Номер 214, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 214, страница 47.

214.а) Известно, что |a| < |b|. Верно ли, что a < b?

б) Известно, что |а| > |b|. Возможно ли, чтобы

а)

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Неравенство $|a| < |b|$ означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой оси меньше, чем расстояние от точки $b$ до нуля. Это условие не даёт однозначной информации о взаимном расположении самих чисел $a$ и $b$. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Рассмотрим случай, когда оба числа отрицательны. Пусть $a = -2$ и $b = -3$.

Вычислим их модули:

$|a| = |-2| = 2$

$|b| = |-3| = 3$

Условие $|a| < |b|$ выполняется, так как $2 < 3$.

Однако, если мы сравним сами числа, то получим $a > b$, так как $-2 > -3$.

Таким образом, мы нашли пример, когда $|a| < |b|$, но при этом $a > b$. Следовательно, утверждение "если $|a| < |b|$, то $a < b$" не является верным для всех чисел.

Ответ: нет, неверно.

б)

Да, такая ситуация возможна. Условие $|a| > |b|$ означает, что точка $a$ на числовой оси находится дальше от нуля, чем точка $b$. Мы должны проверить, может ли при этом выполняться неравенство $a < b$, то есть может ли точка $a$ находиться левее точки $b$.

Это возможно, если число $a$ является отрицательным.

Рассмотрим пример. Пусть $a = -5$ и $b = 3$.

Вычислим их модули:

$|a| = |-5| = 5$

$|b| = |3| = 3$

Условие $|a| > |b|$ выполняется, так как $5 > 3$.

При этом неравенство $a < b$ также выполняется, так как $-5 < 3$.

Другой возможный пример — когда оба числа отрицательны. Пусть $a = -4$ и $b = -2$.

$|a| = |-4| = 4$

$|b| = |-2| = 2$

Условие $|a| > |b|$ выполняется ($4 > 2$), и условие $a < b$ также выполняется ($-4 < -2$).

Следовательно, одновременное выполнение условий $|a| > |b|$ и $a < b$ возможно.

Ответ: да, возможно.