Страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

217. Класс в школе, в которой учится Вася, имеет длину, равную 9 м, а ширину − на 3,75 м меньше. В классе три одинаковых окна высотой 2,1 м и шириной 1,5 м.

Комната Васи в квартире, в которой он живёт, имеет ширину 4 м, а длину − 4,5 м. В комнате два квадратных окна размером 1,5 х 1,5 м.

Выясните, в каком помещении лучше естественное освещение. Для этого:

1) Найдите площадь всех окон класса (световую площадь).

2) Вычислите площадь класса.

3) Узнайте, сколько процентов составляет световая площадь класса по отношению к площади пола.

4) Вычислите площадь комнаты Васи.

5) Подсчитайте световую площадь комнаты и узнайте, сколько процентов составляет световая площадь комнаты по отношению к площади пола.

6) Что больше: световая площадь комнаты Васи или световая площадь класса, в котором он учится, и на сколько процентов?

7) Ответьте на вопрос задачи.

1) Найдите площадь всех окон класса (световую площадь).

Сначала найдем площадь одного окна в классе. Окна прямоугольные, поэтому их площадь равна произведению высоты на ширину:$S_{\text{окна кл.}} = 2,1 \text{ м} \times 1,5 \text{ м} = 3,15 \text{ м}^2$.

В классе три одинаковых окна, значит, общая световая площадь равна утроенной площади одного окна:$S_{\text{свет. кл.}} = 3 \times S_{\text{окна кл.}} = 3 \times 3,15 \text{ м}^2 = 9,45 \text{ м}^2$.

Ответ: $9,45 \text{ м}^2$.

2) Вычислите площадь класса.

Сначала определим ширину класса. Она на 3,75 м меньше длины, которая равна 9 м:$b_{\text{кл.}} = 9 \text{ м} - 3,75 \text{ м} = 5,25 \text{ м}$.

Теперь вычислим площадь пола класса как произведение длины на ширину:$S_{\text{пола кл.}} = 9 \text{ м} \times 5,25 \text{ м} = 47,25 \text{ м}^2$.

Ответ: $47,25 \text{ м}^2$.

3) Узнайте, сколько процентов составляет световая площадь класса по отношению к площади пола.

Чтобы найти это отношение в процентах, нужно световую площадь разделить на площадь пола и умножить на 100%:$\frac{S_{\text{свет. кл.}}}{S_{\text{пола кл.}}} \times 100\% = \frac{9,45}{47,25} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

4) Вычислите площадь комнаты Васи.

Площадь пола комнаты Васи равна произведению ее длины на ширину:$S_{\text{пола ком.}} = 4,5 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 18 \text{ м}^2$.

Ответ: $18 \text{ м}^2$.

5) Подсчитайте световую площадь комнаты и узнайте, сколько процентов составляет световая площадь комнаты по отношению к площади пола.

В комнате Васи два квадратных окна размером 1,5 м ? 1,5 м. Найдем площадь одного такого окна:$S_{\text{окна ком.}} = 1,5 \text{ м} \times 1,5 \text{ м} = 2,25 \text{ м}^2$.

Так как окон два, общая световая площадь комнаты:$S_{\text{свет. ком.}} = 2 \times S_{\text{окна ком.}} = 2 \times 2,25 \text{ м}^2 = 4,5 \text{ м}^2$.

Теперь найдем процентное отношение световой площади комнаты к площади ее пола:$\frac{S_{\text{свет. ком.}}}{S_{\text{пола ком.}}} \times 100\% = \frac{4,5}{18} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: световая площадь комнаты равна $4,5 \text{ м}^2$, что составляет 25% от площади пола.

6) Что больше: световая площадь комнаты Васи или световая площадь класса, в котором он учится, и на сколько процентов?

Сравним абсолютные значения световых площадей:

• Световая площадь класса: $S_{\text{свет. кл.}} = 9,45 \text{ м}^2$.
• Световая площадь комнаты: $S_{\text{свет. ком.}} = 4,5 \text{ м}^2$.

Так как $9,45 \text{ м}^2 > 4,5 \text{ м}^2$, световая площадь класса больше.

Чтобы найти, на сколько процентов она больше, найдем разницу и разделим ее на величину, с которой сравниваем (световая площадь комнаты):$\frac{S_{\text{свет. кл.}} - S_{\text{свет. ком.}}}{S_{\text{свет. ком.}}} \times 100\% = \frac{9,45 - 4,5}{4,5} \times 100\% = \frac{4,95}{4,5} \times 100\% = 1,1 \times 100\% = 110\%$.

Ответ: световая площадь класса больше световой площади комнаты Васи на 110%.

7) Ответьте на вопрос задачи.

Главный вопрос задачи — в каком помещении лучше естественное освещение. Качество освещения определяется не абсолютной площадью окон, а отношением световой площади к площади пола. Сравним эти показатели:

• Отношение для класса: 20%.
• Отношение для комнаты Васи: 25%.

Поскольку $25\% > 20\%$, то естественное освещение лучше в комнате Васи, несмотря на то, что общая площадь окон там меньше.

Ответ: естественное освещение лучше в комнате Васи.

218. Найдите значение выражения:
а) 5,9 · 2,6 + 5,9 · 3,2 + 5,8 · 4,1;
б) 6,8 · 8,4 + 1,6 · 8,4 + 5,2 · 1,6.

а) $5,9 \cdot 2,6 + 5,9 \cdot 3,2 + 5,8 \cdot 4,1$

Для решения этого выражения воспользуемся распределительным свойством умножения, которое позволяет выносить общий множитель за скобки. В первых двух слагаемых ($5,9 \cdot 2,6$ и $5,9 \cdot 3,2$) общим множителем является $5,9$.

Вынесем $5,9$ за скобки:

$5,9 \cdot (2,6 + 3,2) + 5,8 \cdot 4,1$

Теперь вычислим сумму в скобках:

$2,6 + 3,2 = 5,8$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$5,9 \cdot 5,8 + 5,8 \cdot 4,1$

Теперь мы видим, что в новом выражении есть общий множитель $5,8$. Снова вынесем его за скобки:

$5,8 \cdot (5,9 + 4,1)$

Вычислим сумму в скобках:

$5,9 + 4,1 = 10$

Осталось выполнить последнее умножение:

$5,8 \cdot 10 = 58$

Ответ: $58$

б) $6,8 \cdot 8,4 - 1,6 \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6$

В этом выражении также применим распределительное свойство. В первых двух членах ($6,8 \cdot 8,4$ и $-1,6 \cdot 8,4$) общим множителем является $8,4$.

Вынесем $8,4$ за скобки:

$(6,8 - 1,6) \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6$

Вычислим разность в скобках:

$6,8 - 1,6 = 5,2$

Подставим результат в выражение:

$5,2 \cdot 8,4 + 5,2 \cdot 1,6$

Теперь у нас появился новый общий множитель $5,2$. Вынесем его за скобки:

$5,2 \cdot (8,4 + 1,6)$

Вычислим сумму в скобках:

$8,4 + 1,6 = 10$

Выполним финальное умножение:

$5,2 \cdot 10 = 52$

Ответ: $52$

219.Вычислите:

а) (1,25 · 1,7 · 0,8 − 1,7) · 3,45;
6) 3,947 : (3,6 − 2,6 · 4 + 0,25).

а) $(1,25 \cdot 1,7 \cdot 0,8 - 1,7) \cdot 3,45$

Для решения данного примера выполним вычисления по действиям, начиная с выражения в скобках.
1. В выражении $(1,25 \cdot 1,7 \cdot 0,8 - 1,7)$ можно заметить общий множитель $1,7$. Для упрощения вычислений вынесем его за скобки:
$1,7 \cdot (1,25 \cdot 0,8 - 1)$
2. Вычислим произведение внутри новых скобок:
$1,25 \cdot 0,8 = 1$
3. Теперь выполним вычитание в скобках:
$1 - 1 = 0$
4. Таким образом, значение всего выражения в исходных скобках равно:
$1,7 \cdot 0 = 0$
5. Выполним последнее действие — умножение:
$0 \cdot 3,45 = 0$

Ответ: $0$.

б) $3,947 : (3,6 - 2,6 \cdot 4 \cdot 0,25)$

Выполним вычисления по действиям, соблюдая их правильный порядок.
1. Сначала выполним действия в скобках. Внутри скобок в первую очередь выполняется умножение $2,6 \cdot 4 \cdot 0,25$. Для удобства сгруппируем множители:
$4 \cdot 0,25 = 1$
Теперь умножим на $2,6$:
$2,6 \cdot 1 = 2,6$
2. Теперь выполним вычитание в скобках:
$3,6 - 2,6 = 1$
3. Последним действием выполним деление:
$3,947 : 1 = 3,947$

Ответ: $3,947$.

220.Объясните, почему равенство является тождеством:

а) Тождество $|x| = |-x|$ верно, потому что модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Противоположные числа, такие как $x$ и $-x$, находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Например, числа 7 и -7 оба удалены от 0 на 7 единиц.

Алгебраически это можно доказать, рассмотрев все возможные случаи для переменной $x$:

1. Если $x > 0$ (положительное число), то по определению $|x| = x$. В этом случае $-x$ будет отрицательным числом, и его модуль будет равен $|-x| = -(-x) = x$. Таким образом, левая и правая части равны: $x = x$.

2. Если $x < 0$ (отрицательное число), то по определению $|x| = -x$. В этом случае $-x$ будет положительным числом, и его модуль будет равен $|-x| = -x$. Таким образом, левая и правая части снова равны: $-x = -x$.

3. Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$ и $|-x| = |-0| = |0| = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.

Так как равенство выполняется при любых действительных значениях $x$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как для любого числа $x$ его модуль (расстояние до нуля) равен модулю противоположного ему числа $-x$.

б) Тождество $|x - y| = |y - x|$ является прямым следствием свойства, доказанного в пункте а).

Рассмотрим выражения, стоящие под знаком модуля: $x - y$ и $y - x$. Эти выражения являются противоположными, поскольку $y - x = -1 \cdot (x - y) = -(x - y)$.

Если мы обозначим выражение $x - y$ новой переменной, например, $z = x - y$, то выражение $y - x$ будет равно $-z$. Тогда исходное равенство примет вид $|z| = |-z|$.

Из пункта а) мы знаем, что $|z| = |-z|$ является тождеством и верно для любого значения $z$. Поскольку $z$ (равное $x - y$) может принимать любое действительное значение в зависимости от $x$ и $y$, то и исходное равенство $|x - y| = |y - x|$ всегда будет верным.

Геометрический смысл этого тождества заключается в том, что $|x - y|$ — это расстояние между точками $x$ и $y$ на числовой прямой. Расстояние от точки $x$ до точки $y$ всегда равно расстоянию от точки $y$ до точки $x$.

Ответ: Равенство является тождеством, потому что выражения $x - y$ и $y - x$ являются противоположными, а модули противоположных выражений всегда равны.

в) Тождество $|2c| = 2|c|$ можно доказать, используя одно из основных свойств модуля, а именно свойство модуля произведения: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.

Применим это свойство к левой части нашего равенства:

$|2c| = |2 \cdot c| = |2| \cdot |c|$

Поскольку число 2 является положительным, его модуль $|2|$ равен самому числу 2. Подставив это значение, получаем:

$|2c| = 2 \cdot |c|$

Это доказывает, что равенство является тождеством. В общем случае, любой неотрицательный множитель можно выносить за знак модуля.

Также можно провести доказательство, рассмотрев случаи:

1. Если $c \ge 0$, то $|c| = c$. Правая часть: $2|c| = 2c$. Левая часть: так как $c \ge 0$, то $2c \ge 0$, следовательно $|2c| = 2c$. Равенство $2c = 2c$ верно.

2. Если $c < 0$, то $|c| = -c$. Правая часть: $2|c| = 2(-c) = -2c$. Левая часть: так как $c < 0$, то $2c < 0$, следовательно $|2c| = -(2c) = -2c$. Равенство $-2c = -2c$ верно.

Так как равенство выполняется при любых значениях $c$, оно является тождеством.

Ответ: Равенство является тождеством, так как оно следует из свойства модуля произведения $|ab| = |a||b|$, и того факта, что $|2| = 2$.

221.Является ли тождеством равенство:

а) Чтобы равенство $|a + 5| = a + 5$ было тождеством, оно должно выполняться для любого значения $a$. По определению модуля, равенство $|x| = x$ справедливо только тогда, когда $x \ge 0$. В нашем случае это означает, что $a + 5 \ge 0$, то есть $a \ge -5$. Если взять значение $a$, которое не удовлетворяет этому условию, например $a = -6$, то равенство не будет верным.
Проверим:
Левая часть: $|-6 + 5| = |-1| = 1$.
Правая часть: $-6 + 5 = -1$.
Поскольку $1 \ne -1$, равенство не выполняется для всех $a$. Значит, это не тождество.
Ответ: нет.

б) Рассмотрим равенство $|a^2 + 4| = a^2 + 4$. Это равенство будет верным, если выражение под знаком модуля, $a^2 + 4$, всегда будет неотрицательным. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ всегда больше или равен нулю ($a^2 \ge 0$). Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным: $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $a^2 + 4 \ge 4$. Так как выражение $a^2 + 4$ всегда положительно, его модуль равен самому этому выражению для любого значения $a$. Следовательно, это тождество.
Ответ: да.

в) Рассмотрим равенство $|a - b| - |b - a| = 0$. Его можно преобразовать к виду $|a - b| = |b - a|$. Воспользуемся свойством модуля, согласно которому $|x| = |-x|$ для любого $x$. Выражение $b - a$ является противоположным выражению $a - b$, то есть $b - a = -(a - b)$. Тогда $|b - a| = |-(a - b)|$. По указанному свойству модуля, $|-(a - b)| = |a - b|$. Таким образом, мы получаем верное равенство $|a - b| = |a - b|$, которое справедливо для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное равенство является тождеством.
Ответ: да.

г) Проверим, является ли тождеством равенство $|a + b| - |a| = |b|$. Перепишем его в виде $|a + b| = |a| + |b|$. Это равенство является частным случаем неравенства треугольника ($|a + b| \le |a| + |b|$) и обращается в строгое равенство только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или одно из них равно нулю ($ab \ge 0$). Если же $a$ и $b$ имеют разные знаки, то равенство не выполняется.
Приведем контрпример. Пусть $a = 5$ и $b = -2$.
Левая часть: $|5 + (-2)| - |5| = |3| - 5 = 3 - 5 = -2$.
Правая часть: $|-2| = 2$.
Поскольку $-2 \ne 2$, равенство не выполняется для всех $a$ и $b$. Значит, это не тождество.
Ответ: нет.

222. Докажите, что:

а) если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное первое число;

б) если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получится удвоенное второе число.

а) Для доказательства введем переменные. Пусть первое число будет $a$, а второе число — $b$.

Сумма этих двух чисел равна $a + b$.

Разность этих двух чисел равна $a - b$.

Согласно условию, нужно к сумме чисел прибавить их разность. Составим математическое выражение:

$(a + b) + (a - b)$

Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не меняются:

$a + b + a - b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a + a) + (b - b) = 2a + 0 = 2a$

В результате мы получили $2a$, что является удвоенным первым числом. Утверждение доказано.

Ответ: $(a + b) + (a - b) = 2a$.

б) Используем те же переменные: первое число — $a$, второе число — $b$.

Сумма чисел: $a + b$.

Разность чисел: $a - b$.

Согласно условию, нужно из суммы чисел вычесть их разность. Составим соответствующее выражение:

$(a + b) - (a - b)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$a + b - a + b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a - a) + (b + b) = 0 + 2b = 2b$

В результате мы получили $2b$, что является удвоенным вторым числом. Утверждение доказано.

Ответ: $(a + b) - (a - b) = 2b$.

223. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:

а) (а + b)х + (а − b)х − 2ах; б) 8(х − у) + 8(у − х).

а)

Чтобы доказать, что выражение $(a+b)x + (a-b)x - 2ax$ тождественно равно нулю, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член в них на $x$:

$(a+b)x + (a-b)x - 2ax = (ax + bx) + (ax - bx) - 2ax$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ax + ax - 2ax) + (bx - bx) = 2ax - 2ax + 0 = 0$

Так как в результате преобразований выражение обратилось в ноль, тождество доказано.

Ответ: 0.

б)

Чтобы доказать, что выражение $8(x-y) + 8(y-x)$ тождественно равно нулю, упростим его, раскрыв скобки:

$8(x-y) + 8(y-x) = (8x - 8y) + (8y - 8x)$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8x - 8x) + (-8y + 8y) = 0 + 0 = 0$

Поскольку в результате упрощения мы получили 0, тождество доказано.

Ответ: 0.