Номер 263, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Что такое функция. § 4. Функции и их графики. Глава 2. Функции - номер 263, страница 57.

263. Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4.
а) Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100.
б) В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент.
в) Какова область определения этой функции?
г) Какие числа служат значениями функции?

а) Чтобы найти остаток $r$ от деления натурального числа $n$ на 4, используется операция деления с остатком. Для любого целого числа $n$ и целого положительного делителя $d$ (в нашем случае $d=4$) существуют уникальные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что $n = d \cdot q + r$ и $0 \le r < d$.

Применим это правило к заданным числам:

- Для $n=13$: $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Остаток $r=1$.

- Для $n=34$: $34 = 4 \cdot 8 + 2$. Остаток $r=2$.

- Для $n=43$: $43 = 4 \cdot 10 + 3$. Остаток $r=3$.

- Для $n=100$: $100 = 4 \cdot 25 + 0$. Остаток $r=0$.

Ответ: для $n$, равных 13, 34, 43, 100, остатки $r$ равны соответственно 1, 2, 3, 0.

б) Функциональная зависимость описывает, как одно значение (значение функции) определяется другим значением (аргументом). В данном случае, остаток $r$ определяется натуральным числом $n$. Число, которое мы "подаем на вход" функции, является ее аргументом. Следовательно, аргументом этой функциональной зависимости является натуральное число $n$.
Ответ: аргументом является натуральное число $n$.

в) Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. По условию задачи, функция ставит в соответствие остаток каждому натуральному числу n. Множество натуральных чисел — это $\{1, 2, 3, \dots\}$, которое обозначается символом $\mathbb{N}$.
Ответ: область определения этой функции — множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$.

г) Значения функции (или область значений) — это множество всех возможных результатов, которые она может выдать. В данном случае, результатом является остаток $r$ от деления на 4. Согласно определению деления с остатком, остаток $r$ должен быть целым числом и удовлетворять неравенству $0 \le r < 4$. Таким образом, возможными значениями для остатка являются только числа 0, 1, 2 и 3. Все эти значения достижимы для натуральных аргументов $n$ (например, для $n=4, 1, 2, 3$ соответственно).
Ответ: значениями функции служат числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.