Номер 212, страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 212, страница 47.
№212 (с. 47)
Условие. №212 (с. 47)
скриншот условия

212.Верно ли, что для любых чисел а и b:
а) |а + b| = |а| + |b|; б) |аb| = |а| · |b|?
Решение 1. №212 (с. 47)


Решение 2. №212 (с. 47)


Решение 3. №212 (с. 47)

Решение 4. №212 (с. 47)

Решение 5. №212 (с. 47)
а)
Данное утверждение неверно. Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ (известное как равенство в неравенстве треугольника) выполняется только в том случае, когда числа a и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю (то есть, когда $ab \ge 0$). Если же числа a и b имеют разные знаки, то $|a + b| < |a| + |b|$.
Чтобы доказать, что утверждение неверно для любых чисел, достаточно привести один контрпример, где числа имеют разные знаки.
Пусть $a = 5$ и $b = -2$.
Найдем значение левой части равенства: $|a + b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$.
Найдем значение правой части равенства: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$.
Сравнив результаты, получаем $3 \ne 7$. Следовательно, равенство $|a + b| = |a| + |b|$ выполняется не для любых чисел a и b.
Ответ: нет, не верно.
б)
Данное утверждение верно. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ является одним из основных свойств модуля (абсолютной величины) и выполняется для любых чисел a и b.
Для доказательства рассмотрим все возможные случаи знаков чисел a и b.
1. Если оба числа неотрицательны ($a \ge 0$, $b \ge 0$):
Их произведение $ab \ge 0$. Тогда по определению модуля $|ab| = ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot b$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.
2. Если оба числа отрицательны ($a < 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab > 0$. Тогда $|ab| = ab$.
Также, $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.
3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab \le 0$. Тогда $|ab| = -(ab) = -ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Равенство выполняется: $-ab = -ab$.
Аналогично доказывается для случая $a < 0$ и $b \ge 0$.
Поскольку равенство выполняется во всех возможных случаях, оно верно для любых чисел a и b.
Ответ: да, верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 212 расположенного на странице 47 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №212 (с. 47), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.