Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

145. Найдите корень уравнения:

а) Дано уравнение $5x = -60$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (-60) разделить на известный множитель (5).

$x = -60 : 5$

$x = -12$

Ответ: -12

б) Дано уравнение $-10x = 8$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -10.

$x = \frac{8}{-10}$

$x = -0,8$

Ответ: -0,8

в) Дано уравнение $7x = 9$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7.

$x = \frac{9}{7}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 1\frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$

г) Дано уравнение $6x = -50$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6.

$x = \frac{-50}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$x = -\frac{25}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = -8\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{25}{3}$

д) Дано уравнение $-9x = -3$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -9.

$x = \frac{-3}{-9}$

Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Сократим дробь на 3.

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

е) Дано уравнение $0,5x = 1,2$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,5.

$x = \frac{1,2}{0,5}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10.

$x = \frac{12}{5}$

$x = 2,4$

Ответ: 2,4

ж) Дано уравнение $0,7x = 0$. Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $0,7 \ne 0$, то $x$ должен быть равен нулю.

$x = \frac{0}{0,7}$

$x = 0$

Ответ: 0

з) Дано уравнение $-1,5x = 6$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -1,5.

$x = \frac{6}{-1,5}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10.

$x = \frac{60}{-15}$

$x = -4$

Ответ: -4

и) Дано уравнение $42x = 13$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 42.

$x = \frac{13}{42}$

Дробь является несократимой, так как 13 — простое число, а 42 на 13 не делится.

Ответ: $\frac{13}{42}$

146. Решите линейное уравнение:

а) Чтобы решить уравнение $\frac{1}{3}x = 12$, необходимо найти значение переменной $x$. Для этого нужно обе части уравнения умножить на 3, чтобы избавиться от коэффициента при $x$.

$(\frac{1}{3}x) \cdot 3 = 12 \cdot 3$

$x = 36$

Ответ: 36.

б) В уравнении $\frac{2}{3}y = 9$ необходимо найти $y$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент $\frac{2}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на $\frac{3}{2}$.

$y = 9 \div \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{3}{2}$

$y = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2}$

Ответ: $13\frac{1}{2}$.

в) Дано уравнение $-4x = \frac{1}{7}$. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{1}{7}$) разделить на известный множитель ($-4$).

$x = \frac{1}{7} \div (-4) = \frac{1}{7} \cdot (-\frac{1}{4})$

$x = -\frac{1}{28}$

Ответ: $-\frac{1}{28}$.

г) В уравнении $5y = -\frac{5}{8}$ для нахождения $y$ разделим произведение ($-\frac{5}{8}$) на известный множитель (5).

$y = -\frac{5}{8} \div 5 = -\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{5}$

$y = -\frac{5}{8 \cdot 5} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

д) Чтобы решить уравнение $\frac{1}{6}y = \frac{1}{3}$, умножим обе части на 6, чтобы выразить $y$.

$y = \frac{1}{3} \cdot 6$

$y = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: 2.

е) Дано уравнение $\frac{2}{7}x = 0$. Произведение равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $\frac{2}{7} \neq 0$, то следовательно, $x$ должен быть равен нулю.

$x = 0 \div \frac{2}{7} = 0$

Ответ: 0.

ж) В уравнении $\frac{11}{7}x = 4\frac{5}{7}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$4\frac{5}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{28 + 5}{7} = \frac{33}{7}$

Теперь уравнение имеет вид: $\frac{11}{7}x = \frac{33}{7}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на дробь, обратную коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{7}{11}$.

$x = \frac{33}{7} \cdot \frac{7}{11} = \frac{33}{11} = 3$

Ответ: 3.

з) В уравнении $-\frac{17}{13}y = -2\frac{8}{13}$ для начала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$-2\frac{8}{13} = -(\frac{2 \cdot 13 + 8}{13}) = -\frac{26+8}{13} = -\frac{34}{13}$

Получаем уравнение: $-\frac{17}{13}y = -\frac{34}{13}$.

Чтобы найти $y$, разделим обе части на $-\frac{17}{13}$. Это равносильно умножению на обратную дробь $-\frac{13}{17}$.

$y = (-\frac{34}{13}) \cdot (-\frac{13}{17})$

При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.

$y = \frac{34}{13} \cdot \frac{13}{17} = \frac{34}{17} = 2$

Ответ: 2.

147. Найдите корень уравнения:

а) $5x - 150 = 0$

Чтобы найти корень уравнения, нужно изолировать переменную $x$. Для этого перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$5x = 150$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = 150 / 5$

$x = 30$

Ответ: $30$

б) $48 - 3x = 0$

Перенесем член с переменной $x$ в правую часть уравнения, чтобы он стал положительным (или можно перенести 48, результат будет тот же):

$48 = 3x$

Теперь разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 48 / 3$

$x = 16$

Ответ: $16$

в) $-1,5x - 9 = 0$

Перенесем свободный член -9 в правую часть, изменив знак:

$-1,5x = 9$

Разделим обе части на -1,5:

$x = 9 / (-1,5)$

$x = -6$

Ответ: $-6$

г) $12x - 1 = 35$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$12x = 35 + 1$

$12x = 36$

Разделим обе части на 12:

$x = 36 / 12$

$x = 3$

Ответ: $3$

д) $-x + 4 = 47$

Перенесем 4 в правую часть с противоположным знаком:

$-x = 47 - 4$

$-x = 43$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$:

$x = -43$

Ответ: $-43$

е) $1,3x = 54 + x$

Соберем все члены с переменной $x$ в левой части, а свободные члены - в правой. Перенесем $x$ из правой части в левую, изменив знак:

$1,3x - x = 54$

Упростим левую часть:

$0,3x = 54$

Разделим обе части на 0,3:

$x = 54 / 0,3$

$x = 540 / 3$

$x = 180$

Ответ: $180$

ж) $7 = 6 - 0,2x$

Перенесем член с $x$ в левую часть, а число 7 - в правую, меняя их знаки:

$0,2x = 6 - 7$

Упростим правую часть:

$0,2x = -1$

Разделим обе части на 0,2:

$x = -1 / 0,2$

$x = -5$

Ответ: $-5$

з) $0,15x + 6 = 51$

Перенесем 6 в правую часть с противоположным знаком:

$0,15x = 51 - 6$

$0,15x = 45$

Разделим обе части на 0,15:

$x = 45 / 0,15$

$x = 4500 / 15$

$x = 300$

Ответ: $300$

и) $-0,7x + 2 = 65$

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком:

$-0,7x = 65 - 2$

$-0,7x = 63$

Разделим обе части на -0,7:

$x = 63 / (-0,7)$

$x = -630 / 7$

$x = -90$

Ответ: $-90$

148. Решите уравнение:

а) $2x + 9 = 13 - x$

Для решения уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$2x + x = 13 - 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$3x = 4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 3:

$x = \frac{4}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа:

$x = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $14 - y = 19 - 11y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$-y + 11y = 19 - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$10y = 5$

Разделим обе части уравнения на 10:

$y = \frac{5}{10}$

Сократим дробь или представим в виде десятичной дроби:

$y = \frac{1}{2}$ или $y = 0.5$

Ответ: $0.5$

в) $0.5a + 11 = 4 - 3a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$0.5a + 3a = 4 - 11$

Приведем подобные слагаемые:

$3.5a = -7$

Разделим обе части уравнения на 3.5:

$a = \frac{-7}{3.5}$

$a = -2$

Ответ: $-2$

г) $1.2n + 1 = 1 - n$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$1.2n + n = 1 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2.2n = 0$

Разделим обе части уравнения на 2.2:

$n = \frac{0}{2.2}$

$n = 0$

Ответ: $0$

д) $1.7 - 0.3m = 2 + 1.7m$

Перенесем слагаемые с переменной $m$ в правую часть, а постоянные — в левую:

$1.7 - 2 = 1.7m + 0.3m$

Приведем подобные слагаемые:

$-0.3 = 2m$

Разделим обе части уравнения на 2:

$m = \frac{-0.3}{2}$

$m = -0.15$

Ответ: $-0.15$

е) $0.8x + 14 = 2 - 1.6x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$0.8x + 1.6x = 2 - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$2.4x = -12$

Разделим обе части уравнения на 2.4:

$x = \frac{-12}{2.4}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x = \frac{-120}{24}$

$x = -5$

Ответ: $-5$

ж) $15 - p = \frac{1}{3}p - 1$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (15 - p) = 3 \cdot (\frac{1}{3}p - 1)$

$45 - 3p = p - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $p$ в правую часть, а постоянные — в левую:

$45 + 3 = p + 3p$

Приведем подобные слагаемые:

$48 = 4p$

Разделим обе части уравнения на 4:

$p = \frac{48}{4}$

$p = 12$

Ответ: $12$

з) $1\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{3}x + 1$

Представим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$\frac{4}{3}x + 4 = \frac{1}{3}x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$\frac{4}{3}x - \frac{1}{3}x = 1 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{3}{3}x = -3$

$1x = -3$

$x = -3$

Ответ: $-3$

и) $z - \frac{1}{2}z = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1 - \frac{1}{2})z = 0$

$\frac{1}{2}z = 0$

Умножим обе части уравнения на 2:

$z = 0 \cdot 2$

$z = 0$

Ответ: $0$

к) $x - 4x = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x = 0$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x = \frac{0}{-3}$

$x = 0$

Ответ: $0$

л) $x = -x$

Перенесем слагаемое $-x$ из правой части в левую:

$x + x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = 0$

Ответ: $0$

м) $5y = 6y$

Перенесем слагаемое $6y$ из правой части в левую:

$5y - 6y = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-y = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$y = 0$

Ответ: $0$

149. Решите уравнение:

а) $3x - 8 = x + 6$

Для решения уравнения перенесем слагаемые, содержащие неизвестную $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный.

$3x - x = 6 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

$2x = 14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2.

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Ответ: 7

б) $7a - 10 = 2 - 4a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$7a + 4a = 2 + 10$

Упростим обе части, выполнив сложение.

$11a = 12$

Найдем значение $a$, разделив обе части на 11.

$a = \frac{12}{11}$

Выделим целую часть.

$a = 1\frac{1}{11}$

Ответ: $1\frac{1}{11}$

в) $\frac{1}{6}y - \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2}y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а числовые — в правой.

$\frac{1}{6}y + \frac{1}{2}y = 3 + \frac{1}{2}$

Для выполнения действий с дробями приведем их к общему знаменателю в каждой части уравнения.

$\frac{1}{6}y + \frac{3}{6}y = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

Выполним сложение.

$\frac{4}{6}y = \frac{7}{2}$

Сократим дробь $\frac{4}{6}$ в левой части.

$\frac{2}{3}y = \frac{7}{2}$

Найдем $y$, разделив правую часть на коэффициент $\frac{2}{3}$.

$y = \frac{7}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}$

$y = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5,25$

Ответ: 5,25

г) $2,6 - 0,2b = 4,1 - 0,5b$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки.

$0,5b - 0,2b = 4,1 - 2,6$

Приведем подобные слагаемые.

$0,3b = 1,5$

Разделим обе части на 0,3.

$b = \frac{1,5}{0,3} = \frac{15}{3}$

$b = 5$

Ответ: 5

д) $p - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}p$

Сгруппируем слагаемые с переменной $p$ слева, а свободные члены справа.

$p - \frac{1}{2}p = \frac{3}{8} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю.

$\frac{2}{2}p - \frac{1}{2}p = \frac{3}{8} + \frac{2}{8}$

Выполним вычитание в левой части и сложение в правой.

$\frac{1}{2}p = \frac{5}{8}$

Чтобы найти $p$, умножим обе части уравнения на 2.

$p = \frac{5}{8} \cdot 2 = \frac{10}{8}$

Сократим дробь и представим в виде десятичной дроби.

$p = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: 1,25

е) $0,8 - y = 3,2 + y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую.

$0,8 - 3,2 = y + y$

Упростим обе части уравнения.

$-2,4 = 2y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 2.

$y = \frac{-2,4}{2}$

$y = -1,2$

Ответ: -1,2

ж) $\frac{2}{7}x = -\frac{1}{2}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($-\frac{1}{2}$) разделить на известный множитель ($\frac{2}{7}$).

$x = -\frac{1}{2} \div \frac{2}{7}$

Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь.

$x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

$x = -\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 2} = -\frac{7}{4}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число или десятичную дробь.

$x = -1\frac{3}{4} = -1,75$

Ответ: -1,75

з) $2x - 0,7x = 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(2 - 0,7)x = 0$

$1,3x = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $1,3 \neq 0$, то нулю должен быть равен множитель $x$.

$x = \frac{0}{1,3}$

$x = 0$

Ответ: 0

150. Найдите корень уравнения:

а) $(y + 4) - (y - 1) = 6y$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$y + 4 - y + 1 = 6y$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(y - y) + (4 + 1) = 6y$
$5 = 6y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 6.
$y = \frac{5}{6}$
Ответ: $y = \frac{5}{6}$.

б) $3p - 1 - (p + 3) = 1$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные.
$3p - 1 - p - 3 = 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(3p - p) + (-1 - 3) = 1$
$2p - 4 = 1$
Перенесем -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$2p = 1 + 4$
$2p = 5$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $p$.
$p = \frac{5}{2} = 2.5$
Ответ: $p = 2.5$.

в) $6x - (7x - 12) = 101$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними.
$6x - 7x + 12 = 101$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$-x + 12 = 101$
Перенесем 12 из левой части в правую с противоположным знаком.
$-x = 101 - 12$
$-x = 89$
Умножим обе части уравнения на -1.
$x = -89$
Ответ: $x = -89$.

г) $20x = 19 - (3 + 12x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения.
$20x = 19 - 3 - 12x$
Упростим правую часть.
$20x = 16 - 12x$
Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую с противоположным знаком.
$20x + 12x = 16$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$32x = 16$
Найдем $x$, разделив обе части на 32.
$x = \frac{16}{32}$
Сократим дробь.
$x = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: $x = 0.5$.

151. Найдите корень уравнения:

а) (13х − 15) − (9 + 6х) = −3х;

б) 12 − (4х − 18) = (36 + 4х) + (18 − 6х);

в) 1,6х − (х − 2,8) = (0,2х + 1,5) − 0,7;

г) (0,5х + 1,2) − (3,6 − 4,5х) = (4,8 − 0,Зх) + (10,5х + 0,6).

а) Исходное уравнение: $(13x - 15) - (9 + 6x) = -3x$.
Первым шагом раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные.
$13x - 15 - 9 - 6x = -3x$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: сгруппируем члены с $x$ и числовые члены.
$(13x - 6x) + (-15 - 9) = -3x$
$7x - 24 = -3x$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный.
$7x + 3x = 24$
Снова приведем подобные слагаемые.
$10x = 24$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 10.
$x = \frac{24}{10}$
$x = 2,4$
Ответ: 2,4

б) Исходное уравнение: $12 - (4x - 18) = (36 + 4x) + (18 - 6x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
$12 - 4x + 18 = 36 + 4x + 18 - 6x$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.
В левой части: $(12 + 18) - 4x = 30 - 4x$
В правой части: $(36 + 18) + (4x - 6x) = 54 - 2x$
Уравнение принимает вид:
$30 - 4x = 54 - 2x$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую.
$-4x + 2x = 54 - 30$
$-2x = 24$
Разделим обе части на -2, чтобы найти $x$.
$x = \frac{24}{-2}$
$x = -12$
Ответ: -12

в) Исходное уравнение: $1,6x - (x - 2,8) = (0,2x + 1,5) - 0,7$.
Раскроем скобки.
$1,6x - x + 2,8 = 0,2x + 1,5 - 0,7$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях.
В левой части: $(1,6x - x) + 2,8 = 0,6x + 2,8$
В правой части: $0,2x + (1,5 - 0,7) = 0,2x + 0,8$
Получаем уравнение:
$0,6x + 2,8 = 0,2x + 0,8$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую.
$0,6x - 0,2x = 0,8 - 2,8$
$0,4x = -2$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 0,4.
$x = \frac{-2}{0,4} = \frac{-20}{4}$
$x = -5$
Ответ: -5

г) Исходное уравнение: $(0,5x + 1,2) - (3,6 - 4,5x) = (4,8 - 0,3x) + (10,5x + 0,6)$.
Раскроем все скобки.
$0,5x + 1,2 - 3,6 + 4,5x = 4,8 - 0,3x + 10,5x + 0,6$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
В левой части: $(0,5x + 4,5x) + (1,2 - 3,6) = 5x - 2,4$
В правой части: $(-0,3x + 10,5x) + (4,8 + 0,6) = 10,2x + 5,4$
Уравнение упрощается до вида:
$5x - 2,4 = 10,2x + 5,4$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую.
$5x - 10,2x = 5,4 + 2,4$
$-5,2x = 7,8$
Найдем $x$, разделив обе части на -5,2.
$x = \frac{7,8}{-5,2} = -\frac{78}{52}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 26.
$x = -\frac{3 \cdot 26}{2 \cdot 26} = -\frac{3}{2}$
$x = -1,5$
Ответ: -1,5