Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

169. Прибыль, полученная фирмой за первые два квартала текущего года, составила 126 000 р., причём прибыль, полученная во втором квартале, была на 10% выше, чем в первом. Какую прибыль получила фирма в первом квартале?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это прибыль, полученная фирмой в первом квартале в рублях.

Согласно условию, прибыль во втором квартале была на 10% выше, чем в первом. Увеличение на 10% означает, что прибыль составила 110% от прибыли первого квартала. Чтобы найти эту величину, нужно прибыль первого квартала умножить на 1,1.

Прибыль во втором квартале: $1,1x$ рублей.

Общая прибыль за первые два квартала равна сумме прибылей за первый и второй кварталы, и по условию она составляет 126 000 рублей. Составим и решим уравнение:

$x + 1,1x = 126000$

Сложим коэффициенты при $x$:

$2,1x = 126000$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2,1:

$x = \frac{126000}{2,1}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{1260000}{21}$

$x = 60000$

Таким образом, прибыль, которую фирма получила в первом квартале, составляет 60 000 рублей.

Ответ: 60 000 рублей.

170. Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?

Для решения задачи обозначим количество компьютеров, полученных первой школой, через переменную $x$.

Исходя из условия, вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, следовательно, количество компьютеров у второй школы равно $x + 6$.

Третья школа получила на 10 компьютеров больше второй. Это означает, что количество компьютеров у третьей школы равно $(x + 6) + 10$, что упрощается до $x + 16$.

Суммарно все три школы получили 70 компьютеров. Мы можем составить уравнение, сложив количество компьютеров каждой школы:

$x + (x + 6) + (x + 16) = 70$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Сгруппируем переменные и числа:

$(x + x + x) + (6 + 16) = 70$

$3x + 22 = 70$

2. Перенесем число 22 в правую часть уравнения:

$3x = 70 - 22$

$3x = 48$

3. Найдем $x$:

$x = \frac{48}{3}$

$x = 16$

Таким образом, первая школа получила 16 компьютеров.

Теперь мы можем найти, сколько компьютеров получили остальные школы:

• Вторая школа: $x + 6 = 16 + 6 = 22$ компьютера.

• Третья школа: $x + 16 = 16 + 16 = 32$ компьютера.

Проверим правильность решения, сложив количество компьютеров всех трех школ:

$16 + 22 + 32 = 38 + 32 = 70$

Общее количество компьютеров совпадает с условием задачи.

Ответ: первая школа получила 16 компьютеров, вторая — 22 компьютера, третья — 32 компьютера.

171. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Для решения этой задачи составим уравнение. Обозначим количество шерсти, израсходованное на шапку, переменной $x$ (в граммах).

Исходя из условий задачи, выразим количество шерсти для других изделий через $x$:

1. На шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер. Это означает, что на свитер ушло в 5 раз больше шерсти, чем на шапку. Таким образом, на свитер израсходовали $5x$ граммов шерсти.

2. На шапку ушло на 5 г больше шерсти, чем на шарф. Следовательно, на шарф ушло на 5 г меньше, чем на шапку. Значит, на шарф израсходовали $(x - 5)$ граммов шерсти.

Общий расход шерсти на все три изделия составляет 555 г. Составим уравнение, сложив количество шерсти для каждого изделия:

Количество на свитер + Количество на шапку + Количество на шарф = Общее количество

$5x + x + (x - 5) = 555$

Теперь решим полученное уравнение:

Сначала сгруппируем и сложим члены с переменной $x$:

$(5x + x + x) - 5 = 555$

$7x - 5 = 555$

Перенесём число 5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$7x = 555 + 5$

$7x = 560$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{560}{7}$

$x = 80$

Мы нашли, что на шапку ушло 80 г шерсти.

Теперь можем найти, сколько шерсти ушло на остальные изделия:

На свитер: $5x = 5 \times 80 = 400$ г.

На шарф: $x - 5 = 80 - 5 = 75$ г.

Проверим правильность решения, сложив полученные значения:

$400 \text{ г (свитер)} + 80 \text{ г (шапка)} + 75 \text{ г (шарф)} = 555 \text{ г}$.

Сумма совпадает с данными в условии, следовательно, задача решена верно.

Ответ: на свитер израсходовали 400 г шерсти, на шапку — 80 г, а на шарф — 75 г.

172. Можно ли расположить 158 книг на трёх полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?

Для того чтобы определить, возможно ли такое расположение книг, составим математическое выражение, основанное на условиях задачи. Пусть $x$ — это количество книг на первой полке.

Исходя из условия, что на первой полке на 8 книг меньше, чем на второй, количество книг на второй полке можно выразить как $x + 8$.

Также, по условию, на первой полке на 5 книг больше, чем на третьей. Следовательно, количество книг на третьей полке можно выразить как $x - 5$.

Общее количество книг на всех трёх полках составляет 158. Сложим количество книг на каждой полке и приравняем к общему числу:

Кол-во на 1-й полке + Кол-во на 2-й полке + Кол-во на 3-й полке = 158

$x + (x + 8) + (x - 5) = 158$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x + 8 - 5 = 158$

$3x + 3 = 158$

$3x = 158 - 3$

$3x = 155$

$x = \frac{155}{3}$

При делении 155 на 3 получается нецелое число: $155 \div 3 \approx 51.67$.

Поскольку количество книг на полке не может быть дробным числом, а должно быть целым, то такое расположение книг невозможно.

Ответ: Расположить книги таким образом нельзя.

173. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором − на 4 банки меньше, чем в третьем?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество банок консервов в первом ящике.

Из условия задачи известно, что в третьем ящике было на 9 банок больше, чем в первом. Следовательно, количество банок в третьем ящике можно выразить как $(x + 9)$.

Также в условии сказано, что во втором ящике было на 4 банки меньше, чем в третьем. Значит, количество банок во втором ящике составляет $(x + 9) - 4$, что равно $(x + 5)$.

Общее количество банок во всех трех ящиках равно 59. Мы можем составить уравнение, сложив количество банок в каждом ящике:

$x + (x + 5) + (x + 9) = 59$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x + x + 5 + x + 9 = 59$

$3x + 14 = 59$

Перенесем 14 в правую часть уравнения:

$3x = 59 - 14$

$3x = 45$

Найдем $x$:

$x = \frac{45}{3}$

$x = 15$

Итак, в первом ящике 15 банок. Поскольку количество банок должно быть целым числом, это значение является допустимым.

Теперь найдем количество банок в двух других ящиках:

• Во втором ящике: $x + 5 = 15 + 5 = 20$ банок.
• В третьем ящике: $x + 9 = 15 + 9 = 24$ банки.

Проведем проверку, чтобы убедиться, что все условия задачи выполнены:

1. Общее количество банок: $15 + 20 + 24 = 59$. Это соответствует условию.
2. В третьем ящике на 9 банок больше, чем в первом: $24 - 15 = 9$. Это верно.
3. Во втором ящике на 4 банки меньше, чем в третьем: $24 - 20 = 4$. Это верно.

Все условия выполнены, и количество банок в каждом ящике является целым числом. Следовательно, разложить 59 банок консервов указанным образом возможно.

Ответ: да, можно. В этом случае в первом ящике будет 15 банок, во втором — 20 банок, а в третьем — 24 банки.

174. На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?

Для решения этой задачи воспользуемся алгебраическим методом. Пусть $x$ — это первоначальное количество кустов малины на втором участке, где их было меньше.

По условию, на первом участке кустов было в 5 раз больше. Следовательно, на первом участке было $5x$ кустов.

Затем с первого участка пересадили на второй 22 куста.

Количество кустов на первом участке стало: $5x - 22$.

Количество кустов на втором участке стало: $x + 22$.

После пересадки количество кустов на обоих участках стало равным. Это позволяет нам составить уравнение:

$5x - 22 = x + 22$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую.

$5x - x = 22 + 22$

$4x = 44$

$x = \frac{44}{4}$

$x = 11$

Итак, мы нашли, что на втором участке изначально было 11 кустов малины.

Теперь найдем, сколько кустов было на первом участке, умножив количество кустов на втором участке на 5:

$5 \times 11 = 55$ (кустов).

Проверим наше решение. Изначально на участках было 55 и 11 кустов. После пересадки 22 кустов с первого на второй, на первом участке стало $55 - 22 = 33$ куста, а на втором стало $11 + 22 = 33$ куста. Количество кустов уравнялось, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально на одном участке было 55 кустов малины, а на другом — 11 кустов.

175. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода равна $v$ км/ч.

Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $(v + 2)$ км/ч, так как скорость течения помогает движению.

Скорость теплохода против течения реки составляет $(v - 2)$ км/ч, так как течение мешает движению.

Расстояние, которое теплоход проходит по течению за 9 часов, равно $S_1 = 9 \cdot (v + 2)$ км.

Расстояние, которое теплоход проходит против течения за 11 часов, равно $S_2 = 11 \cdot (v - 2)$ км.

По условию задачи, эти расстояния равны, то есть $S_1 = S_2$.

Составим и решим уравнение:

$9 \cdot (v + 2) = 11 \cdot (v - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9v + 18 = 11v - 22$

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную $v$, в правую часть уравнения, а числовые слагаемые — в левую:

$18 + 22 = 11v - 9v$

$40 = 2v$

Найдем $v$:

$v = \frac{40}{2}$

$v = 20$

Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

176. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это первоначальная скорость, с которой двигались обе машины.

Согласно условию, первая машина увеличила свою скорость на 10 км/ч. Таким образом, ее новая скорость составила $(x + 10)$ км/ч.

Вторая машина, наоборот, уменьшила свою скорость на 10 км/ч. Ее новая скорость стала $(x - 10)$ км/ч.

Теперь найдем расстояние, которое проехала каждая машина. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Расстояние, которое прошла первая машина за 2 часа, равно: $S_1 = (x + 10) \cdot 2$ км.

Расстояние, которое прошла вторая машина за 3 часа, равно: $S_2 = (x - 10) \cdot 3$ км.

В условии сказано, что обе машины прошли одинаковое расстояние, то есть $S_1 = S_2$. На основе этого мы можем составить и решить уравнение:

$(x + 10) \cdot 2 = (x - 10) \cdot 3$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x + 20 = 3x - 30$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую, чтобы найти значение $x$:

$20 + 30 = 3x - 2x$

$50 = x$

Таким образом, мы нашли, что первоначальная скорость автомобилей была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

177. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек, и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода: арифметический (с использованием скорости сближения) или алгебраический (составление уравнения). Рассмотрим оба.

Способ 1: Арифметический

1. Когда второй человек выезжает, первый уже находится в пути один день. За этот день он успел пройти расстояние:
$S_{1} = 40 \frac{вёрст}{день} \times 1 \text{ день} = 40$ вёрст.
Это расстояние является начальной форой первого человека.

2. Второй человек движется быстрее первого. Найдем скорость, с которой он догоняет первого (скорость сближения). Она равна разности их скоростей:
$v_{сближения} = v_{2} - v_{1} = 45 - 40 = 5$ вёрст в день.

3. Чтобы найти время, за которое второй человек догонит первого, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:
$t = \frac{40 \text{ вёрст}}{5 \frac{вёрст}{день}} = 8$ дней.

Способ 2: Алгебраический

Пусть $t$ — количество дней, которое будет в пути второй человек до встречи.
Тогда первый человек, который вышел на день раньше, будет в пути $t+1$ дней.

К моменту встречи они пройдут одинаковое расстояние от Москвы. Составим уравнение, приравняв пути, пройденные каждым человеком.
Путь первого человека: $S_1 = 40 \times (t + 1)$.
Путь второго человека: $S_2 = 45 \times t$.

Приравняем расстояния: $S_1 = S_2$.
$40 \times (t + 1) = 45 \times t$

Теперь решим это уравнение:
$40t + 40 = 45t$
$45t - 40t = 40$
$5t = 40$
$t = \frac{40}{5}$
$t = 8$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: второй человек догонит первого через 8 дней.

178. Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, а двух плотников перевёл на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?

Для решения этой задачи составим уравнение. Давайте обозначим первоначальное количество плотников в бригаде за $x$.

Согласно условию, маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников, следовательно, первоначальное количество маляров было $2,5x$.

После того как прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, их количество стало равно $2,5x + 4$.

Когда двух плотников перевели на другой объект, их количество уменьшилось до $x - 2$.

В результате этих изменений маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Мы можем составить уравнение на основе этого нового соотношения:
$2,5x + 4 = 4(x - 2)$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:
1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2,5x + 4 = 4x - 8$
2. Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
$4 + 8 = 4x - 2,5x$
3. Упростим обе части уравнения:
$12 = 1,5x$
4. Найдём значение $x$:
$x = \frac{12}{1,5}$
$x = 8$

Итак, мы выяснили, что первоначально в бригаде было 8 плотников.

Теперь найдем первоначальное количество маляров:
$2,5 \times x = 2,5 \times 8 = 20$

Таким образом, первоначально в бригаде было 20 маляров.

Для уверенности выполним проверку:
Изначально: 8 плотников и 20 маляров. Соотношение: $20 / 8 = 2,5$. Условие выполняется.
После изменений: плотников стало $8 - 2 = 6$, маляров стало $20 + 4 = 24$.
Новое соотношение: $24 / 6 = 4$. Это условие также выполняется.

Ответ: первоначально в бригаде было 20 маляров и 8 плотников.