Страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

261. По озеру плавала яхта. Расстояние s (в километрах), на которое удалялась яхта от базы, менялось с течением времени движения t (в минутах). Изменение s в зависимости от t показано на рисунке 19. На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин; через 1 ч 20 мин; через 2 ч 30 мин? Какова область определения рассматриваемой функции?

На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин
Чтобы найти расстояние через 20 минут, находим на горизонтальной оси времени (ось $t$) отметку $t=20$. Поднимаемся от этой отметки вертикально до пересечения с линией графика. Затем от этой точки на графике движемся горизонтально к вертикальной оси расстояний (ось $s$). Значение на оси расстояний $s$ соответствует 4 км.
Ответ: 4 км.

На каком расстоянии от базы находилась яхта через 1 ч 20 мин
Сначала необходимо перевести время в минуты: $1$ ч $20$ мин = $60$ мин + $20$ мин = $80$ мин. Теперь находим на оси времени отметку $t=80$. Двигаясь от неё вверх до графика, а затем горизонтально к оси расстояний, мы видим, что соответствующее значение $s$ равно 9 км.
Ответ: 9 км.

На каком расстоянии от базы находилась яхта через 2 ч 30 мин
Переведём время в минуты: $2$ ч $30$ мин = $2 \times 60$ мин + $30$ мин = $150$ мин. График показывает движение яхты только до момента времени $t=140$ мин, когда она возвращается на базу ($s=0$ км). Поскольку путешествие, изображённое на графике, закончилось в $t=140$ мин, можно предположить, что в момент $t=150$ мин яхта всё ещё находилась на базе. Таким образом, расстояние от базы равно 0 км.
Ответ: 0 км.

Какова область определения рассматриваемой функции
Область определения функции — это все значения независимой переменной (аргумента), для которых функция задана. В данном случае это временной интервал, в течение которого наблюдалось движение яхты. По графику видно, что он начинается в $t=0$ и заканчивается в $t=140$ мин. Следовательно, область определения функции $s(t)$ — это отрезок от 0 до 140.
Ответ: $[0; 140]$.

262. На рисунке 20 показано изменение высоты сосны у (в метрах) в зависимости от её возраста х (в годах). Найдите:
а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет;
б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 70 до 120 лет.

а) Чтобы найти высоту сосны в определенном возрасте, необходимо найти на горизонтальной оси ($x$, возраст в годах) заданное значение, затем определить соответствующую ему точку на графике и найти координату этой точки по вертикальной оси ($y$, высота в метрах). Масштаб осей: по оси $x$ одна клетка равна 2 годам, по оси $y$ одна клетка равна 1 метру.

• Возраст 10 лет: Находим на оси $x$ отметку 10. Поднимаемся до графика и находим соответствующее значение по оси $y$. Высота сосны составляет 5 м.
• Возраст 40 лет: Находим на оси $x$ отметку 40. Соответствующая точка на графике по оси $y$ имеет значение 18. Высота сосны составляет 18 м.
• Возраст 90 лет: Находим на оси $x$ отметку 90. Соответствующая точка на графике по оси $y$ имеет значение 28. Высота сосны составляет 28 м.
• Возраст 120 лет: Находим на оси $x$ отметку 120. Соответствующая точка на графике по оси $y$ имеет значение 30. Высота сосны составляет 30 м.

Ответ: в 10 лет – 5 м; в 40 лет – 18 м; в 90 лет – 28 м; в 120 лет – 30 м.

б) Чтобы найти, на сколько выросла сосна за промежуток времени, нужно найти разность высот в конце и в начале этого промежутка.

• Промежуток от 20 до 60 лет:

  Сначала определим по графику высоту сосны в возрасте 20 и 60 лет.

  Высота в 20 лет ($y_{20}$) составляет 10 м.

  Высота в 60 лет ($y_{60}$) составляет 23 м.

  Прирост высоты равен: $\Delta y = y_{60} - y_{20} = 23 - 10 = 13$ м.

• Промежуток от 70 до 120 лет:

  Определим по графику высоту сосны в возрасте 70 и 120 лет.

  Высота в 70 лет ($y_{70}$) составляет 25 м.

  Высота в 120 лет ($y_{120}$) составляет 30 м.

  Прирост высоты равен: $\Delta y = y_{120} - y_{70} = 30 - 25 = 5$ м.

Ответ: за промежуток времени от 20 до 60 лет сосна выросла на 13 м; за промежуток от 70 до 120 лет сосна выросла на 5 м.

263. Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4.
а) Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100.
б) В рассматриваемой функциональной зависимости укажите аргумент.
в) Какова область определения этой функции?
г) Какие числа служат значениями функции?

а) Чтобы найти остаток $r$ от деления натурального числа $n$ на 4, используется операция деления с остатком. Для любого целого числа $n$ и целого положительного делителя $d$ (в нашем случае $d=4$) существуют уникальные целые числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток) такие, что $n = d \cdot q + r$ и $0 \le r < d$.

Применим это правило к заданным числам:

- Для $n=13$: $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Остаток $r=1$.

- Для $n=34$: $34 = 4 \cdot 8 + 2$. Остаток $r=2$.

- Для $n=43$: $43 = 4 \cdot 10 + 3$. Остаток $r=3$.

- Для $n=100$: $100 = 4 \cdot 25 + 0$. Остаток $r=0$.

Ответ: для $n$, равных 13, 34, 43, 100, остатки $r$ равны соответственно 1, 2, 3, 0.

б) Функциональная зависимость описывает, как одно значение (значение функции) определяется другим значением (аргументом). В данном случае, остаток $r$ определяется натуральным числом $n$. Число, которое мы "подаем на вход" функции, является ее аргументом. Следовательно, аргументом этой функциональной зависимости является натуральное число $n$.
Ответ: аргументом является натуральное число $n$.

в) Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать ее аргумент. По условию задачи, функция ставит в соответствие остаток каждому натуральному числу n. Множество натуральных чисел — это $\{1, 2, 3, \dots\}$, которое обозначается символом $\mathbb{N}$.
Ответ: область определения этой функции — множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$.

г) Значения функции (или область значений) — это множество всех возможных результатов, которые она может выдать. В данном случае, результатом является остаток $r$ от деления на 4. Согласно определению деления с остатком, остаток $r$ должен быть целым числом и удовлетворять неравенству $0 \le r < 4$. Таким образом, возможными значениями для остатка являются только числа 0, 1, 2 и 3. Все эти значения достижимы для натуральных аргументов $n$ (например, для $n=4, 1, 2, 3$ соответственно).
Ответ: значениями функции служат числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.