Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

163. В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 392 билета?

Для решения этой задачи обозначим количество билетов, проданных во второй кассе, через переменную $x$.

Согласно условию, в первой кассе продали на 36 билетов больше, чем во второй. Следовательно, количество билетов, проданных в первой кассе, равно $x + 36$.

Всего в двух кассах было продано 392 билета. Мы можем составить уравнение, сложив количество билетов, проданных в каждой кассе:

$x + (x + 36) = 392$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Объединим подобные члены:

$2x + 36 = 392$

2. Вычтем 36 из обеих частей уравнения:

$2x = 392 - 36$

$2x = 356$

3. Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{356}{2}$

$x = 178$

Итак, во второй кассе было продано 178 билетов.

Теперь найдем количество билетов, проданных в первой кассе, прибавив 36:

$178 + 36 = 214$

Проверим: $178 + 214 = 392$.

Ответ: в одной кассе продали 214 билетов, а в другой — 178 билетов.

164. На Парковой и Молодёжной улицах восстановили разрушенные в половодье 19 домов. На Парковой было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Сколько домов было восстановлено на каждой из этих улиц?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Обозначим количество домов, восстановленных на Молодёжной улице, через $x$.

Согласно условию, на Парковой улице было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Следовательно, количество домов на Парковой улице можно выразить как $x - 3$.

Всего на двух улицах было восстановлено 19 домов. Можем составить уравнение, сложив количество домов на каждой улице:

$x + (x - 3) = 19$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

1. Раскроем скобки:

$x + x - 3 = 19$

2. Сложим подобные слагаемые:

$2x - 3 = 19$

3. Перенесём число -3 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 19 + 3$

$2x = 22$

4. Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{22}{2}$

$x = 11$

Таким образом, на Молодёжной улице было восстановлено 11 домов.

Теперь найдём количество домов, восстановленных на Парковой улице, подставив найденное значение $x$ в выражение $x - 3$:

$11 - 3 = 8$

На Парковой улице было восстановлено 8 домов.

Проверка:

Сложим количество домов на обеих улицах: $11 + 8 = 19$. Это соответствует общему числу восстановленных домов.

Сравним количество домов: $11 - 8 = 3$. На Парковой улице действительно на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Условия задачи выполнены.

Ответ: на Молодёжной улице было восстановлено 11 домов, а на Парковой улице — 8 домов.

165. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой, и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каковы стороны треугольника?

Пусть третья, меньшая, сторона треугольника равна $x$ см.

Согласно условию, две другие стороны равны между собой, и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Следовательно, длина каждой из этих двух сторон равна $(x + 2,9)$ см. Такой треугольник является равнобедренным.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 16 см. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 2,9) + (x + 2,9) = 16$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 5,8 = 16$

Перенесем 5,8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 16 - 5,8$

$3x = 10,2$

Найдем $x$, разделив 10,2 на 3:

$x = 10,2 \div 3$

$x = 3,4$

Итак, мы нашли длину третьей стороны треугольника — она равна 3,4 см.

Теперь найдем длины двух равных сторон, которые на 2,9 см больше:

$3,4 + 2,9 = 6,3$ см.

Таким образом, две стороны треугольника равны по 6,3 см, а третья (основание) — 3,4 см.

Проверим: $6,3 \text{ см} + 6,3 \text{ см} + 3,4 \text{ см} = 12,6 \text{ см} + 3,4 \text{ см} = 16 \text{ см}$. Периметр сходится.

Ответ: стороны треугольника равны 6,3 см, 6,3 см и 3,4 см.

166. Протяжённость автомобильной трассы составляет 6940 м. Большую часть трассы занимают два тоннеля, длина одного из которых на 17 м больше длины другого. Найдите длину каждого тоннеля, если наземная часть трассы составляет 703 м.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти общую длину двух тоннелей.

Общая протяженность трассы складывается из длины двух тоннелей и длины наземной части. Чтобы найти суммарную длину тоннелей, нужно из общей протяженности трассы вычесть длину наземной части.

$6940 \text{ м} - 703 \text{ м} = 6237 \text{ м}$

Следовательно, общая длина двух тоннелей составляет 6237 метров.

2. Найти длину каждого тоннеля.

Введем переменную. Пусть $x$ метров – это длина меньшего тоннеля. Согласно условию, длина второго тоннеля на 17 метров больше, значит, она равна $(x + 17)$ метров.

Сумма длин двух тоннелей нам известна. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 17) = 6237$

Сначала упростим левую часть уравнения:

$2x + 17 = 6237$

Теперь перенесем 17 в правую часть с противоположным знаком:

$2x = 6237 - 17$

$2x = 6220$

Найдем $x$:

$x = \frac{6220}{2}$

$x = 3110$

Таким образом, длина меньшего тоннеля составляет 3110 метров.

Теперь найдем длину большего тоннеля:

$x + 17 = 3110 + 17 = 3127 \text{ м}$

Проверим, что сумма длин тоннелей и наземной части равна общей длине трассы:

$3110 \text{ м} + 3127 \text{ м} + 703 \text{ м} = 6237 \text{ м} + 703 \text{ м} = 6940 \text{ м}$

Все верно.

Ответ: длина одного тоннеля составляет 3110 м, а длина другого — 3127 м.

167. Старинная задача. Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий − втрое больше второго, четвёртый − вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 рупии. Сколько дал каждый?

Для решения этой задачи обозначим сумму, которую внёс первый жертвователь, как $x$.

Исходя из условий, выразим суммы, внесённые остальными жертвователями, через $x$:
Второй жертвователь дал вдвое больше первого, то есть $2x$.
Третий жертвователь дал втрое больше второго, то есть $3 \cdot (2x) = 6x$.
Четвёртый жертвователь дал вчетверо больше третьего, то есть $4 \cdot (6x) = 24x$.

Общая сумма пожертвований составляет 132 рупии. Мы можем составить уравнение, сложив вклады всех четырёх жертвователей:
$x + 2x + 6x + 24x = 132$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:
$(1 + 2 + 6 + 24)x = 132$
$33x = 132$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 33:
$x = \frac{132}{33} = 4$
Таким образом, первый жертвователь дал 4 рупии.

Зная вклад первого жертвователя, рассчитаем вклады остальных:
Вклад второго: $2x = 2 \cdot 4 = 8$ рупий.
Вклад третьего: $6x = 6 \cdot 4 = 24$ рупии.
Вклад четвёртого: $24x = 24 \cdot 4 = 96$ рупий.

Для проверки сложим все суммы: $4 + 8 + 24 + 96 = 132$. Сумма верна.

Ответ: первый жертвователь дал 4 рупии, второй — 8 рупий, третий — 24 рупии, а четвёртый — 96 рупий.

168. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причём первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовил второй рабочий.

Согласно условию, первый рабочий изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Чтобы найти количество деталей, изготовленных первым рабочим, нужно к количеству деталей второго рабочего ($x$) прибавить 15% от этого количества ($0,15x$).

Количество деталей первого рабочего: $x + 0,15x = 1,15x$.

Вместе оба рабочих изготовили 86 деталей. Мы можем составить уравнение, сложив количество деталей, изготовленных каждым рабочим:

$x + 1,15x = 86$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2,15x = 86$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2,15:

$x = \frac{86}{2,15}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{8600}{215}$

$x = 40$

Таким образом, второй рабочий изготовил 40 деталей.

3. Теперь найдем, сколько деталей изготовил первый рабочий, подставив значение $x$ в выражение $1,15x$:

$1,15 \times 40 = 46$

Итак, первый рабочий изготовил 46 деталей.

Проверка: $40 + 46 = 86$. Общее количество деталей совпадает с условием задачи.

Ответ: первый рабочий изготовил 46 деталей, второй рабочий изготовил 40 деталей.