Страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

264. В таблице, составленной в результате измерений, показана зависимость атмосферного давления p от высоты h:

а) Каково атмосферное давление на высоте 1 км; 4 км?
б) На какой высоте атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст.; 404,8 мм рт. ст.?
в) Как изменяется давление в зависимости от высоты?

а) Чтобы найти атмосферное давление на определённой высоте, нужно посмотреть на таблицу и найти соответствующее значение.

1. Находим в верхней строке таблицы значение высоты $h = 1$ км. В нижней строке, в том же столбце, указано соответствующее давление $p$. Оно равно 614,0 мм рт. ст.

2. Аналогично, находим в верхней строке таблицы значение высоты $h = 4$ км. Соответствующее ему давление $p$ в нижней строке составляет 462,2 мм рт. ст.

Ответ: на высоте 1 км атмосферное давление равно 614,0 мм рт. ст.; на высоте 4 км атмосферное давление равно 462,2 мм рт. ст.

б) Чтобы найти высоту, на которой наблюдается определённое атмосферное давление, нужно найти это значение давления в нижней строке таблицы и посмотреть соответствующую ему высоту в верхней строке.

1. Находим в нижней строке таблицы значение давления $p = 596,7$ мм рт. ст. В верхней строке, в том же столбце, указана соответствующая высота $h$. Она равна 2 км.

2. Находим в нижней строке таблицы значение давления $p = 404,8$ мм рт. ст. Соответствующая ему высота $h$ в верхней строке равна 5 км.

Ответ: атмосферное давление равно 596,7 мм рт. ст. на высоте 2 км; давление 404,8 мм рт. ст. соответствует высоте 5 км.

в) Проанализируем общую зависимость, представленную в таблице. В верхней строке значения высоты $h$ последовательно увеличиваются: 0 км, 0,5 км, 1 км, 2 км, 3 км, 4 км, 5 км. При этом соответствующие значения атмосферного давления $p$ в нижней строке последовательно уменьшаются: 760,0 мм рт. ст., 716,0 мм рт. ст., 614,0 мм рт. ст., 596,7 мм рт. ст., 525,7 мм рт. ст., 462,2 мм рт. ст., 404,8 мм рт. ст. Из этого следует, что с ростом высоты давление падает.

Ответ: с увеличением высоты атмосферное давление уменьшается.

265. В одном резервуаре 380 м³ воды, а в другом 1500 м³. В первый резервуар каждый час поступает 80 м³ воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м³. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?

Для того чтобы найти, через сколько часов воды в резервуарах станет поровну, необходимо составить уравнение. Пусть $t$ — искомое время в часах.

Объем воды в первом резервуаре через $t$ часов будет равен начальному объему плюс объем поступившей воды. Начальный объем — $380$ м?, и каждый час поступает $80$ м?. Таким образом, объем воды в первом резервуаре через $t$ часов можно выразить формулой:

$V_1 = 380 + 80t$

Объем воды во втором резервуаре через $t$ часов будет равен начальному объему минус объем выкачанной воды. Начальный объем — $1500$ м?, и каждый час выкачивают $60$ м?. Таким образом, объем воды во втором резервуаре через $t$ часов можно выразить формулой:

$V_2 = 1500 - 60t$

Нам нужно найти время $t$, когда объемы воды в резервуарах станут равными, то есть $V_1 = V_2$. Приравняем выражения для объемов:

$380 + 80t = 1500 - 60t$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $t$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$80t + 60t = 1500 - 380$

Выполним сложение и вычитание в обеих частях уравнения:

$140t = 1120$

Чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на 140:

$t = \frac{1120}{140}$

Сократим дробь на 10, а затем разделим числитель на знаменатель:

$t = \frac{112}{14} = 8$

Следовательно, через 8 часов количество воды в резервуарах станет одинаковым.

Выполним проверку. Через 8 часов в первом резервуаре будет $380 + 80 \cdot 8 = 380 + 640 = 1020$ м? воды. Во втором резервуаре будет $1500 - 60 \cdot 8 = 1500 - 480 = 1020$ м? воды. Объемы равны, решение верное.

Ответ: через 8 часов.

266. Отметьте точки А(4; −3) и В(−2; 6). Проведите прямую АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью х и осью у.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой, проходящей через точки A(4; -3) и B(-2; 6), с осями координат, сначала необходимо составить уравнение этой прямой. Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью y.

1. Вычислим угловой коэффициент $k$ по формуле, используя координаты точек A и B:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - (-3)}{-2 - 4} = \frac{9}{-6} = -\frac{3}{2}$

2. Теперь уравнение прямой имеет вид $y = -\frac{3}{2}x + b$. Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в это уравнение координаты одной из точек, например, точки A(4; -3):

$-3 = -\frac{3}{2} \cdot 4 + b$

$-3 = -6 + b$

$b = 6 - 3$

$b = 3$

Итак, уравнение прямой AB: $y = -\frac{3}{2}x + 3$.

Теперь найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями x и y.

Пересечение с осью x

Точка пересечения с осью x (осью абсцисс) имеет координату $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$0 = -\frac{3}{2}x + 3$

$\frac{3}{2}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{2}{3}$

$x = 2$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью x равны (2; 0).

Ответ: (2; 0).

Пересечение с осью y

Точка пересечения с осью y (осью ординат) имеет координату $x=0$. Подставим это значение в уравнение прямой:

$y = -\frac{3}{2} \cdot 0 + 3$

$y = 3$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью y равны (0; 3).

Ответ: (0; 3).