Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

209. Чтобы выразить в километрах расстояние, измеренное в морских милях, пользуются формулой у = 1,853х, где х − расстояние в милях, а у − то же расстояние в километрах. Выразите в километрах следующие расстояния: 10 миль, 50 миль, 250 миль.

Для решения задачи воспользуемся формулой $y = 1,853x$, где $x$ — расстояние в морских милях, а $y$ — расстояние в километрах. Необходимо последовательно подставить заданные значения расстояний в милях в эту формулу, чтобы найти соответствующие значения в километрах.

10 миль
Подставим в формулу значение $x = 10$:
$y = 1,853 \cdot 10 = 18,53$ (км).
Ответ: 18,53 км.

50 миль
Подставим в формулу значение $x = 50$:
$y = 1,853 \cdot 50 = 92,65$ (км).
Ответ: 92,65 км.

250 миль
Подставим в формулу значение $x = 250$:
$y = 1,853 \cdot 250 = 463,25$ (км).
Ответ: 463,25 км.

210. Сравните:

а) 3,48 − 4,52 и −8,93 + 0,16;
б) 6,48 · $\frac{1}{8}$ и 6,48 : $\frac{1}{8}$;
в) 4,7 − 9,65 и 4,7 − 9,9;
г) $\frac{3}{4}$ · 16,4 и 16,4 : $\frac{3}{4}$.

а) Сравним значения выражений $3,48 - 4,52$ и $-8,93 + 0,16$.

Сначала вычислим значение каждого выражения.

1. Первое выражение: $3,48 - 4,52$. Так как модуль вычитаемого больше модуля уменьшаемого, результат будет отрицательным.
$3,48 - 4,52 = -(4,52 - 3,48) = -1,04$.

2. Второе выражение: $-8,93 + 0,16$. Это сложение чисел с разными знаками.
$-8,93 + 0,16 = -(8,93 - 0,16) = -8,77$.

3. Теперь сравним полученные результаты: $-1,04$ и $-8,77$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. $|-1,04| = 1,04$ и $|-8,77| = 8,77$.
Так как $1,04 < 8,77$, то $-1,04 > -8,77$.

Следовательно, $3,48 - 4,52 > -8,93 + 0,16$.

Ответ: $3,48 - 4,52 > -8,93 + 0,16$.

б) Сравним значения выражений $6,48 \cdot \frac{1}{8}$ и $6,48 : \frac{1}{8}$.

1. Умножение положительного числа $6,48$ на правильную дробь $\frac{1}{8}$ (которая меньше 1) даст в результате число, меньшее чем $6,48$.
$6,48 \cdot \frac{1}{8} = \frac{6,48}{8} = 0,81$.

2. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Деление на $\frac{1}{8}$ это то же самое, что и умножение на $8$.
$6,48 : \frac{1}{8} = 6,48 \cdot 8 = 51,84$.

3. Сравним полученные результаты: $0,81$ и $51,84$.
Очевидно, что $0,81 < 51,84$.

Следовательно, $6,48 \cdot \frac{1}{8} < 6,48 : \frac{1}{8}$.

Ответ: $6,48 \cdot \frac{1}{8} < 6,48 : \frac{1}{8}$.

в) Сравним значения выражений $4,7 - 9,65$ и $4,7 - 9,9$.

В обоих выражениях из одного и того же числа ($4,7$) вычитаются разные числа. Сравним вычитаемые: $9,65$ и $9,9$.
Так как $9,65 < 9,9$, то из числа $4,7$ в первом случае вычитают меньшее число, а во втором — большее.

При вычитании из одного и того же числа большего числа, результат получается меньше. Поэтому $4,7 - 9,65$ будет больше, чем $4,7 - 9,9$.

Для проверки можно вычислить значения:
$4,7 - 9,65 = -4,95$
$4,7 - 9,9 = -5,2$
Сравниваем $-4,95$ и $-5,2$. Так как $-4,95 > -5,2$, наше предположение верно.

Ответ: $4,7 - 9,65 > 4,7 - 9,9$.

г) Сравним значения выражений $\frac{3}{4} \cdot 16,4$ и $16,4 : \frac{3}{4}$.

Этот случай аналогичен пункту б). Мы умножаем и делим положительное число $16,4$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$, которая меньше 1.

1. Умножение на положительное число, меньшее 1, уменьшает исходное число. Значит, $\frac{3}{4} \cdot 16,4 < 16,4$.
$\frac{3}{4} \cdot 16,4 = 0,75 \cdot 16,4 = 12,3$.

2. Деление на положительное число, меньшее 1, увеличивает исходное число. Значит, $16,4 : \frac{3}{4} > 16,4$.
$16,4 : \frac{3}{4} = 16,4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16,4 \cdot 4}{3} = \frac{65,6}{3} \approx 21,87$.

3. Сравним полученные результаты: $12,3$ и $\frac{65,6}{3}$.
Очевидно, что $12,3 < \frac{65,6}{3}$.

Следовательно, $\frac{3}{4} \cdot 16,4 < 16,4 : \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4} \cdot 16,4 < 16,4 : \frac{3}{4}$.

211. Верно ли, что:

а) если а > 0 и b > 0, то ab > 0;
б) если ab > 0, то a > 0 и b > 0?

а)

Рассмотрим утверждение: если $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$.

Это утверждение является одним из основных свойств числовых неравенств. Оно гласит, что произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом.

Поскольку $a$ — положительное число и $b$ — положительное число, их произведение $ab$ также будет положительным. Например, если $a=5$ и $b=3$, то $ab = 5 \cdot 3 = 15$, и $15 > 0$. Это свойство выполняется для любых положительных чисел $a$ и $b$.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б)

Рассмотрим утверждение: если $ab > 0$, то $a > 0$ и $b > 0$.

Это утверждение является обратным к утверждению в пункте а). Условие $ab > 0$ означает, что произведение чисел $a$ и $b$ положительно.

Произведение двух чисел является положительным в двух случаях:

1. Оба числа положительны: $a > 0$ и $b > 0$.
2. Оба числа отрицательны: $a < 0$ и $b < 0$.

Утверждение в задаче утверждает, что из $ab > 0$ следует только первый случай. Однако второй случай также возможен.

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример. Возьмем два отрицательных числа, например, $a = -2$ и $b = -3$.

Их произведение $ab = (-2) \cdot (-3) = 6$.

Условие $ab > 0$ выполнено, так как $6 > 0$.

Однако заключение, что $a > 0$ и $b > 0$, неверно, поскольку в нашем примере $a < 0$ и $b < 0$.

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, неверно.

212.Верно ли, что для любых чисел а и b:

а) |а + b| = |а| + |b|; б) |аb| = |а| · |b|?

а)

Данное утверждение неверно. Равенство $|a + b| = |a| + |b|$ (известное как равенство в неравенстве треугольника) выполняется только в том случае, когда числа a и b имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно нулю (то есть, когда $ab \ge 0$). Если же числа a и b имеют разные знаки, то $|a + b| < |a| + |b|$.

Чтобы доказать, что утверждение неверно для любых чисел, достаточно привести один контрпример, где числа имеют разные знаки.

Пусть $a = 5$ и $b = -2$.

Найдем значение левой части равенства: $|a + b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$.

Найдем значение правой части равенства: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$.

Сравнив результаты, получаем $3 \ne 7$. Следовательно, равенство $|a + b| = |a| + |b|$ выполняется не для любых чисел a и b.

Ответ: нет, не верно.

б)

Данное утверждение верно. Равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ является одним из основных свойств модуля (абсолютной величины) и выполняется для любых чисел a и b.

Для доказательства рассмотрим все возможные случаи знаков чисел a и b.

1. Если оба числа неотрицательны ($a \ge 0$, $b \ge 0$):
Их произведение $ab \ge 0$. Тогда по определению модуля $|ab| = ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot b$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.

2. Если оба числа отрицательны ($a < 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab > 0$. Тогда $|ab| = ab$.
Также, $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Равенство выполняется: $ab = ab$.

3. Если числа имеют разные знаки (например, $a \ge 0$, $b < 0$):
Их произведение $ab \le 0$. Тогда $|ab| = -(ab) = -ab$.
Также, $|a| = a$ и $|b| = -b$. Тогда $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Равенство выполняется: $-ab = -ab$.
Аналогично доказывается для случая $a < 0$ и $b \ge 0$.

Поскольку равенство выполняется во всех возможных случаях, оно верно для любых чисел a и b.

Ответ: да, верно.

213.Известно, что |х| = |у|. Верно ли, что х = у?

Утверждение, что из равенства $|x| = |y|$ всегда следует равенство $x = y$, не является верным.

По определению, модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Равенство $|x| = |y|$ означает, что числа $x$ и $y$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

Это условие выполняется в двух случаях:
1. Когда числа равны: $x = y$. Например, если $x=5$ и $y=5$, то $|5|=|5|$, то есть $5=5$.
2. Когда числа являются противоположными: $x = -y$. Например, если $x=5$ и $y=-5$. В этом случае $|5|=|-5|$, так как оба модуля равны 5, однако сами числа не равны: $5 \neq -5$.

Так как существует контрпример, при котором начальное условие $|x| = |y|$ истинно, а заключение $x = y$ ложно, мы не можем утверждать, что это верно для всех случаев. Следовательно, общее утверждение неверно.

Ответ: Нет, неверно.

214.а) Известно, что |a| < |b|. Верно ли, что a < b?

б) Известно, что |а| > |b|. Возможно ли, чтобы

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Неравенство $|a| < |b|$ означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой оси меньше, чем расстояние от точки $b$ до нуля. Это условие не даёт однозначной информации о взаимном расположении самих чисел $a$ и $b$. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Рассмотрим случай, когда оба числа отрицательны. Пусть $a = -2$ и $b = -3$.

Вычислим их модули:

$|a| = |-2| = 2$

$|b| = |-3| = 3$

Условие $|a| < |b|$ выполняется, так как $2 < 3$.

Однако, если мы сравним сами числа, то получим $a > b$, так как $-2 > -3$.

Таким образом, мы нашли пример, когда $|a| < |b|$, но при этом $a > b$. Следовательно, утверждение "если $|a| < |b|$, то $a < b$" не является верным для всех чисел.

Ответ: нет, неверно.

Да, такая ситуация возможна. Условие $|a| > |b|$ означает, что точка $a$ на числовой оси находится дальше от нуля, чем точка $b$. Мы должны проверить, может ли при этом выполняться неравенство $a < b$, то есть может ли точка $a$ находиться левее точки $b$.

Это возможно, если число $a$ является отрицательным.

Рассмотрим пример. Пусть $a = -5$ и $b = 3$.

Вычислим их модули:

$|a| = |-5| = 5$

$|b| = |3| = 3$

Условие $|a| > |b|$ выполняется, так как $5 > 3$.

При этом неравенство $a < b$ также выполняется, так как $-5 < 3$.

Другой возможный пример — когда оба числа отрицательны. Пусть $a = -4$ и $b = -2$.

$|a| = |-4| = 4$

$|b| = |-2| = 2$

Условие $|a| > |b|$ выполняется ($4 > 2$), и условие $a < b$ также выполняется ($-4 < -2$).

Следовательно, одновременное выполнение условий $|a| > |b|$ и $a < b$ возможно.

Ответ: да, возможно.

215. В таблице приведены цены на молочные товары в трёх магазинах.

Надежда Михайловна хочет купить 2 л молока, 800 г творога и 1,2 кг сметаны. В каком магазине стоимость её покупки будет наименьшей, если в магазине «Бурёнкино» творог продаётся по акции со скидкой 10%, а в магазине «Деревенский» скидка на все товары составляет 5%? В ответе укажите стоимость этой покупки.

Для того чтобы определить, в каком магазине стоимость покупки будет наименьшей, необходимо рассчитать общую стоимость заданного набора продуктов в каждом из трёх магазинов с учётом действующих акций и скидок.

Набор продуктов: 2 л молока, 800 г (0,8 кг) творога, 1,2 кг сметаны.

Обратим внимание, что цена на сметану указана за 0,5 кг. Для покупки 1,2 кг сметаны потребуется $1,2 / 0,5 = 2,4$ упаковки по 0,5 кг.

Расчет в магазине «Бурёнкино»

В этом магазине действует скидка 10% на творог.
1. Стоимость молока: $2 \text{ л} \times 120 \text{ р./л} = 240 \text{ р.}$
2. Стоимость творога с учётом скидки 10%. Сначала рассчитаем стоимость без скидки: $0,8 \text{ кг} \times 324 \text{ р./кг} = 259,2 \text{ р.}$.
Цена со скидкой: $259,2 \text{ р.} \times (1 - 0,10) = 259,2 \text{ р.} \times 0,9 = 233,28 \text{ р.}$
3. Стоимость сметаны: $2,4 \times 90 \text{ р.} = 216 \text{ р.}$
Общая стоимость в «Бурёнкино»: $240 + 233,28 + 216 = 689,28 \text{ р.}$

Расчет в магазине «Деревенский»

В этом магазине действует скидка 5% на всю покупку.
1. Стоимость молока: $2 \text{ л} \times 150 \text{ р./л} = 300 \text{ р.}$
2. Стоимость творога: $0,8 \text{ кг} \times 305 \text{ р./кг} = 244 \text{ р.}$
3. Стоимость сметаны: $2,4 \times 85 \text{ р.} = 204 \text{ р.}$
Стоимость всей покупки до скидки: $300 + 244 + 204 = 748 \text{ р.}$
Общая стоимость в «Деревенском» с учётом скидки 5%: $748 \text{ р.} \times (1 - 0,05) = 748 \text{ р.} \times 0,95 = 710,6 \text{ р.}$

Расчет в магазине «Коровка»

В этом магазине скидки не предусмотрены.
1. Стоимость молока: $2 \text{ л} \times 135 \text{ р./л} = 270 \text{ р.}$
2. Стоимость творога: $0,8 \text{ кг} \times 280 \text{ р./кг} = 224 \text{ р.}$
3. Стоимость сметаны: $2,4 \times 97 \text{ р.} = 232,8 \text{ р.}$
Общая стоимость в «Коровке»: $270 + 224 + 232,8 = 726,8 \text{ р.}$

Сравним полученные стоимости:

• «Бурёнкино»: 689,28 р.
• «Деревенский»: 710,60 р.
• «Коровка»: 726,80 р.

Наименьшая стоимость покупки будет в магазине «Бурёнкино».

Ответ: 689,28.

216. Витя, Женя, Полина и Вика на уроке математики соревновались в скорости выполнения заданий. Учительница поставила пятёрку тем из них, кто выполнил все задания быстрее чем за 6,5 мин. Проанализируйте результаты, приведённые в таблице, и сделайте вывод, кто из ребят смог получить пятёрку.

Для того чтобы определить, кто из ребят получил пятёрку, необходимо сравнить время выполнения задания каждого ученика с условием: быстрее чем за 6,5 минут. Сначала переведём 6,5 минут в минуты и секунды для удобства сравнения.

В одной минуте 60 секунд, поэтому 0,5 минуты — это $0,5 \times 60 = 30$ секунд. Таким образом, чтобы получить пятёрку, нужно было справиться с заданием за время, меньшее чем 6 минут 30 секунд.

Теперь проанализируем результаты каждого из ребят.

Витя

Время Вити — 7 мин 40 с. Это время больше, чем 6 мин 30 с, так как 7 минут больше 6 минут. Следовательно, Витя не получил пятёрку.

Женя

Время Жени — 5 мин 30 с. Это время меньше, чем 6 мин 30 с, так как 5 минут меньше 6 минут. Следовательно, Женя получил пятёрку.

Полина

Время Полины — 6 мин 45 с. Количество минут такое же, как в условии (6 мин), но секунд больше ($45 \text{ с} > 30 \text{ с}$). Значит, её общее время больше, чем 6 мин 30 с. Следовательно, Полина не получила пятёрку.

Вика

Время Вики — 6 мин 20 с. Количество минут такое же, как в условии (6 мин), но секунд меньше ($20 \text{ с} < 30 \text{ с}$). Значит, её общее время меньше, чем 6 мин 30 с. Следовательно, Вика получила пятёрку.

Ответ: пятёрку смогли получить Женя и Вика.