Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

195.Найдите:

а) какой температуре по Фаренгейту соответствует 4°С; − 15°С; 0°С;

б) какой температуре по Цельсию соответствует 20°F; −16 °F; 0°F.

а) какой температуре по Фаренгейту соответствует 4°С; –15°С; 0°С;

Для перевода температуры из шкалы Цельсия ($T_C$) в шкалу Фаренгейта ($T_F$) используется формула:

$T_F = T_C \cdot \frac{9}{5} + 32$

Выполним расчеты для каждого значения:

• Для 4°С:

  $T_F = 4 \cdot \frac{9}{5} + 32 = \frac{36}{5} + 32 = 7,2 + 32 = 39,2^\circ\text{F}$

• Для –15°С:

  $T_F = -15 \cdot \frac{9}{5} + 32 = -3 \cdot 9 + 32 = -27 + 32 = 5^\circ\text{F}$

• Для 0°С:

  $T_F = 0 \cdot \frac{9}{5} + 32 = 0 + 32 = 32^\circ\text{F}$

Ответ: 4°С соответствует 39,2°F; –15°С соответствует 5°F; 0°С соответствует 32°F.

б) какой температуре по Цельсию соответствует 20°F; –16°F; 0°F.

Для перевода температуры из шкалы Фаренгейта ($T_F$) в шкалу Цельсия ($T_C$) используется формула:

$T_C = (T_F - 32) \cdot \frac{5}{9}$

Выполним расчеты для каждого значения:

• Для 20°F:

  $T_C = (20 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -12 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{60}{9} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}^\circ\text{C}$

• Для –16°F:

  $T_C = (-16 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -48 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{240}{9} = -\frac{80}{3} = -26\frac{2}{3}^\circ\text{C}$

• Для 0°F:

  $T_C = (0 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -32 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{160}{9} = -17\frac{7}{9}^\circ\text{C}$

Ответ: 20°F соответствует $-6\frac{2}{3}$°C; –16°F соответствует $-26\frac{2}{3}$°C; 0°F соответствует $-17\frac{7}{9}$°C.

196.Может ли температура быть:

а) положительной по Цельсию и отрицательной по Фаренгейту;

б) положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию?

а) Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой перевода температуры из градусов Цельсия ($T_C$) в градусы Фаренгейта ($T_F$): $T_F = T_C \cdot \frac{9}{5} + 32$. Условие задачи: температура по Цельсию положительна ($T_C > 0$), а по Фаренгейту отрицательна ($T_F < 0$). Рассмотрим неравенство для $T_F$: $T_C \cdot \frac{9}{5} + 32 < 0$. Решим его относительно $T_C$: $T_C \cdot \frac{9}{5} < -32$, откуда $T_C < -32 \cdot \frac{5}{9}$, то есть $T_C < -\frac{160}{9} \approx -17,8$ °C. Таким образом, чтобы температура по Фаренгейту была отрицательной, температура по Цельсию должна быть меньше, чем $-17,8$ °C. Это противоречит условию, что температура по Цельсию положительна ($T_C > 0$). Следовательно, такая ситуация невозможна. Ответ: нет, не может.

б) Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой перевода температуры из градусов Фаренгейта ($T_F$) в градусы Цельсия ($T_C$): $T_C = (T_F - 32) \cdot \frac{5}{9}$. Условия задачи: температура по Фаренгейту положительна ($T_F > 0$), а по Цельсию отрицательна ($T_C < 0$). Рассмотрим неравенство для $T_C$: $(T_F - 32) \cdot \frac{5}{9} < 0$. Поскольку множитель $\frac{5}{9}$ положителен, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $(T_F - 32) < 0$, то есть $T_F < 32$. Таким образом, мы ищем температуру, которая удовлетворяет двум условиям одновременно: $T_F > 0$ и $T_F < 32$. Любая температура в этом диапазоне (например, 10 °F, 23 °F и т.д.) будет положительной по Фаренгейту и отрицательной по Цельсию. Например, при $T_F=14$ °F температура по Цельсию составит $T_C = (14 - 32) \cdot \frac{5}{9} = -10$ °C. Ответ: да, может.

197.Выразите из формулы:

а) s = at переменную t;

б) v = v₀ + at переменную а;

в) S = а + b2 · h переменную b.

а) Чтобы из формулы $s = at$ выразить переменную $t$, нужно рассматривать $a$ как известный множитель. Для нахождения неизвестного множителя $t$, необходимо произведение $s$ разделить на известный множитель $a$. Это равносильно делению обеих частей уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$).
$\frac{s}{a} = \frac{at}{a}$
Сократив $a$ в правой части, получаем:
$t = \frac{s}{a}$
Ответ: $t = \frac{s}{a}$

б) В формуле $v = v_0 + at$ нам нужно выразить переменную $a$. Это уравнение можно рассматривать как линейное относительно слагаемого $at$. Сначала изолируем это слагаемое, перенеся $v_0$ в левую часть уравнения с противоположным знаком.
$v - v_0 = at$
Теперь $a$ является неизвестным множителем при известном множителе $t$. Чтобы найти $a$, разделим произведение $(v - v_0)$ на $t$ (при условии, что $t \neq 0$).
$\frac{v - v_0}{t} = \frac{at}{t}$
После сокращения $t$ в правой части получаем:
$a = \frac{v - v_0}{t}$
Ответ: $a = \frac{v - v_0}{t}$

в) Дана формула $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Необходимо выразить переменную $b$. Выполним преобразования по шагам.
1. Избавимся от множителя $h$ и знаменателя 2. Для этого умножим обе части уравнения на $\frac{2}{h}$ (при условии, что $h \neq 0$).
$S \cdot \frac{2}{h} = \frac{a + b}{2} \cdot h \cdot \frac{2}{h}$
$\frac{2S}{h} = a + b$
2. Теперь в правой части у нас сумма $a + b$. Чтобы выразить $b$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое $a$. Перенесем $a$ в левую часть с противоположным знаком.
$\frac{2S}{h} - a = b$
Запишем результат в более привычном виде:
$b = \frac{2S}{h} - a$
Ответ: $b = \frac{2S}{h} - a$

198. Найдите число, обратное:

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Чтобы найти число, обратное данному, нужно 1 разделить на это число. Для дроби $\frac{a}{b}$ обратным числом будет дробь $\frac{b}{a}$.

а) сумме чисел $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$

Сначала найдем сумму заданных чисел. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6.

$\frac{5}{6} + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5+4}{6} = \frac{9}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Числом, обратным сумме $\frac{3}{2}$, является "перевернутая" дробь $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) разности чисел 6,2 и 5,8

Сначала найдем разность чисел:

$6,2 - 5,8 = 0,4$

Чтобы найти обратное число, представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби и сократим ее:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Числом, обратным разности $\frac{2}{5}$, является дробь $\frac{5}{2}$, что в десятичном виде равно 2,5.

Ответ: $2,5$.

в) произведению чисел $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{16}$

Сначала найдем произведение чисел. Для этого перемножим их числители и знаменатели.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 1}{15 \cdot 16} = \frac{1}{240}$

Числом, обратным произведению $\frac{1}{240}$, является дробь $\frac{240}{1}$, что равно 240.

Ответ: $240$.

г) частному чисел 4,9 и 3,5

Сначала найдем частное от деления 4,9 на 3,5. Запишем деление в виде дроби:

$4,9 \div 3,5 = \frac{4,9}{3,5}$

Чтобы избавиться от десятичных знаков, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{4,9 \cdot 10}{3,5 \cdot 10} = \frac{49}{35}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$\frac{49 \div 7}{35 \div 7} = \frac{7}{5}$

Числом, обратным частному $\frac{7}{5}$, является дробь $\frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

199. Найдите число, противоположное:

а) Для начала найдем сумму чисел $2,86$ и $-4,3$. Сумма чисел с разными знаками равна разности их модулей, и знак результата совпадает со знаком числа с большим модулем.

$2,86 + (-4,3) = 2,86 - 4,3 = -(4,3 - 2,86) = -1,44$

Противоположным числом для $-1,44$ является число, отличающееся от него только знаком. Таким образом, искомое число равно $-(-1,44) = 1,44$.

Ответ: $1,44$.

б) Найдем разность чисел $-\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $9$ и $6$ это $18$.

$-\frac{4}{9} - \frac{5}{6} = -\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = -\frac{8}{18} - \frac{15}{18} = \frac{-8 - 15}{18} = -\frac{23}{18}$

Противоположным числом для $-\frac{23}{18}$ является число $\frac{23}{18}$. Можно представить его в виде смешанного числа: $1\frac{5}{18}$.

Ответ: $\frac{23}{18}$.

в) Найдем произведение чисел $-5,75$ и $1,6$. Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.

$-5,75 \cdot 1,6$

Для удобства вычислений можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных:

$-5,75 = -5\frac{75}{100} = -5\frac{3}{4} = -\frac{23}{4}$

$1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

Тогда произведение равно:

$-\frac{23}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{23 \cdot 8}{4 \cdot 5} = -\frac{23 \cdot 2}{5} = -\frac{46}{5} = -9,2$

Противоположным числом для $-9,2$ является $9,2$.

Ответ: $9,2$.

г) Найдем частное чисел $46$ и $-7\frac{2}{3}$. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$-7\frac{2}{3} = -(\frac{7 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{23}{3}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$46 \div (-\frac{23}{3}) = 46 \cdot (-\frac{3}{23}) = -\frac{46 \cdot 3}{23}$

Сократим дробь, учитывая, что $46 = 2 \cdot 23$:

$-\frac{2 \cdot 23 \cdot 3}{23} = -2 \cdot 3 = -6$

Противоположным числом для $-6$ является $6$.

Ответ: $6$.

200. Представьте бесконечные периодические дроби в виде обыкновенных дробей.

Образец: Пусть х = 0,(7) = 0,7777.... Тогда 10х = 7,777..., а 10х − х = 7. Таким образом, 9х = 7, откуда х = 79. Значит, 0,(7) = 79.

а) 0,(3); б) 0,(5); в) 0,(12); г) 0,(48).

а) Чтобы представить бесконечную периодическую дробь $0,(3)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим ее через $x$.
$x = 0,(3) = 0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:
$10x = 3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 3,333... - 0,333...$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Обозначим дробь $0,(5)$ через $x$.
$x = 0,(5) = 0,555...$
В периоде одна цифра, поэтому умножим обе части на 10:
$10x = 5,555...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 5,555... - 0,555...$
$9x = 5$
$x = \frac{5}{9}$
Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{9}$

в) Обозначим дробь $0,(12)$ через $x$.
$x = 0,(12) = 0,121212...$
Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части на 100:
$100x = 12,121212...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 12,121212... - 0,121212...$
$99x = 12$
$x = \frac{12}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$x = \frac{4}{33}$
Ответ: $\frac{4}{33}$

г) Обозначим дробь $0,(48)$ через $x$.
$x = 0,(48) = 0,484848...$
В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100:
$100x = 48,484848...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 48,484848... - 0,484848...$
$99x = 48$
$x = \frac{48}{99}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$x = \frac{16}{33}$
Ответ: $\frac{16}{33}$

201.Найдите сумму всех целых чисел от −102 до 104.

Для того чтобы найти сумму всех целых чисел от $-102$ до $104$, запишем эту сумму в развернутом виде: $S = (-102) + (-101) + \dots + (-1) + 0 + 1 + \dots + 102 + 103 + 104$.

Заметим, что в этом ряду чисел для каждого отрицательного числа от $-102$ до $-1$ есть соответствующее ему положительное число от $1$ до $102$. Сумма каждой такой пары противоположных чисел равна нулю.

Например: $(-102) + 102 = 0$ $(-101) + 101 = 0$ ... $(-1) + 1 = 0$

Таким образом, сумма всех целых чисел от $-102$ до $102$ включительно будет равна нулю: $(-102) + (-101) + \dots + 101 + 102 = 0$.

Тогда исходную сумму можно представить как сумму этой части, равной нулю, и оставшихся чисел: $S = ((-102) + \dots + 102) + 103 + 104$ $S = 0 + 103 + 104$

Вычислим оставшуюся сумму: $S = 103 + 104 = 207$.

Ответ: 207

202.Найдите произведение всех целых чисел от −11 до 13.

Для решения этой задачи необходимо найти произведение всех целых чисел, находящихся в диапазоне от -11 до 13 включительно.

Перечислим все целые числа в этом диапазоне:
-11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Произведение этих чисел можно записать в виде выражения:
$(-11) \times (-10) \times \ldots \times (-1) \times 0 \times 1 \times \ldots \times 12 \times 13$

Ключевым моментом в этом выражении является наличие множителя 0. Согласно основному свойству умножения, произведение любого набора чисел, в котором хотя бы один из множителей равен нулю, всегда равно нулю.

Поскольку в нашей последовательности чисел присутствует 0, то всё произведение будет равно 0, и нет необходимости вычислять произведение остальных чисел.

Ответ: 0