Номер 221, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 221, страница 48.

221.Является ли тождеством равенство:

а) |а + 5| = а + 5;
б) |а² + 4| = а² + 4;

в) |а − b| − |b − а| = 0;
г) |а + b| − |а| = |b|?

а) Чтобы равенство $|a + 5| = a + 5$ было тождеством, оно должно выполняться для любого значения $a$. По определению модуля, равенство $|x| = x$ справедливо только тогда, когда $x \ge 0$. В нашем случае это означает, что $a + 5 \ge 0$, то есть $a \ge -5$. Если взять значение $a$, которое не удовлетворяет этому условию, например $a = -6$, то равенство не будет верным.
Проверим:
Левая часть: $|-6 + 5| = |-1| = 1$.
Правая часть: $-6 + 5 = -1$.
Поскольку $1 \ne -1$, равенство не выполняется для всех $a$. Значит, это не тождество.
Ответ: нет.

б) Рассмотрим равенство $|a^2 + 4| = a^2 + 4$. Это равенство будет верным, если выражение под знаком модуля, $a^2 + 4$, всегда будет неотрицательным. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ всегда больше или равен нулю ($a^2 \ge 0$). Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным: $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $a^2 + 4 \ge 4$. Так как выражение $a^2 + 4$ всегда положительно, его модуль равен самому этому выражению для любого значения $a$. Следовательно, это тождество.
Ответ: да.

в) Рассмотрим равенство $|a - b| - |b - a| = 0$. Его можно преобразовать к виду $|a - b| = |b - a|$. Воспользуемся свойством модуля, согласно которому $|x| = |-x|$ для любого $x$. Выражение $b - a$ является противоположным выражению $a - b$, то есть $b - a = -(a - b)$. Тогда $|b - a| = |-(a - b)|$. По указанному свойству модуля, $|-(a - b)| = |a - b|$. Таким образом, мы получаем верное равенство $|a - b| = |a - b|$, которое справедливо для любых значений $a$ и $b$. Следовательно, исходное равенство является тождеством.
Ответ: да.

г) Проверим, является ли тождеством равенство $|a + b| - |a| = |b|$. Перепишем его в виде $|a + b| = |a| + |b|$. Это равенство является частным случаем неравенства треугольника ($|a + b| \le |a| + |b|$) и обращается в строгое равенство только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или одно из них равно нулю ($ab \ge 0$). Если же $a$ и $b$ имеют разные знаки, то равенство не выполняется.
Приведем контрпример. Пусть $a = 5$ и $b = -2$.
Левая часть: $|5 + (-2)| - |5| = |3| - 5 = 3 - 5 = -2$.
Правая часть: $|-2| = 2$.
Поскольку $-2 \ne 2$, равенство не выполняется для всех $a$ и $b$. Значит, это не тождество.
Ответ: нет.