Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Чтобы решить, является ли число 7 корнем предложенных уравнений, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ в каждое из них.

6x = 42
Подставим в уравнение значение $x = 7$:
$6 \cdot 7 = 42$
$42 = 42$
Получено верное числовое равенство. Следовательно, число 7 является корнем этого уравнения.
Ответ: да, является.

0x = 11
Подставим в уравнение значение $x = 7$:
$0 \cdot 7 = 11$
$0 = 11$
Получено неверное числовое равенство. Следовательно, число 7 не является корнем этого уравнения.
Ответ: нет, не является.

(16 - 2·8)x = 0
Сначала упростим выражение в скобках:
$16 - 2 \cdot 8 = 16 - 16 = 0$
Уравнение принимает вид: $0x = 0$.
Подставим в это уравнение значение $x = 7$:
$0 \cdot 7 = 0$
$0 = 0$
Получено верное числовое равенство. Это означает, что любое число (включая 7) является корнем данного уравнения.
Ответ: да, является.

6х = −12; х − 2х · 6 = 0; 5х − 4х = 6 + х.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни (или решения) или доказать, что корней нет. Корнем уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решите уравнение: 6x = -12;

Это линейное уравнение. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($-12$) разделить на известный множитель (6).

$x = \frac{-12}{6}$

$x = -2$

Проверим, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$6 \cdot (-2) = -12$

$-12 = -12$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: -2

x - 2x · 6 = 0;

Сначала выполним действие умножения в левой части уравнения:

$x - (2x \cdot 6) = 0$

$x - 12x = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$-11x = 0$

Произведение равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Так как $-11 \neq 0$, то:

$x = 0$

Проверим:

$0 - 2 \cdot 0 \cdot 6 = 0 - 0 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: 0

5x - 4x = 6 + x.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$x = 6 + x$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числа оставим в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$x - x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0 = 6$

В результате мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что данное уравнение не имеет решений (корней).

Ответ: корней нет.

5х − 1 = 3; 0,2х = 1,1; 3х − 4х + 6 = 0.

Какие уравнения называются равносильными?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одинаковые корни (решения) или если оба уравнения не имеют корней. Иными словами, любое решение первого уравнения является решением второго, и любое решение второго является решением первого.

Сформулируйте свойства уравнений

Основные свойства, которые позволяют преобразовывать уравнение в равносильное ему:

• Свойство 1: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.
• Свойство 2: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.

Приведите пример уравнения, равносильного уравнению:

$5x - 1 = 3$

Используя первое свойство, перенесем слагаемое $-1$ из левой части в правую, изменив знак на "+":

$5x = 3 + 1$

Упростив правую часть, получаем уравнение $5x = 4$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 0,8$.

Ответ: $5x = 4$.

$0,2x = 1,1$

Используя второе свойство, умножим обе части уравнения на $10$, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$0,2x \cdot 10 = 1,1 \cdot 10$

Получаем уравнение $2x = 11$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 5,5$.

Ответ: $2x = 11$.

$3x - 4x + 6 = 0$

Выполним тождественное преобразование — приведение подобных слагаемых в левой части уравнения:

$(3-4)x + 6 = 0$

Получаем уравнение $-x + 6 = 0$. Это уравнение равносильно исходному, так как оба имеют единственный корень $x = 6$.

Ответ: $-x + 6 = 0$.

Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые действительные числа, называемые коэффициентами. Число $a$ является коэффициентом при переменной, а $b$ — свободным членом.
К линейным также относятся любые уравнения, которые можно привести к виду $ax = b$ с помощью тождественных преобразований (например, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведение подобных слагаемых, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число).

В зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$ линейное уравнение может:

• иметь один корень, если $a \neq 0$ (корень равен $x = b/a$);
• не иметь корней, если $a = 0$ и $b \neq 0$ (уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$, что невозможно);
• иметь бесконечно много корней, если $a = 0$ и $b = 0$ (уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$).

Ответ: Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите примеры

1. Классический вид:
$5x = 15$
Здесь $a = 5$, $b = 15$. Уравнение имеет один корень $x = 15 / 5 = 3$.

2. Уравнение, требующее преобразования:
$4x - 7 = x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - x = 5 + 7$
$3x = 12$
Это уравнение приведено к стандартному виду $ax=b$, где $a=3$, $b=12$. Корень уравнения $x = 4$.

3. Уравнение, не имеющее корней:
$2(x - 3) = 2x + 1$
Раскроем скобки:
$2x - 6 = 2x + 1$
$2x - 2x = 1 + 6$
$0 \cdot x = 7$
Здесь $a = 0$, $b = 7$. Уравнение не имеет решений, так как нет такого числа $x$, которое при умножении на 0 дало бы 7.

4. Уравнение, имеющее бесконечно много корней:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
Раскроем скобки в правой части:
$3x + 9 = 3x + 9$
$3x - 3x = 9 - 9$
$0 \cdot x = 0$
Здесь $a = 0$, $b = 0$. Равенство верно при любом значении $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: Примеры линейных уравнений с одной переменной: $5x = 15$; $4x - 7 = x + 5$; $2(x - 3) = 2x + 1$.

Рассмотрим линейное уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (параметры). Количество корней этого уравнения зависит от значений этих параметров.

имеет единственный корень

Уравнение $ax = b$ имеет единственный корень, если коэффициент $a$ при переменной $x$ не равен нулю. При условии $a \neq 0$ мы можем разделить обе части уравнения на $a$ и получить уникальное решение: $x = \frac{b}{a}$. Это решение является единственным для любого значения $b$.
Пример: В уравнении $2x = 10$, коэффициент $a = 2 \neq 0$. Решение единственно и равно $x = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: при $a \neq 0$.

имеет бесконечно много корней

Уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$. В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Данное равенство является верным для любого значения $x$, поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Следовательно, решением является любое число.
Пример: Уравнение $0x = 0$. Любое число, например $x=1$, $x=-7.5$ или $x=\pi$, является корнем этого уравнения.
Ответ: при $a = 0$ и $b = 0$.

не имеет корней

Уравнение $ax = b$ не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член — нет: $a = 0$ и $b \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Левая часть этого выражения всегда равна нулю, в то время как правая часть $b$ — ненулевое число. Мы получаем ложное равенство $0 = b$, которое не может быть выполнено ни при каком значении $x$.
Пример: Уравнение $0x = 4$. Это уравнение равносильно ложному утверждению $0 = 4$, поэтому оно не имеет решений.
Ответ: при $a = 0$ и $b \neq 0$.