Номер 212, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 1. Выражения, тождества, уравнения. Дополнительные упражнения к главе I. К параграфу 1 - номер 212, страница 47.

Условие.

212.Верно ли, что для любых чисел а и b:

а) |а + b| = |а| + |b|; б) |аb| = |а| · |b|?

Решение 1.

а) Неверно, например
a = 2 и b = -2;
|а + b| = |2 + (-2)| = 0;
|а| + |b| = |2| + |-2| = 2 + 2 = 4;
Получим, что |а + b| < |а| + |b|

б) Верно, так как |ab| ≥ 0 и
|а| · |b| ≥ 0.
Например, a = 3; b = -2;
|3 · (-2)| = |3| · |-2|;
|-6| = 3 · 2;
6 = 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Данное утверждение неверно. Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ (известное как равенство в неравенстве треугольника) выполняется только в том случае, когда числа a и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю (то есть, когда $ab \ge 0$). Если же числа a и b имеют разные знаки, то $|a + b| < |a| + |b|$.

Чтобы доказать, что утверждение неверно для любых чисел, достаточно привести один контрпример, где числа имеют разные знаки.

Пусть $a = 5$ и $b = -2$.

Найдем значение левой части равенства: $|a + b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$.

Найдем значение правой части равенства: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$.

Сравнив результаты, получаем $3 \ne 7$. Следовательно, равенство $|a + b| = |a| + |b|$ выполняется не для любых чисел a и b.

Ответ: нет, не верно.

б)

Данное утверждение верно. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ является одним из основных свойств модуля (абсолютной величины) и выполняется для любых чисел a и b.

Для доказательства рассмотрим все возможные случаи знаков чисел a и b.

1. Если оба числа неотрицательны ($a \ge 0$, $b \ge 0$):
Их произведение $ab \ge 0$. Тогда по определению модуля $|ab| = ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot b$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.

2. Если оба числа отрицательны ($a < 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab > 0$. Тогда $|ab| = ab$.
Также, $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab \le 0$. Тогда $|ab| = -(ab) = -ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Равенство выполняется: $-ab = -ab$.
Аналогично доказывается для случая $a < 0$ и $b \ge 0$.

Поскольку равенство выполняется во всех возможных случаях, оно верно для любых чисел a и b.

Ответ: да, верно.