Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

247. Задайте неравенством числовой промежуток, изображённый на рисунке:

а) На числовой оси изображен луч, начинающийся в точке -1. Точка -1 отмечена закрашенным кружком, что означает, что она включена в промежуток. Луч направлен в сторону положительной бесконечности. Это соответствует всем числам, которые больше или равны -1. Такое условие задается нестрогим неравенством.

Ответ: $x \ge -1$

б) На числовой оси изображен отрезок, ограниченный точками -2 и 2,5. Обе точки отмечены закрашенными кружками, следовательно, они включены в промежуток. Это означает, что искомые числа $x$ должны быть больше или равны -2 и одновременно меньше или равны 2,5. Это записывается в виде двойного нестрогого неравенства.

Ответ: $-2 \le x \le 2,5$

в) На числовой оси изображен полуинтервал. Левая граница в точке 4 отмечена закрашенным кружком, значит, число 4 входит в промежуток ($x \ge 4$). Правая граница в точке 12 отмечена выколотым (пустым) кружком, значит, число 12 не входит в промежуток ($x < 12$). Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство.

Ответ: $4 \le x < 12$

г) На числовой оси изображен интервал, ограниченный точками -5 и 0,2. Обе точки отмечены выколотыми (пустыми) кружками, что означает, что они не включены в промежуток. Это соответствует строгим неравенствам: искомые числа $x$ должны быть строго больше -5 и строго меньше 0,2.

Ответ: $-5 < x < 0,2$

248. Задайте неравенством числовой промежуток, изображённый на рисунке:

а) На числовой оси изображён промежуток, ограниченный точками $-5$ и $-2$. Точка $-5$ обозначена пустым (выколотым) кружком, что означает, что она не включается в промежуток. Это соответствует знаку строгого неравенства: $x > -5$. Точка $-2$ обозначена закрашенным кружком, что означает, что она включается в промежуток. Это соответствует знаку нестрогого неравенства: $x \le -2$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство, которое задаёт данный числовой промежуток.
Ответ: $-5 < x \le -2$.

б) На числовой оси изображён числовой луч, который начинается от точки $-3$ и продолжается в сторону уменьшения чисел (влево). Точка $-3$ обозначена выколотым кружком, поэтому она не принадлежит данному промежутку. Это означает, что все числа в промежутке строго меньше $-3$.
Ответ: $x < -3$.

в) На числовой оси изображён промежуток, ограниченный точками $-0,5$ и $7,2$. Обе точки, $-0,5$ и $7,2$, обозначены закрашенными кружками. Это означает, что оба числа включаются в промежуток. Левая граница соответствует нестрогому неравенству $x \ge -0,5$, а правая граница — нестрогому неравенству $x \le 7,2$. Таким образом, мы получаем двойное нестрогое неравенство.
Ответ: $-0,5 \le x \le 7,2$.

г) На числовой оси изображён промежуток, ограниченный точками $-5$ и $-1,7$. Обе точки, $-5$ и $-1,7$, обозначены выколотыми кружками. Это означает, что ни одна из этих точек не включается в промежуток. Левая граница соответствует строгому неравенству $x > -5$, а правая граница — строгому неравенству $x < -1,7$. В результате получаем двойное строгое неравенство.
Ответ: $-5 < x < -1,7$.

249. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:

а) Неравенство $x > -2$ задает числовой промежуток, который называется открытым лучом. На координатной прямой он изображается следующим образом:
1. Отмечаем на прямой точку с координатой -2.
2. Так как неравенство строгое (знак >), точка -2 не включается в промежуток. На прямой это обозначается "выколотой" (пустой) точкой.
3. Штриховкой выделяем все числа, которые находятся правее точки -2, так как они удовлетворяют условию $x > -2$. Штриховка идет до $+\infty$.
Таким образом, мы изображаем все числа от -2, не включая само число -2, до плюс бесконечности.
Ответ: $(-2; +\infty)$.

б) Двойное неравенство $-3 < x \le 4$ задает числовой промежуток, который называется полуинтервалом. На координатной прямой он изображается так:
1. Отмечаем на прямой точки с координатами -3 и 4.
2. Левая часть неравенства строгая ($-3 < x$), поэтому точка -3 не включается в промежуток и обозначается "выколотой" точкой.
3. Правая часть неравенства нестрогая ($x \le 4$), поэтому точка 4 включается в промежуток и обозначается "закрашенной" (сплошной) точкой.
4. Штриховкой выделяем область между точками -3 и 4.
Таким образом, мы изображаем все числа, которые больше -3 и меньше либо равны 4.
Ответ: $(-3; 4]$.

в) Двойное неравенство $-2 \le x \le 5$ задает числовой промежуток, который называется отрезком. На координатной прямой он изображается следующим образом:
1. Отмечаем на прямой точки с координатами -2 и 5.
2. Обе части неравенства нестрогие (знаки $\le$), поэтому обе точки, -2 и 5, включаются в промежуток. Они обозначаются "закрашенными" точками.
3. Штриховкой выделяем область между точками -2 и 5.
Таким образом, мы изображаем все числа от -2 до 5, включая концы промежутка.
Ответ: $[-2; 5]$.

г) Двойное неравенство $-5 < x < -2$ задает числовой промежуток, который называется интервалом. На координатной прямой он изображается так:
1. Отмечаем на прямой точки с координатами -5 и -2.
2. Обе части неравенства строгие (знаки <), поэтому обе точки, -5 и -2, не включаются в промежуток. Они обозначаются "выколотыми" точками.
3. Штриховкой выделяем область между точками -5 и -2.
Таким образом, мы изображаем все числа, которые строго больше -5 и строго меньше -2.
Ответ: $(-5; -2)$.

250. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:

Для изображения числовых промежутков на координатной прямой используются следующие правила:

• Если неравенство строгое (знаки $<$ или $>$), то точка на прямой, соответствующая граничному числу, изображается выколотой (пустым кружком), а в записи промежутка используются круглые скобки.
• Если неравенство нестрогое (знаки $\le$ или $\ge$), то точка на прямой изображается закрашенной (сплошным кружком), а в записи промежутка используются квадратные скобки.

Неравенство $x < -3$ задает множество всех чисел, которые строго меньше, чем -3. Это числовой промежуток, который является открытым лучом. На координатной прямой нужно отметить точку -3. Так как неравенство строгое, точка -3 не входит в промежуток, и мы отмечаем ее выколотым (пустым) кружком. Все числа, удовлетворяющие этому неравенству, находятся левее точки -3, поэтому мы заштриховываем область на прямой слева от -3. Этот промежуток записывается как $(-\infty; -3)$.

Ответ: $(-\infty; -3)$

Двойное неравенство $-3 \le x < 6$ задает множество всех чисел, которые больше или равны -3 и одновременно строго меньше 6. Это полуинтервал. На координатной прямой нужно отметить точки -3 и 6. Точка -3 входит в промежуток (неравенство нестрогое, $\le$), поэтому мы отмечаем ее закрашенным кружком. Точка 6 не входит в промежуток (неравенство строгое, $<$), поэтому мы отмечаем ее выколотым кружком. Заштриховываем область между точками -3 и 6. Этот промежуток записывается как $[-3; 6)$.

Ответ: $[-3; 6)$

Двойное неравенство $-3 \le x \le 2$ задает множество всех чисел, которые больше или равны -3 и одновременно меньше или равны 2. Это отрезок. На координатной прямой нужно отметить точки -3 и 2. Обе точки входят в промежуток, так как оба неравенства нестрогие ($\le$), поэтому мы отмечаем их закрашенными кружками. Заштриховываем область между точками -3 и 2. Этот промежуток записывается как $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$

Двойное неравенство $-4 < x < 2$ задает множество всех чисел, которые строго больше -4 и одновременно строго меньше 2. Это интервал. На координатной прямой нужно отметить точки -4 и 2. Обе точки не входят в промежуток, так как оба неравенства строгие ($<$), поэтому мы отмечаем их выколотыми кружками. Заштриховываем область между точками -4 и 2. Этот промежуток записывается как $(-4; 2)$.

Ответ: $(-4; 2)$

251. Найдите расстояние между точками:

а) Чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, нужно из координаты одной точки вычесть координату другой и взять модуль полученного числа. Координаты точек $S(7,45)$ и $D(1,15)$ равны $x_S = 7,45$ и $x_D = 1,15$.

Расстояние $SD$ вычисляется по формуле: $SD = |x_D - x_S|$.

Подставим числовые значения:

$SD = |1,15 - 7,45| = |-6,3| = 6,3$.

Ответ: 6,3

б) Координаты точек $R(-5,3)$ и $T(-8,93)$ равны $x_R = -5,3$ и $x_T = -8,93$.

Расстояние $RT$ вычисляется по формуле: $RT = |x_T - x_R|$.

Подставим числовые значения:

$RT = |-8,93 - (-5,3)| = |-8,93 + 5,3| = |-3,63| = 3,63$.

Ответ: 3,63

в) Координаты точек $K(9,43)$ и $L(-9,43)$ равны $x_K = 9,43$ и $x_L = -9,43$.

Расстояние $KL$ вычисляется по формуле: $KL = |x_L - x_K|$.

Подставим числовые значения:

$KL = |-9,43 - 9,43| = |-18,86| = 18,86$.

Ответ: 18,86

г) Координаты точек $A(-5\frac{1}{3})$ и $B(3\frac{2}{3})$ равны $x_A = -5\frac{1}{3}$ и $x_B = 3\frac{2}{3}$.

Расстояние $AB$ вычисляется по формуле: $AB = |x_B - x_A|$.

Подставим числовые значения:

$AB = |3\frac{2}{3} - (-5\frac{1}{3})| = |3\frac{2}{3} + 5\frac{1}{3}|$.

Сложим целые и дробные части по отдельности:

$AB = |(3 + 5) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3})| = |8 + \frac{3}{3}| = |8 + 1| = |9| = 9$.

Ответ: 9

252. На координатной прямой отмечены точки А(−5), В(−3), С(1) и В(6). Найдите расстояние между серединами отрезков AD и ВС.

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий: сначала найти координаты середин отрезков $AD$ и $BC$, а затем вычислить расстояние между этими найденными точками.

1. Найдём координату середины отрезка $AD$. Обозначим эту точку как $M$. Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Координаты точек $A$ и $D$ равны $-5$ и $6$.

Формула для нахождения координаты середины отрезка:$x_M = \frac{x_A + x_D}{2}$

Подставим значения координат точек $A$ и $D$:$x_M = \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Таким образом, координата середины отрезка $AD$ равна $0,5$.

2. Найдём координату середины отрезка $BC$. Обозначим эту точку как $N$. Координаты точек $B$ и $C$ равны $-3$ и $1$.

Используем ту же формулу для нахождения координаты середины:$x_N = \frac{x_B + x_C}{2}$

Подставим значения координат точек $B$ и $C$:$x_N = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координата середины отрезка $BC$ равна $-1$.

3. Найдём расстояние между серединами отрезков $AD$ и $BC$, то есть между точками $M(0,5)$ и $N(-1)$. Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат.

$d = |x_M - x_N| = |0,5 - (-1)| = |0,5 + 1| = |1,5| = 1,5$

Расстояние между серединами отрезков $AD$ и $BC$ составляет $1,5$.

Ответ: 1,5