Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

104. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

а) В выражениях $ab + 16c$ и $16c + ab$ поменялись местами слагаемые: первое слагаемое $ab$ и второе слагаемое $16c$. Равенство этих выражений гарантируется переместительным свойством сложения, которое утверждает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Формула этого свойства: $x+y=y+x$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) В выражениях $(a + 2) + x$ и $a + (2 + x)$ изменен порядок выполнения сложения. В первом выражении сначала складываются $a$ и $2$, а затем к полученной сумме прибавляется $x$. Во втором выражении к $a$ прибавляется сумма $2$ и $x$. Равенство этих выражений гарантируется сочетательным свойством сложения, которое позволяет группировать слагаемые в любом порядке. Формула этого свойства: $(x+y)+z=x+(y+z)$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

в) В выражениях $xy + 3$ и $3 + xy$ поменялись местами слагаемые: $xy$ и $3$. Как и в пункте а), это равенство является следствием переместительного свойства сложения ($x+y=y+x$).
Ответ: переместительное свойство сложения.

г) Выражение $5b + 5c$ получено из выражения $5(b + c)$ путем умножения общего множителя $5$ на каждое слагаемое в скобках ($b$ и $c$) и сложения результатов. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения. Формула этого свойства: $x(y+z)=xy+xz$.
Ответ: распределительное свойство умножения.

105. 105. Являются ли тождественно равными выражения:

а) Чтобы проверить, являются ли выражения $(2a)(7b)$ и $14ab$ тождественно равными, упростим первое выражение. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать и перемножить коэффициенты и переменные:
$(2a)(7b) = 2 \cdot a \cdot 7 \cdot b = (2 \cdot 7) \cdot (a \cdot b) = 14ab$.
Поскольку после упрощения мы получили второе выражение $14ab$, эти выражения тождественно равны.
Ответ: да, являются.

б) Рассмотрим выражение $-2a + 2a$. В этом выражении мы складываем два противоположных одночлена. Сумма противоположных чисел или выражений всегда равна нулю:
$-2a + 2a = (-2 + 2)a = 0 \cdot a = 0$.
Результат равен второму выражению, которое равно $0$. Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: да, являются.

в) Сравним выражения $x - y$ и $y - x$. Преобразуем второе выражение, вынеся за скобки $-1$:
$y - x = -(-y + x) = -(x - y)$.
Выражения $x - y$ и $y - x$ являются противоположными. Они равны только в том случае, если $x - y = 0$, то есть $x = y$. Поскольку они не равны для всех значений переменных (например, если $x=2, y=1$, то $x-y=1$, а $y-x=-1$), они не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

г) Сравним выражения $(x - y)^2$ и $(y - x)^2$. Как мы установили в предыдущем пункте, $y - x = -(x - y)$. Подставим это во второе выражение:
$(y - x)^2 = (-(x - y))^2$.
Поскольку квадрат любого числа (или выражения) равен квадрату противоположного ему числа (или выражения), то есть $(-A)^2 = A^2$, получаем:
$(-(x - y))^2 = (x - y)^2$.
Таким образом, выражения $(x - y)^2$ и $(y - x)^2$ тождественно равны для любых значений $x$ и $y$.
Ответ: да, являются.

106. Являются ли тождественно равными выражения:

а) Чтобы определить, являются ли выражения $2 + 8ba$ и $8ab + 2$ тождественно равными, необходимо сравнить их, используя основные свойства арифметических операций. Тождественно равные выражения — это выражения, значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.
Рассмотрим выражение $2 + 8ba$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству умножения, от перемены мест множителей произведение не меняется, то есть $ba = ab$. Таким образом, $2 + 8ba = 2 + 8ab$.
Далее, согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то есть $2 + 8ab = 8ab + 2$.
Мы последовательно преобразовали первое выражение во второе: $2 + 8ba = 2 + 8ab = 8ab + 2$. Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

б) Сравним выражения $2x + 7$ и $2(x + 7)$.
Для этого преобразуем второе выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного (дистрибутивного) свойства умножения: $a(b+c) = ab + ac$.
$2(x + 7) = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2x + 14$.
Теперь сравним исходное первое выражение $2x + 7$ с преобразованным вторым $2x + 14$.
Эти выражения не равны, так как $2x + 7 \neq 2x + 14$ (поскольку $7 \neq 14$). Чтобы доказать это, можно подставить любое значение $x$. Например, при $x=1$:
Первое выражение: $2(1) + 7 = 2 + 7 = 9$.
Второе выражение: $2(1 + 7) = 2 \cdot 8 = 16$.
Так как $9 \neq 16$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

в) Рассмотрим выражения $(a + b) \cdot 0$ и $a + b$.
Упростим первое выражение. Согласно свойству умножения на ноль, любое число или выражение при умножении на ноль дает в результате ноль.
$(a + b) \cdot 0 = 0$.
Теперь сравним результат $0$ со вторым выражением $a + b$.
Равенство $a + b = 0$ верно лишь в частном случае, когда $b = -a$, но не для любых значений $a$ и $b$. Например, если $a = 1$ и $b = 2$:
Первое выражение: $(1 + 2) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0$.
Второе выражение: $1 + 2 = 3$.
Поскольку $0 \neq 3$, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: нет, не являются.

г) Проверим, являются ли тождественно равными выражения $(a + b) \cdot 2$ и $2a + 2b$.
Преобразуем первое выражение, используя распределительное свойство умножения относительно сложения: $(x+y)z = xz + yz$.
$(a + b) \cdot 2 = a \cdot 2 + b \cdot 2$.
Используя переместительное свойство умножения, получаем: $a \cdot 2 + b \cdot 2 = 2a + 2b$.
В результате преобразования мы получили выражение, идентичное второму. Равенство $(a + b) \cdot 2 = 2a + 2b$ является математическим законом и выполняется для любых значений $a$ и $b$.
Следовательно, данные выражения являются тождественно равными.
Ответ: да, являются.

107. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:

а) 12(a – 4) = 12a – 48;
б) (x – x)a = 0?

а) Для того чтобы доказать, что равенство $12(a - 4) = 12a - 48$ является тождеством, необходимо преобразовать его левую часть. Для этого используется распределительное свойство умножения относительно вычитания. Это свойство гласит, что для умножения числа на разность можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. Формула этого свойства: $c(a - b) = ca - cb$.

Применим это свойство к выражению в левой части равенства:

$12(a - 4) = 12 \cdot a - 12 \cdot 4$

Вычислим произведение $12 \cdot 4$:

$12 \cdot 4 = 48$

В результате преобразования левая часть равенства становится равна $12a - 48$.

$12a - 48 = 12a - 48$

Поскольку левая часть равенства при любых значениях переменной $a$ равна правой, данное равенство является тождеством.

Ответ: Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

б) Чтобы доказать, что равенство $(x - x)a = 0$ является тождеством, преобразуем его левую часть, используя два основных свойства действий.

1. Сначала выполним действие в скобках. Согласно свойству вычитания числа из самого себя, разность любого числа и этого же числа равна нулю:

$x - x = 0$

2. После подстановки этого результата в исходное выражение, левая часть принимает вид:

$0 \cdot a$

3. Далее мы используем свойство умножения на ноль, которое утверждает, что произведение любого числа на ноль равно нулю:

$0 \cdot a = 0$

Таким образом, левая часть равенства $(x - x)a$ всегда равна $0$, независимо от значений переменных $x$ и $a$. Это доказывает, что данное равенство является тождеством.

Ответ: Свойство вычитания числа из самого себя и свойство умножения на ноль.

108. Верно ли утверждение:
а) равенство 6(x – y) = 6x –6y является тождеством;
б) равенство 3a – 4 = a + (2a – 4) является тождеством;
в) равенство 25(a – a) = 25 является тождеством?

а) Тождество — это равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных. Чтобы проверить, является ли данное равенство тождеством, преобразуем одну из его частей.
Рассмотрим левую часть равенства $6(x - y) = 6x - 6y$. Применим распределительный закон умножения относительно вычитания, то есть раскроем скобки:
$6(x - y) = 6 \cdot x - 6 \cdot y = 6x - 6y$
После преобразования левая часть стала равна правой части ($6x - 6y = 6x - 6y$). Это означает, что равенство верно при любых значениях переменных $x$ и $y$.
Ответ: да, данное равенство является тождеством.

б) Рассмотрим равенство $3a - 4 = a + (2a - 4)$. Преобразуем правую часть равенства.
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются:
$a + (2a - 4) = a + 2a - 4$
Теперь приведем подобные слагаемые в правой части:
$a + 2a - 4 = 3a - 4$
В результате мы получили, что правая часть тождественно равна левой ($3a - 4 = 3a - 4$). Равенство верно при любом значении переменной $a$.
Ответ: да, данное равенство является тождеством.

в) Рассмотрим равенство $25(a - a) = 25$. Преобразуем левую часть равенства.
Выполним действие в скобках:
$a - a = 0$
Теперь левая часть равенства принимает вид:
$25 \cdot 0 = 0$
В итоге мы получаем равенство $0 = 25$, которое является ложным. Оно не выполняется ни при каких значениях переменной $a$.
Ответ: нет, данное равенство не является тождеством.

109. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

а) Для того чтобы упростить выражение $-6,2a \cdot 5$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Эти свойства позволяют нам изменить порядок множителей и сгруппировать их так, как нам удобно. В данном случае мы сгруппируем числовые множители и перемножим их.

$-6,2a \cdot 5 = -6,2 \cdot a \cdot 5 = (-6,2 \cdot 5) \cdot a = -31a$.

Ответ: $-31a$.

б) Упростим выражение $4c \cdot (-1,25)$. Применим переместительное свойство, чтобы поставить числовые множители рядом, а затем сочетательное свойство, чтобы сгруппировать их и выполнить умножение.

$4c \cdot (-1,25) = 4 \cdot c \cdot (-1,25) = (4 \cdot (-1,25)) \cdot c = -5c$.

Ответ: $-5c$.

в) Рассмотрим выражение $0,3x \cdot (-12y)$. В этом выражении есть два числовых коэффициента ($0,3$ и $-12$) и две переменные ($x$ и $y$). Используя переместительное и сочетательное свойства, сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и отдельно буквенные множители, а затем перемножим эти группы.

$0,3x \cdot (-12y) = 0,3 \cdot x \cdot (-12) \cdot y = (0,3 \cdot (-12)) \cdot (x \cdot y) = -3,6xy$.

Ответ: $-3,6xy$.

г) Для упрощения выражения $-0,1b \cdot (-2,3c)$ сгруппируем числовые коэффициенты и буквенные множители. Важно помнить, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$-0,1b \cdot (-2,3c) = (-0,1) \cdot b \cdot (-2,3) \cdot c = ((-0,1) \cdot (-2,3)) \cdot (b \cdot c) = 0,23bc$.

Ответ: $0,23bc$.

110. Упростите выражение:

а) 1,6 · (–0,2n); б) –6,4a · (–5c).

а) Для того чтобы упростить выражение $1,6 \cdot (-0,2n)$, мы используем сочетательное свойство умножения, которое позволяет нам перемножить числовые коэффициенты отдельно.

$1,6 \cdot (-0,2n) = (1,6 \cdot (-0,2)) \cdot n$

Произведение положительного числа $1,6$ и отрицательного числа $-0,2$ будет отрицательным.

$1,6 \cdot 0,2 = 0,32$

Следовательно, $1,6 \cdot (-0,2) = -0,32$.

Теперь мы умножаем полученный коэффициент на переменную $n$.

$-0,32 \cdot n = -0,32n$

Ответ: $-0,32n$

б) Для упрощения выражения $-6,4a \cdot (-5c)$ мы применим переместительное и сочетательное свойства умножения. Это позволит нам сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты и переменные отдельно.

$-6,4a \cdot (-5c) = (-6,4 \cdot -5) \cdot (a \cdot c)$

Сначала найдем произведение числовых коэффициентов $-6,4$ и $-5$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$6,4 \cdot 5 = 32$

Теперь перемножим переменные.

$a \cdot c = ac$

Объединяем результаты.

$32 \cdot ac = 32ac$

Ответ: $32ac$

111. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания формулируется так: чтобы умножить число на сумму (или разность), нужно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и полученные произведения сложить (или вычесть). В виде формул это выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

а) $7(x - y)$

Применим распределительное свойство умножения. Умножим множитель 7 на каждый член в скобках:

$7 \cdot x - 7 \cdot y = 7x - 7y$

Ответ: $7x - 7y$

б) $(a - 4b) \cdot 3$

Применим распределительное свойство умножения. Умножим каждый член в скобках на множитель 3:

$a \cdot 3 - 4b \cdot 3 = 3a - 12b$

Ответ: $3a - 12b$

в) $-23 \cdot (2a - 3b + 1)$

Применим распределительное свойство умножения. Умножим множитель -23 на каждый член в скобках, обращая внимание на знаки:

$(-23) \cdot (2a) + (-23) \cdot (-3b) + (-23) \cdot 1$

Выполним умножение:

$-46a + 69b - 23$

Ответ: $-46a + 69b - 23$

г) $1,5 \cdot (-3x + 4y - 5z)$

Применим распределительное свойство умножения. Умножим множитель 1,5 на каждый член в скобках:

$1,5 \cdot (-3x) + 1,5 \cdot (4y) + 1,5 \cdot (-5z)$

Выполним умножение:

$-4,5x + 6y - 7,5z$

Ответ: $-4,5x + 6y - 7,5z$