в годах) нужную отметку, проведём от неё вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения проведём горизонтальную линию до вертикальной оси (рост в сантиметрах), чтобы определить значение роста.

На вертикальной оси цена одного большого деления равна 50 см, а одного малого деления — $50 \text{ см} \div 5 = 10 \text{ см}$.

• Находим рост в 3 года. Отметка "3" на горизонтальной оси соответствует точке на графике, которой на вертикальной оси соответствует значение 90 см.

• Находим рост в 6 лет. Отметка "6" на горизонтальной оси соответствует точке на графике, которой на вертикальной оси соответствует значение 110 см.

• Находим рост в 9 лет. Отметка "9" на горизонтальной оси соответствует точке на графике, которой на вертикальной оси соответствует значение 130 см.

Ответ: рост ребенка в 3 года составлял 90 см; в 6 лет — 110 см; в 9 лет — 130 см.

б) Чтобы найти, на сколько сантиметров вырос ребенок за определенный период, нужно найти разность между его ростом в конце и в начале этого периода.

• Найдём, на сколько сантиметров вырос ребенок за первые пять лет жизни (с 0 до 5 лет).

  Из графика находим рост ребенка при рождении (в 0 лет): 50 см.

  Из графика находим рост ребенка в 5 лет: 100 см.

  Вычисляем разницу: $100 \text{ см} - 50 \text{ см} = 50 \text{ см}$.

• Найдём, на сколько сантиметров вырос ребенок за последующие пять лет жизни (с 5 до 10 лет).

  Рост ребенка в 5 лет: 100 см.

  Из графика находим рост ребенка в 10 лет: 140 см.

  Вычисляем разницу: $140 \text{ см} - 100 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Ответ: за первые пять лет жизни ребенок вырос на 50 см; за последующие пять лет жизни — на 40 см.