Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

112. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:

а) Чтобы заменить выражение $1,2 \cdot (5 - a)$ тождественно равным, необходимо использовать распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое гласит $k \cdot (b - c) = k \cdot b - k \cdot c$. Для этого умножим множитель $1,2$ на каждый член в скобках:

$1,2 \cdot (5 - a) = 1,2 \cdot 5 - 1,2 \cdot a = 6 - 1,2a$

Ответ: $6 - 1,2a$

б) Для выражения $(m - 4x) \cdot (-6)$ применим то же распределительное свойство умножения, но в форме $(b - c) \cdot k = b \cdot k - c \cdot k$. Умножим каждый член в скобках на множитель $-6$:

$(m - 4x) \cdot (-6) = m \cdot (-6) - 4x \cdot (-6) = -6m - (-24x) = -6m + 24x$

Ответ: $-6m + 24x$

в) В выражении $2,5 \cdot (4x - 6y - 2)$ нужно применить распределительное свойство для многочлена. Умножим множитель $2,5$ на каждый из трех членов в скобках:

$2,5 \cdot (4x - 6y - 2) = 2,5 \cdot 4x - 2,5 \cdot 6y - 2,5 \cdot 2 = 10x - 15y - 5$

Ответ: $10x - 15y - 5$

г) Для выражения $-0,1 \cdot (100a + 10b - c)$ применим распределительное свойство, умножив множитель $-0,1$ на каждый член многочлена в скобках. Важно внимательно следить за знаками:

$-0,1 \cdot (100a + 10b - c) = (-0,1) \cdot 100a + (-0,1) \cdot 10b - (-0,1) \cdot c = -10a - b + 0,1c$

Ответ: $-10a - b + 0,1c$

113. Среди выражений 2(b – a), –2(a – b), –2a – 2b, –2a + 2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b – 2a.

Чтобы найти выражения, которые тождественно равны выражению $2b - 2a$, необходимо упростить каждое из предложенных выражений и сравнить результат с заданным.

$2(b - a)$

Применим распределительный закон умножения, раскрыв скобки: $2(b - a) = 2 \cdot b - 2 \cdot a = 2b - 2a$. Полученное выражение полностью совпадает с выражением $2b - 2a$. Следовательно, они тождественно равны.

$-2(a - b)$

Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член внутри скобок: $-2(a - b) = (-2) \cdot a - (-2) \cdot b = -2a + 2b$. Используя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), поменяем слагаемые местами: $-2a + 2b = 2b - 2a$. Это выражение также тождественно равно $2b - 2a$.

$-2a - 2b$

Данное выражение уже представлено в виде многочлена. Сравнивая его с выражением $2b - 2a$, мы видим, что знаки при слагаемом с переменной $b$ различны ($-2b$ и $+2b$). Следовательно, эти выражения не являются тождественно равными.

$-2a + 2b$

Используя переместительное свойство сложения, поменяем слагаемые местами: $-2a + 2b = 2b - 2a$. Это выражение тождественно равно заданному выражению $2b - 2a$.

Таким образом, мы нашли три выражения, которые тождественно равны $2b - 2a$.

Ответ: $2(b - a)$, $-2(a - b)$, $-2a + 2b$.

114. Приведите подобные слагаемые:

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $5a + 27a - a$, необходимо сложить коэффициенты при переменной $a$. У слагаемого $a$ коэффициент равен 1.

$5a + 27a - a = (5 + 27 - 1)a = (32 - 1)a = 31a$.

Ответ: $31a$.

б) В выражении $12b - 17b - b$ все слагаемые являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $b$. Сложим их коэффициенты.

$12b - 17b - b = (12 - 17 - 1)b = (-5 - 1)b = -6b$.

Ответ: $-6b$.

в) В выражении $6x - 14 - 13x + 26$ есть две группы подобных слагаемых. Первая группа — слагаемые, содержащие переменную $x$ ($6x$ и $-13x$). Вторая группа — свободные члены (числа без переменной: $-14$ и $26$). Сгруппируем и упростим их отдельно.

$6x - 14 - 13x + 26 = (6x - 13x) + (-14 + 26)$.

Выполним действия в каждой группе:

$6x - 13x = (6 - 13)x = -7x$.

$-14 + 26 = 12$.

Соберем результат: $-7x + 12$.

Ответ: $-7x + 12$.

г) В выражении $-8 - y + 17 - 10y$ также две группы подобных слагаемых. Первая — с переменной $y$ ($-y$ и $-10y$). Вторая — свободные члены ($-8$ и $17$). Сгруппируем их.

$-8 - y + 17 - 10y = (-y - 10y) + (-8 + 17)$.

Выполним действия в каждой группе, помня, что коэффициент у $-y$ равен $-1$:

$-y - 10y = (-1 - 10)y = -11y$.

$-8 + 17 = 9$.

Объединим полученные слагаемые: $-11y + 9$.

Ответ: $-11y + 9$.

115. Приведите подобные слагаемые:

а) $13a + 2b - 2a - b$

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно найти члены выражения с одинаковой буквенной частью и выполнить с их коэффициентами соответствующие арифметические действия. В данном случае у нас есть две группы подобных слагаемых: с переменной $a$ ($13a$ и $-2a$) и с переменной $b$ ($2b$ и $-b$).

Сгруппируем их:

$(13a - 2a) + (2b - b)$

Теперь выполним вычисления для каждой группы:

$13a - 2a = (13 - 2)a = 11a$

$2b - b = (2 - 1)b = 1b = b$

Сложив полученные результаты, получим итоговое выражение:

$11a + b$

Ответ: $11a + b$.

б) $41x - 58x + 6y - y$

В этом выражении подобными слагаемыми являются члены с переменной $x$ ($41x$ и $-58x$) и члены с переменной $y$ ($6y$ и $-y$).

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(41x - 58x) + (6y - y)$

Вычислим коэффициенты:

$41 - 58 = -17$, следовательно, $41x - 58x = -17x$.

$6 - 1 = 5$, следовательно, $6y - y = 5y$.

Итоговое упрощенное выражение:

$-17x + 5y$

Ответ: $-17x + 5y$.

в) $-5,1a - 4b - 4,9a + b$

Найдем подобные слагаемые: $-5,1a$ и $-4,9a$, а также $-4b$ и $b$.

Сгруппируем их и выполним действия:

$(-5,1a - 4,9a) + (-4b + b)$

Вычислим коэффициенты для каждой группы:

$-5,1 - 4,9 = -10$, значит, $-5,1a - 4,9a = -10a$.

$-4 + 1 = -3$, значит, $-4b + b = -3b$.

Объединяем результаты:

$-10a - 3b$

Ответ: $-10a - 3b$.

г) $7,5x + y - 8,5x - 3,5y$

Подобными слагаемыми в данном выражении являются $7,5x$ и $-8,5x$, а также $y$ (коэффициент которого равен 1) и $-3,5y$.

Сгруппируем и упростим:

$(7,5x - 8,5x) + (y - 3,5y)$

Вычислим коэффициенты:

$7,5 - 8,5 = -1$, следовательно, $7,5x - 8,5x = -1x = -x$.

$1 - 3,5 = -2,5$, следовательно, $y - 3,5y = -2,5y$.

Запишем конечное выражение:

$-x - 2,5y$

Ответ: $-x - 2,5y$.

116. Приведите подобные слагаемые:

а) В выражении $8x - 6y + 7x - 2y$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью. Сгруппируем их: слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.

$8x - 6y + 7x - 2y = (8x + 7x) + (-6y - 2y)$

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$(8+7)x + (-6-2)y = 15x - 8y$

Ответ: $15x - 8y$

б) В выражении $27p + 14q - 16p - 3q$ сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $p$ и члены с переменной $q$.

$27p + 14q - 16p - 3q = (27p - 16p) + (14q - 3q)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(27 - 16)p + (14 - 3)q = 11p + 11q$

Ответ: $11p + 11q$

в) В выражении $3,5b - 2,4c - 0,6c - 0,7b$ сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $b$ и члены с переменной $c$.

$3,5b - 2,4c - 0,6c - 0,7b = (3,5b - 0,7b) + (-2,4c - 0,6c)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(3,5 - 0,7)b + (-2,4 - 0,6)c = 2,8b - 3c$

Ответ: $2,8b - 3c$

г) В выражении $1,6a + 4x - 2,8a - 7,5x$ сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $a$ и члены с переменной $x$.

$1,6a + 4x - 2,8a - 7,5x = (1,6a - 2,8a) + (4x - 7,5x)$

Выполним действия с коэффициентами:

$(1,6 - 2,8)a + (4 - 7,5)x = -1,2a - 3,5x$

Ответ: $-1,2a - 3,5x$

117. Раскройте скобки:

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки и этот знак, сохранив знаки всех слагаемых, которые были в скобках.
$x + (b + c + d - m) = x + b + c + d - m$
Ответ: $x + b + c + d - m$.

б) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки и этот знак, а знаки всех слагаемых, которые были в скобках, изменить на противоположные.
$a - (b - c - d) = a - b + c + d$
Ответ: $a - b + c + d$.

в) В этом выражении перед скобками стоит знак «-». Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых $b$, $c$ и $-m$ на противоположные.
$x + y - (b + c - m) = x + y - b - c + m$
Ответ: $x + y - b - c + m$.

г) В данном выражении есть две пары скобок. Раскроем их поочередно, применяя соответствующие правила.
Перед первой скобкой $(a - b)$ стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых внутри не меняются.
Перед второй скобкой $(c + d)$ стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные.
$x + (a - b) - (c + d) = x + a - b - c - d$
Ответ: $x + a - b - c - d$.

118. Запишите без скобок выражение:

а) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», необходимо убрать этот знак и сами скобки, а все слагаемые внутри скобок оставить с их первоначальными знаками.

$m + (a - k - b) = m + a - k - b$

Ответ: $m + a - k - b$

б) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «–», необходимо убрать этот знак и сами скобки, а все слагаемые внутри скобок изменить на противоположные. Знак «+» меняется на «–», а знак «–» на «+».

$m - (a - k - b) = m - a + k + b$

Ответ: $m - a + k + b$

в) В данном выражении перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых, находящихся в них, не изменяются.

$x + a + (m - 2) = x + a + m - 2$

Ответ: $x + a + m - 2$

г) В этом выражении две пары скобок. Перед первой парой $(b - c)$ стоит знак «–», поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные. Перед второй парой $(m + n)$ стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых внутри остаются прежними.

$a - (b - c) + (m + n) = a - b + c + m + n$

Ответ: $a - b + c + m + n$

119. Упростите выражение:

а) Для того чтобы упростить выражение $5 - (a - 3)$, необходимо раскрыть скобки. Поскольку перед скобками стоит знак минус, при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$5 - (a - 3) = 5 - a + 3$
Далее приведем подобные слагаемые, сложив числовые значения:
$5 + 3 - a = 8 - a$
Ответ: $8 - a$

б) Чтобы упростить выражение $7 + (12 - 2b)$, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок при раскрытии не изменяются.
$7 + (12 - 2b) = 7 + 12 - 2b$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$7 + 12 - 2b = 19 - 2b$
Ответ: $19 - 2b$

в) Упростим выражение $64 - (14 + 7x)$. Перед скобками стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых $14$ и $7x$ изменятся на противоположные.
$64 - (14 + 7x) = 64 - 14 - 7x$
Выполним вычитание числовых значений:
$64 - 14 - 7x = 50 - 7x$
Ответ: $50 - 7x$

г) В выражении $38 + (12p - 8)$ перед скобками стоит знак плюс. Это означает, что при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри них сохраняются.
$38 + (12p - 8) = 38 + 12p - 8$
Приведем подобные слагаемые, выполнив вычитание чисел:
$38 - 8 + 12p = 30 + 12p$
Ответ: $30 + 12p$

120. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

а) $x + (2x + 0,5)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно убрать эти скобки и знак плюс, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

$x + (2x + 0,5) = x + 2x + 0,5$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае это $x$ и $2x$. Сложим их коэффициенты (числовые множители).

$x + 2x = (1 + 2)x = 3x$

В результате получаем:

$3x + 0,5$

Ответ: $3x + 0,5$

б) $3x - (x - 2)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно убрать эти скобки и знак минус, а все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменить на противоположные.

$3x - (x - 2) = 3x - x + 2$

Приведем подобные слагаемые $3x$ и $-x$.

$3x - x = (3 - 1)x = 2x$

В результате получаем:

$2x + 2$

Ответ: $2x + 2$

в) $4a - (a + 6)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак минус. Для этого меняем знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.

$4a - (a + 6) = 4a - a - 6$

Приводим подобные слагаемые $4a$ и $-a$.

$4a - a = (4 - 1)a = 3a$

В результате получаем:

$3a - 6$

Ответ: $3a - 6$

г) $6b + (10 - 4,5b)$

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак плюс. Знаки слагаемых в скобках при этом не меняются.

$6b + (10 - 4,5b) = 6b + 10 - 4,5b$

Приведем подобные слагаемые $6b$ и $-4,5b$.

$6b - 4,5b = (6 - 4,5)b = 1,5b$

В результате получаем (принято записывать слагаемое с переменной на первом месте):

$1,5b + 10$

Ответ: $1,5b + 10$

121. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (5x – 1) – (2 – 8x) при x = 0,75;
б) (6 – 2x) + (15 – 3x) при x = –0,2;
в) 12 + 7x – (1 – 3x) при x = –1,7;
г) 37 – (x – 16) + (11x – 53) при x = –0,03.

а) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(5x - 1) - (2 - 8x) = 5x - 1 - 2 + 8x = (5x + 8x) + (-1 - 2) = 13x - 3$.

Теперь подставим значение $x = 0,75$ в упрощенное выражение:

$13 \cdot 0,75 - 3 = 9,75 - 3 = 6,75$.

Ответ: 6,75.

б) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(6 - 2x) + (15 - 3x) = 6 - 2x + 15 - 3x = (-2x - 3x) + (6 + 15) = 21 - 5x$.

Теперь подставим значение $x = -0,2$ в упрощенное выражение:

$21 - 5 \cdot (-0,2) = 21 - (-1) = 21 + 1 = 22$.

Ответ: 22.

в) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$12 + 7x - (1 - 3x) = 12 + 7x - 1 + 3x = (7x + 3x) + (12 - 1) = 10x + 11$.

Теперь подставим значение $x = -1,7$ в упрощенное выражение:

$10 \cdot (-1,7) + 11 = -17 + 11 = -6$.

Ответ: -6.

г) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$37 - (x - 16) + (11x - 53) = 37 - x + 16 + 11x - 53 = (-x + 11x) + (37 + 16 - 53) = 10x$.

Теперь подставим значение $x = -0,03$ в упрощенное выражение:

$10 \cdot (-0,03) = -0,3$.

Ответ: -0,3.

122. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(x - 1) + (12 - 7,5x)$ сначала раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются.
$(x - 1) + (12 - 7,5x) = x - 1 + 12 - 7,5x$
Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и числовые члены):
$(x - 7,5x) + (-1 + 12) = (1 - 7,5)x + 11 = -6,5x + 11$
Ответ: $11 - 6,5x$

б) Для упрощения выражения $(2p + 1,9) - (7 - p)$ раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$(2p + 1,9) - (7 - p) = 2p + 1,9 - 7 + p$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $p$ и числовые члены):
$(2p + p) + (1,9 - 7) = 3p - 5,1$
Ответ: $3p - 5,1$

в) В выражении $(3 - 0,4a) - (10 - 0,8a)$ раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых в ней меняются.
$(3 - 0,4a) - (10 - 0,8a) = 3 - 0,4a - 10 + 0,8a$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и числовые члены):
$(-0,4a + 0,8a) + (3 - 10) = 0,4a - 7$
Ответ: $0,4a - 7$

г) Упростим выражение $b - (4 - 2b) + (3b - 1)$. Раскрываем скобки. Знаки в первой скобке меняются, так как перед ней стоит «-», а во второй остаются без изменений, так как перед ней «+».
$b - (4 - 2b) + (3b - 1) = b - 4 + 2b + 3b - 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(b + 2b + 3b) + (-4 - 1) = (1 + 2 + 3)b - 5 = 6b - 5$
Ответ: $6b - 5$

д) Для упрощения выражения $y - (y + 4) + (y - 4)$ раскроем скобки.
$y - (y + 4) + (y - 4) = y - y - 4 + y - 4$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(y - y + y) + (-4 - 4) = y - 8$
Ответ: $y - 8$

е) Упростим выражение $4x - (1 - 2x) + (2x - 7)$. Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними.
$4x - (1 - 2x) + (2x - 7) = 4x - 1 + 2x + 2x - 7$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4x + 2x + 2x) + (-1 - 7) = (4 + 2 + 2)x - 8 = 8x - 8$
Ответ: $8x - 8$

123. Докажите, что при любом a значение выражения 3(a + 2) – 3a равно 6.

123. Чтобы доказать, что значение выражения $3(a + 2) - 3a$ равно 6 при любом значении $a$, необходимо упростить это выражение.

1. Начнем с раскрытия скобок. Для этого воспользуемся распределительным законом умножения, который гласит, что $c(x+y) = cx + cy$. В нашем случае мы умножаем 3 на каждый член внутри скобок $(a+2)$: $3(a + 2) = 3 \cdot a + 3 \cdot 2 = 3a + 6$

2. Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $(3a + 6) - 3a$

3. Приведем подобные слагаемые. В выражении есть два слагаемых, содержащих переменную $a$: $3a$ и $-3a$. Вычтем одно из другого: $3a - 3a + 6$

4. Сумма $3a$ и $-3a$ равна нулю: $0 + 6 = 6$

В результате упрощения мы получили число 6. Поскольку переменная $a$ была исключена из выражения в ходе преобразований, его значение не зависит от значения $a$ и всегда будет равно 6.

Ответ: Упростив выражение $3(a + 2) - 3a$, получаем $3a + 6 - 3a = 6$. Значение выражения не зависит от переменной $a$ и всегда равно 6, что и требовалось доказать.